Transcript: Funcții definite pe intervale

Să vorbim despre funcții definite pe intervale.
Și ne vom referi la funcții care sunt definite pe un interval, am notat aici i cu valori în mulțimea numerelor reale, f de x egal cu a or x plus b, unde a și b sunt numere reale.
Și avem acest exemplu, și aici să notăm că i îl considerăm, acest interval îl considerăm diferit de mulțimea numerelor reale.
Dacă i ar fi fost egal cu r, am fi avut o funcție liniară.
Și acum, în exemplul dat, avem funcția f definită pe intervalul închis, minus 2, 1 cu valori în r, f de x egal cu x plus 3.
Vrem să îi trasăm graficul.
Domeniul de definiție este intervalul închis minus 2, 1.
Deci x ia valori cuprinse între minus 2 și 1.
Și să trecem aici, minus 1 aici este minus 2 și aici este 1.
Deci x ia valori cuprinse între aceste două numere.
Și noi trebuie să trasăm graficul atâta timp cât x aparține acestui interval.
Păi haideți să facem tabelul de valori.
Și avem aici, vom trece x și f de x.
În tabelul de valori trecem capetele intervalului, adică minus 2 și 1.
Și calculăm.
f de minus 2 este minus 2 plus 3.
Ne dă 1, trecem aici 1.
f de 1 este 1 plus 3, adică 4.
Și am obținut două puncte, minus 2, 1, primele coordonate și apoi coordonatele 1, 4.
Și chiar să le reprezentăm aici.
Avem minus 2, 1, trecem aici pe 1.
Și să trecem și punctele, adică vorbim de acest punct.
Și coordonatele 1 și 4, le avem pe 1, nu le avem însă pe 4.
Deci aici este 2, 3 și 4.
Bun.
Unde e punctul al doilea?
Iată, îl avem aici.
Dacă funcția noastră ar fi fost definită pe mulțimea numerelor reale,
atunci graficul funcției ar fi fost o dreaptă, mai exact această dreaptă.
Însă, noi știm că funcția e definită pe un interval, adică pe acest interval de la minus 2 la 1.
Păi asta înseamnă că, de fapt, graficul funcției care este?
Este această porțiune din dreaptă.
Și haideți să trasăm porțiunea respectivă.
Și ce am obținut?
Avem, de fapt, un segment.
Capetele segmentului sunt aceste două puncte.
Și chiar putem să trecem faptul că, de vreme ce minus 2 aparține domeniului de definiție,
punctul pe care îl obținem aici de coordonate minus 2 și 1 aparține graficului funcției.
Deci aici avem un segment închis la acest capăt.
Și chiar și în tabel putem să trecem o paranteză pătrată să arătăm că acest punct într-adevăr aparține graficului.
Același lucru se întâmplă și aici pentru că 1 e în domeniul de definiție.
Deci trecem paranteză pătrată și aici.
Nu e neapărat să trecem aceste paranteze, dar poate că ne sunt de ajutor când trasăm graficul.
Și iată că am obținut, de fapt, un segment închis.
Dar dacă avem funcția definită pe intervalul deschis la acest capăt și închis la acesta 1, 4, cu valori în R,
f de x egal cu x minus 2.
Tot așa vrem să-i trasăm graficul.
Haide să trecem aici o x și o y.
Avem și unitatea de măsură.
Să facem tabelul de valori.
Vom trece x și f de x.
Ce valori vom da pentru x?
Păi iată că aici avem un interval deschis la acest capăt.
Numărul 1, fiind un interval deschis aici, nu aparține acestui interval.
Cu alte cuvinte, nu putem să-i dăm lui x valoarea 1.
Și nu putem nici să calculăm f de 1 pentru că funcția nu este definită în 1.
Totuși, o să trecem în tabelul de valori.
Valoarea 1 pentru x, chiar o să și calculăm f de 1.
O să considerăm că funcția în 1 are aceeași lege ca aici.
Adică obținem 1 minus 2, adică minus 1.
Completăm tabelul.
Însă, de vreme ce 1 nu aparține domeniului de definiție, înseamnă că acest punct pe care l-am obținut aici,
de coordonate 1 și minus 1, nu aparține graficului funcției f.
Cu alte cuvinte, vom obține și aici un segment și la capătul reprezentat de acest punct, segmentul va fi deschis.
Apoi, luăm pentru x valoarea 4. 4 se află în domeniul de definiție, că avem aici intervalul închis.
Calculăm și f de 4 și avem așa 4 minus 2, care ne dă 2.
Obținem punctul de coordonate 4 și 2, care aparține graficului funcției f, pentru că 4 este în domeniul de definiție.
Și putem să trecem direct de aici, că vom obține aici, vom avea, va fi un segment deschis la acest capăt și închis la acesta.
Și acum, haide să trecem punctele.
Avem coordonatele 1 și minus 1.
1 aici și minus 1.
Punctul este, iată, acesta.
4 și 2. Trecem aici.
2, 3, 4.
Pe y trecem numărul 2.
1, 2.
Și să vedem unde este acest punct. Iată-l.
Cum funcția e definită pe acest interval, adică între 1 și 4, înseamnă că trasăm graficul funcției unind aceste două puncte.
Și să le unim.
Cum am spus, vom obține un segment care este deschis la acest capăt, unde avem punctul de coordonate 1 și minus 1, pentru că acest punct, de fapt, nu aparține graficului funcției.
