Transcript: Funcția tangentă

În această lecție o să discutăm despre funcția tangentă și proprietățile acesteia.
Avem cercul trigonometric și am construit o tangentă la cerc. Aceasta intersectează cercul în punctul A.
Am prelungit raza vectoare OM, care intersectează tangenta în punctul B de coordonate 1-Y.
Abscisa punctului B este 1, deoarece proiecția acestui punct pe axa OX este punctul A,
iar lungimea segmentului OA este egală cu 1, deoarece OA este rază în cercul unitate.
Proiecția punctului B pe axa OY reprezintă ordonata acestui punct și am notat-o cu Y.
Observăm așadar că s-a format un triungh dreptunghic OAB,
iar în acest triungh dreptunghic putem să aplicăm relația trigonometrică-tangentă.
Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată unghiului alfa, așadar o să avem AB supra OA.
Dar lungimea segmentului AB este egală cu Y, iar lungimea segmentului OA este 1.
Prin urmare, tangenta de alfa este egală cu Y.
Observăm așadar că putem să construim o funcție care asociază fiecărui unghi alfa
ordonata punctului de pe tangentă, iar această funcție va fi funcția tangentă.
Haideți să exprimăm și sinus de alfa.
Sinus este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, deci avem AB supra OB.
Iar cosinus de alfa este cateta alăturată supra ipotenuză, OA supra OB.
Și acum să facem raportul dintre sinus și cosinus și vom avea AB supra OB supra OA supra OB
egal cu AB supra OB ori OB supra OA.
Se simplifică OB cu OB și ne rămâne AB supra OA, dar AB supra OA este chiar tangentă de alfa.
Observăm așadar că tangenta unghiului alfa este raportul dintre sinus și cosinus.
Prin urmare, funcția tangentă nu va fi definită pentru acele valori ale lui alfa pentru care cosinusul este 0.
Iar cosinus de alfa este 0 când alfa este pi pe 2, 3pi pe 2, 5pi pe 2 și așa mai departe.
Deci cosinus ia valoarea 0 pentru orice multiplu impar de pi supra 2.
Prin urmare, funcția tangentă va fi definită pe R din care scoatem acele valori care anulează numitorul acestei fracții.
Deci avem multiplii impari de pi supra 2 și cu valori în R unde k este un număr întreg.
Și acum haideți să vedem semnul acestei funcții pentru unghiuri din cele patru cadrane.
Am văzut că tangenta unghiului alfa este lungimea segmentului AB de pe tangentă.
Dacă segmentul AB este situat deasupra axe OX, atunci tangenta este pozitivă, iar dacă segmentul AB este situat sub axea OX, atunci tangenta va fi negativă.
În cazul în care alfa este un unghi din primul cadran, atunci observăm că tangenta este pozitivă.
Cu cât unghiul crește spre pi supra 2, atunci lungimea acestui segment crește și se apropie de plus infinit.
Vom spune că tangentă de pi supra 2 este plus infinit.
Cu alte cuvinte, tangenta nu are o valoare reală în pi supra 2.
Observăm că în acest caz raza vectoare este paralelă cu tangenta, așadar nu există punct de intersecție între rază și tangentă.
De aceea vom spune că tangenta nu este definită în pi supra 2.
Dacă unghiul alfa crește spre pi supra 2, atunci tangenta este plus infinit.
Iar dacă unghiul alfa scade de la pi spre pi supra 2, atunci tangenta va fi minus infinit.
Observăm că în acest caz segmentul roz este situat sub axa OX.
Aici avem minus infinit, iar aici plus infinit.
Cu alte cuvinte, în jurul valorii de pi supra 2, tangenta sare de la plus infinit la minus infinit.
Acum pentru unghiurile din al doilea cadran, din intervalul pi supra 2 pi, tangenta este negativă.
Observăm că acest segment roz este situat sub axa OX.
Pentru unghiurile din al treilea cadran, tangenta este pozitivă și aici am prelungit raza vectoare până intersectează tangenta în punctul B.
Iar pentru unghiurile situate în al patrulea cadran, tangenta este negativă.
În continuare să discutăm câteva aspecte despre monotonia acestei funcții.
Pentru unghiurile din primul cadran, deci când alfa ia valori cuprinse în intervalul 0 pi supra 2, funcția este crescătoare.
Observăm că cu cât crește măsura unghiului, cu atât crește și lungimea segmentului AB.
În pi supra 2, tangenta nu este definită.
Pentru unghiurile din cadranul 2, funcția este crescătoare.
Vom spune că tangenta crește de la minus infinit spre 0.
Pentru unghiurile din cadranul 3, tangenta este de asemenea crescătoare.
Observăm că cu cât crește măsura unghiului alfa, cu atât crește și lungimea segmentului AB.
În 3 pi supra 2, tangenta nu este definită.
Iar pentru unghiurile din cadranul 4, tangenta este crescătoare.
Aceasta crește de la minus infinit spre 0.
Ne interesează în continuare și paritatea acestei funcții.
Pentru aceasta voi construi un unghi negativ.
Acesta este unghiul minus alfa.
Tangenta este dată de lungimea acestui segment.
Observăm că tangentă de minus alfa va fi egal cu minus tangentă de alfa,
pentru că aici segmentul este orientat în sens negativ.
Prin urmare vom spune că tangenta este o funcție impară.
Și acum să discutăm câteva aspecte despre periodicitatea acestei funcții.
Funcția tangentă este o funcție periodică.
Dacă la acest unghi alfa adunăm pi, atunci se obține acest unghi.
Deci aici avem unghiul alfa plus pi.
Prin urmare, tangenta unghiului alfa are aceeași valoare cu tangenta unghiului alfa plus pi,
pentru că vorbim de același segment AB.
Funcția tangentă este o funcție periodică, iar perioada principală este pi.
Așadar, este suficient să studiem funcția tangentă pe un interval de lungimea unei perioade,
iar acest interval va fi minus pi supra 2, pi supra 2.
Aici este minus pi supra 2.
Coincide cu punctul 3pi pe 2 pe cercul trigonometric,
deoarece deplasându-ne de la 0 în sens negativ un sfert de cerc, ajungem în acest punct.
Prin urmare, graficul funcției tangentă va fi reprezentat pe intervalul minus pi supra 2, pi supra 2
și apoi va fi translatat la stânga și la dreapta de-a lungul axei OX.
Haideți să vedem graficul acestei funcții.
Acesta este graficul funcției tangentă.
Observăm că este suficient să trasăm graficul acestei funcții pe un interval de lungimea unei perioade,
iar acest interval este minus pi supra 2, pi supra 2.
Observăm că tangentă de 0 este 0,
funcția este impară, prin urmare graficul va fi simetric față de origine
și observăm de asemenea că funcția este crescătoare pe intervale de forma minus pi supra 2, pi supra 2.