Transcript: Funcția sinus

În lecția aceasta o să discutăm despre funcția trigonometrică sinus și despre proprietățile acesteia.
Avem în imagine cercul trigonometric și am construit un unghi alfa căruia îi corespunde punctul M pe cerc.
Am văzut în lecția trecută că proiectând raza OM pe axele OX respectiv OY se obțin coordonatele punctului M.
X este abscisa, iar Y este ordonata.
Dacă ne uităm în acest triungh dreptunghic care s-a format, observăm că sinusul unghiului alfa
este raportul dintre cateta opusă, adică acest segment roz, și ipotenuza OM.
Însă OM este rază în cercul trigonometric, prin urmare lungimea acestui segment este egală cu 1
și atunci obținem că sinus de alfa este egal cu Y.
Observăm așadar că putem să construim o funcție care asociază fiecărui unghi alfa
ordonata punctului corespunzător de pe cerc, iar această funcție se va numi funcția sinus.
În acest exemplu unghiul alfa este pozitiv deoarece a fost construit pornind de la 0 în sens trigonometric,
deci în sens pozitiv, însă există și unghiuri negative.
Iată, dacă plecăm de la 0 în sens invers, adică în sens negativ,
atunci valoarea unghiului alfa este negativă.
Prin urmare, domeniul de definiție al funcției sinus va fi mulțimea numerelor reale,
deoarece unghiurile alfa pot să fie atât pozitive cât și negative.
Și acum haideți să vedem semnul acestei funcții pentru unghiuri în diferite cadrane.
Mai întâi o să șterg punctul acesta M ca să nu fie prea încărcată figura.
Dacă unghiul alfa este în primul cadran, deci alfa aparține intervalului 0π2,
atunci sinusul acestui unghi este pozitiv, deoarece ordonata punctului M este pozitivă.
În cazul în care unghiul este situat în cadranul al doilea,
deci alfa ia valori cuprinse în intervalul πp2π,
sinusul unghiului alfa este pozitiv, pentru că avem de asemenea ordonată pozitivă.
Dacă alfa este un unghi din cadranul al treilea, atunci ordonata este negativă.
Observăm că aici Y este negativ pentru că suntem situați sub axa OX.
Iar dacă alfa este un unghi în cadranul al patrulea,
cu alte cuvinte alfa aparține intervalului 3π2 și 2π,
sinusul unghiului alfa va avea de asemenea o valoare negativă,
pentru că ordonata acestui punct este negativă.
Așadar să reținem că pentru unghiuri situate în primul și în al doilea cadran,
sinusul este pozitiv, iar dacă alfa este în cadranul 3 sau 4,
sinusul este negativ.
În continuare ne interesează imaginea funcției sinus.
Pentru aceasta ar trebui să vedem care este cea mai mică,
respectiv cea mai mare valoare pe care o poate lua sinusul unui unghi alfa.
În cazul în care unghiul are măsura egală cu 0 grade sau 0 radiani,
atunci sinusul unghiului alfa va fi egal cu 0,
pentru că ordonata acestui punct este 0.
Dacă alfa este egal cu pi pe 2,
atunci observăm că sinus de pi pe 2 este 1.
Dacă alfa este egal cu pi,
deci avem un unghi cu măsura de 180 de grade,
atunci sinus de alfa va fi 0.
Dacă alfa este 3 pi pe 2,
atunci sinusul va avea valoarea minus 1.
Și dacă alfa este egal cu 2 pi,
sinus de 2 pi este egal cu 0.
Remarcăm așadar faptul că cea mai mică valoare pe care o poate lua sinus de alfa este minus 1
și aceasta are loc pentru unghiul cu măsura de 3 pi pe 2 radiani,
iar cea mai mare valoare pe care o ia sinus de alfa este 1
pentru unghiul cu măsura de pi pe 2 radiani.
O să vedem imediat că funcția sinus este o funcție periodică
și mai sunt și alte unghiuri pentru care sinusul ia valoarea minus 1, respectiv 1.
În concluzie să reținem că imaginea funcției sinus este intervalul închis minus 1, 1.
Putem să verificăm acest lucru și pentru câteva valori intermediare.
De exemplu, dacă unghiul alfa are măsura de 30 de grade,
45 sau 60 de grade,
atunci sinus de alfa ia valorile 1 pe 2 radical din 2 pe 2 și radical din 3 supra 2,
iar toate aceste fracții sunt subunitare.