Deci nu aparține acestui segment.
Și am trecut paranteză deschisă, dar aici punctul de coordonate 4 și 2 aparține graficului, deci trecem aici, segment închis la acest capăt.
Dacă avem însă un interval nemărginit, de exemplu.
Și luăm funcția g definită pe intervalul nemărginit minus infinit 3 cu valori.
G de x egal 2 ori x minus 1.
X ia valori acum de la minus infinit, deci de la minus infinit până la 3.
Și haide să trecem aici.
1, 2, 3.
Nu știm în rest ce se petrece cu funcția noastră.
Deci dacă ar fi, chiar o să trecem aici, ducem o dreaptă paralelă cu axa OY, chiar prin acest punct de abscisă 3.
Nu știm ce se petrece cu funcția pentru x mai mare strica 3.
Deci în această parte a planului nu vom reprezenta grafic funcția noastră, pentru că nu știm ce lege are.
Atunci, ce va fi graficul funcției? Cum o să arate el?
G de x are această formă a or x plus b.
E clar că a este 2, iar b este minus 1.
Dacă funcția ar fi fost definită pe mulțimea numerelor reale, atunci am fi obținut o dreaptă.
Însă, de vreme ce noi ne oprim la numărul 3, înseamnă că dreapta noastră o să se oprească undeva pe această linie verticală.
Adică o să avem o dreaptă mărginită, să zicem așa, la un capăt.
Ce o să fie ea? Va fi o semidreaptă.
Și atunci, știm că obținem o semidreaptă, de ce puncte avem nevoie ca să o determinăm?
Ei ne trebuie neapărat să îi dăm lui x valoarea 3, pentru că așa o să obținem originea semidreptei.
Și haide să notăm.
Facem tabelul de valori.
Avem x, g de x.
Îi dăm lui x neapărat valoarea 3.
Și ne mai trebuie încă o valoare.
Acum nu putem să trecem aici minus infinit, să calculăm g de minus infinit, pentru că nu este un număr.
Însă putem să luăm orice număr vrem cuprins între minus infinit și 3.
Și să luăm, de exemplu, pe 0.
Și calculăm.
g de 0, care este 2 ori 0, minus 1, adică minus 1.
g de 3 este 2 ori 3, minus 1, adică ne dă 5.
Deci trecem aici 5.
Și avem punctele de coordonate 0 și minus 1.
Iar următorul punct, al doilea, este de coordonate 3 și 5.
Și le reprezentăm.
0 și minus 1.
Trecem minus 1 aici.
Și iată punctul.
Vorbim de acest punct.
3 și 5 îl avem pe 3.
Avem aici 1, 2, 3, 4 și 5.
Și unde este punctul?
Bun, avem aici punctul de coordonate 3 și 5.
Cum am spus, obținem o semidreaptă.
Originea este aici, în acest punct.
Și atunci, haideți să o trasăm.
Vom obține această semidreaptă, care reprezintă, de fapt, graficul funcției g.
Acum, cum este semidreapta?
Intervalul este închis la acest capăt.
Deci, punctul de coordonate 3 și 5 aparține graficului funcției.
Putem să notăm aici.
Aparține graficului funcției g.
Deci, acest punct se află pe semidreaptă.
Avem, prin urmare, o semidreaptă închisă.
Deci, putem să reținem.
Chiar o să se vadă mai bine.
Ne putem să reținem că, atunci când ni se dă un interval nemărginit la un capăt și mărginit la celălalt,
pentru o funcție care are forma A or X plus B,
graficul va fi o semidreaptă.
Dar, dacă avem funcția H definită pe intervalul nemărginit 2 plus infinit cu valori în R,
H de X egal cu X supra 2.
Acum, avem un interval nemărginit și deschis la acest capăt.
Deci, X ea valori de la 2.
Aici este 1, 2.
Deci, de la 2 la plus infinit.
Acum, în tabelul de valori,
deși numărul 2 nu aparține domeniului de definiție,
totuși îi dăm lui X valoarea 2.
Însă, punctul pe care îl vom obține aici,
care va fi, de fapt, originea semidreaptei,
nu aparține graficului funcției.
Deci, vom avea o semidreaptă deschisă.
Și să mai luăm și încă un număr cuprins între 2 și plus infinit.
De exemplu, 4, că aici trebuie să împărțim la 2.
Și calculăm HD2,
care ne dă 2 supra 2, adică 1.
Trecem 1.
HD4, adică 4 împărțit la 2 ne dă 2.
Am obținut punctele de coordonate 2 și 1
și al doilea punct, coordonatele 4 și 2.
Avem aici pe 2 să trecem pe 1
și să trecem punctul.
Iată, avem acest punct,
4 și 2,
3, 4,
și aici este numărul 2.
Și am obținut cele două puncte.
Iată-le, acesta și acesta.
Acum, cum domeniul de definiție începe de la 2 încolo,
înseamnă că acest punct este originea semidreptei.
Și această semidreaptă e graficul funcției H.
Cum am spus, avem o semidreaptă deschisă la acest capăt,
pentru că punctul de coordonate 2 și 1,
adică acest punct,
nu aparține graficului funcției H,
pentru că funcția este definită pe un interval deschis la acest capăt.
Prin urmare, avem o semidreaptă deschisă.