Așadar sinus de alfa poate lua valoarea maximă 1.
În concluzie putem să definim funcția sinus pe mulțimea numerelor reale
și cu valori în intervalul închis minus 1, 1.
Să vedem în continuare câteva aspecte legate de monotonia acestei funcții.
Dacă alfa este un unghi în primul cadran, atunci funcția sinus este o funcție crescătoare.
Ne uităm la segmentul roz și observăm că lungimea acestui segment crește pe măsură ce crește valoarea unghiului alfa.
Iată, pentru unghiuri din ce în ce mai mari, atunci și sinusul ia valori din ce în ce mai mari.
Dacă alfa este un unghi din cadranul al doilea, funcția sinus este descrescătoare.
Observăm că pe măsură ce unghiul alfa crește, valoarea funcției sinus scade și ea se apropie de 0.
Dacă alfa este un unghi din cadranul al treilea, funcția sinus este de asemenea funcție descrescătoare
pentru că aici avem ordonată negativă, așadar sinus pornește de la 0 și scade până la valoarea minus 1.
Iar pentru unghiurile din cadranul al patrulea, funcția sinus este crescătoare.
Aici ordonata crește de la minus 1 până la 0.
Așadar să reținem că funcția sinus este crescătoare pe intervalul 0pi supra 2, respectiv 3pi pe 2, 2pi,
iar în intervalul pi supra 2 și 3pi supra 2, funcția este descrescătoare.
Sau cu alte cuvinte, funcția este crescătoare pentru unghiuri din cadranul 1 și cadranul 4
și descrescătoare pentru unghiurile din cadranul 2 și 3.
În continuare, aș vrea să verificăm paritatea acestei funcții.
Ne interesează să vedem ce se întâmplă cu valoarea funcției sinus pentru unghiuri negative.
Iar pentru aceasta, voi construi un unghi negativ.
Iată, avem acest unghi care a fost construit pornind din punctul inițial în sens negativ, adică în sens orar.
Observăm că ordonata acestui punct este negativă pentru că suntem sub axa OX.
Însă, în modul, cele două ordonate au aceiași valoare.
Cu alte cuvinte, sinus de minus alfa va fi egal cu minus sinus de alfa,
pentru că aceste două segmente, segmentul roz, respectiv segmentul roșu, au aceiași lungime.
În concluzie, putem afirma că funcția sinus este o funcție impară.
Spuneam mai devreme că funcția sinus este periodică.
Iar asta înseamnă că pentru unghiuri diferite funcția sinus poate avea aceeași valoare.
Haideți să verificăm acest lucru.
Noi știm că un cerc întreg are 360 de grade sau 2pi radiani.
Dacă la acest unghi alfa voi aduna 2pi, ajungem în același punct M din care am pornit.
Deci cele două unghiuri alfa, respectiv alfa plus 2pi, vor avea același sinus, pentru că ordonata coincide.
La fel se întâmplă și dacă pornesc de aici și efectuez o rotație completă, dar în sens negativ.
Așadar, dacă scădem din alfa valoarea 2pi, vom ajunge în același punct din care am pornit.
Deci unghiul alfa minus 2pi are același sinus cu unghiul alfa și cu unghiul alfa plus 2pi.
În concluzie putem afirma că funcția sinus este periodică, iar perioada principală a acesteia este 2pi.
În continuare o să vedem graficul funcției sinus.
Acesta este graficul funcției sinus.
Observăm că valorile acestei funcții sunt cuprinse în intervalul minus 1, 1.
Sinus de 0 este 0.
Sinus de pi pe 2 este 1.
Sinus de pi este 0.
Sinus de 3pi pe 2 este minus 1.
Sinus de 2pi este 0, și așa mai departe.
Spuneam mai devreme că funcția sinus este periodică, iar perioada principală este 2pi.
Prin urmare este suficient să generăm graficul acestei funcții pe lungimea unei perioade, adică pe intervalul 0, 2pi,
iar apoi să îl translatăm la stânga și la dreapta.
Proprietățile funcției sinus se pot citi și de pe graficul funcției.
De exemplu, remarcăm faptul că funcția este impară, datorită faptului că graficul acesteia este simetric față de origine.
Apoi observăm monotonia funcției.
Pe intervalul 0pi pe 2 funcția este crescătoare.
Pe intervalul pi supra 2, 3pi pe 2, funcția este descrescătoare.
Iar pe intervalul 3pi pe 2 și 2pi, funcția este crescătoare.