Transcript: Funcția de gradul II- noțiuni introductive

În această lecție vom face funcția de gradul al doilea și mai cu seamă part introductivă a acestei noțiuni.
Pentru început, vă propun probleme care conduc la funcția de acest tip.
Există extrem de multe exemple concrete care au impus studiul sistematic al funcției de gradul al doilea.
Printre acestea amintesc.
O primă problemă este legată de area unui pătrat care este în funcție sau funcție de lungimea laturii sale, notată de mine cu x.
Mai precis, legea sau procedeul ce descrie sau definește această funcție este dată de relația A mare egal cu x pătrat.
Vă reamintesc că în clasele primare latura pătratului era notată cu l mic.
Un al doilea exemplu pe care vi-l propun în discuție este legat de area unui cerc care este funcție de lungimea razei sale,
în aceeași măsură notată cu x în cazul exemplului exprimat și care era descrisă de legea de formula A mare egal cu pi înmulțit cu x pătrat,
unde, foarte important, pi-ul era o constantă aproximativ egală cu 3,14.
În aceeași ordine de idei, vă reamintesc că în clasele primare raza cercului era notată cu R mare.
Un alt exemplu, un al treilea, este dat din fizică și exprimă căderea liberă a unui corp în vid,
sub acțiunea unei forțe, numită forță gravitațională, a spațiului ST parcurs de corp în timpul T,
care, spațiul, este definit de formula S de T egal cu g supra 2 totul înmulțit cu T pătrat.
Vă reamintesc că g-ul era o constantă aproximativ egală cu 9,8 m pe secundă la pătrat.
Un alt exemplu, dintr-un turn de înălțime h0 se aruncă o piatră pe verticală în sus cu viteza inițială v0.
Deci turnul are înălțimea h0, se aruncă această piatră în sus, pe verticală, cu o anumită viteză și anume viteza v0, viteza inițială.
Înălțimea h de T la care piatra aruncată ajunge la momentul T este dată de formula
h de T egal cu h0, înălțimea turnului, plus v0, viteza inițială, înmulțită cu T, timpul, minus g supra 2 înmulțit cu T pătrat.
Ați putea să recunoașteți aici g supra 2 înmulțit cu T pătrat ca fiind acel spațiu parcurs de corp în timpul T.
Un alt cincilea exemplu și practic ultimul pe care vi-l ofer,
în mișcarea uniform accelerată, spațiul st parcurs de un mobil în timpul T este dat de formula s de T egal cu a supra 2 de înmulțit cu T pătrat,
unde a este sau reprezintă accelerația mobilului.
În continuare o definiție, fiind date numerele reale a mic, b mic și c mic cu a mic număr nenul, deci real, nenul,
funcția f mic definită pe R cu valori în R, înmulțimea numelor reale,
definită prin legea f de x egal cu ax pătrat plus bx plus c, se numește funcția de gradul al doilea cu coeficienții a mic, b mic, respectiv c mic.
Pentru o lămurire a situației, în continuare voi da câteva observații utile și benefice în cunoașterea noțiunii de funcție de gradul al doilea.
Domeniul și codomeniul funcției de gradul al doilea este mulțimea numelor reale, așa cum s-a văzut R, respectiv R.
Deci funcția de gradul al doilea este o funcție numerică.
În momentul în care domeniul, respectiv codomeniul unei funcții, este mulțimea numelor reale, ea, ca și funcție, se numește funcție numerică.
O a doua observație.
Deoarece domeniul și codomeniul funcției de gradul al doilea este R, vom indica această funcție astfel.
Fx egal cu ax pătrat plus bx plus c. Acest mod de prezentare, de descriere, este cel din definiția standard.
Sau, y egal cu ax pătrat plus bx plus c. Deci, Fx este egal cu y.
O a trei observație.
O funcție de gradul al doilea se numește perfect determinată atunci când se cunosc valorile coeficienților real, a mic, b mic și c mic, cu, în mod obligatoriu, a număr real nenul.
O a patra observație, supusă atenție, este esențial să observăm că în definirea legii sau procedeului funcției de gradul al doilea, valoarea reală a coeficientului a este nenulă.
Deoarece, în caz contrar, adică atunci când a este egal cu 0, funcția dată ar conduce la o funcție de gradul întâi.
Bine și spun, dacă a e 0, terminul x pătrat, ax pătrat dispare.
Înțeleg în acest moment că funcția, într-adevăr, devine Fx egal cu bx plus c, care, așa cum am studiat în lecțiile precedente, este o funcție de gradul întâi.
A cincea și ultima observație, denumirea de funcție de gradul al doilea, provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea.
Sunt în măsură să vă reamintesc că, într-o lecție precedentă, exprimam noțiunea de trinom ca o expresie matematică ce avea trei termeni.
Gradul 2, pentru că spun trinom de gradul al doilea, este dat de puterea maximă la care se afla necunoscuta x în această descriere, descrierea trinomului.
În continuare, voi da câteva exemple de funcții de gradul al doilea, astfel că, în primul exemplu, Fx este egal cu 9x pătrat minus 7x plus 4.
Cert este că, în acest moment, poți să înțeleg că a mic coeficientului x pătrat este 9, este diferit de 0, deci rămâne în funcție de gradul al doilea.
B mic este minus 7, este foarte important să înțelegeți că toți coeficienții ABC sunt luați în discuție cu tot cu semne, adică B este minus 7, respectiv C-ul este 4.
Toți, așa cum spuneam, sunt coeficienți reale.
În al doilea exemplu, Fx este egal cu radical din 2x pătrat plus radical din 3x plus 7.
A-ul se vede foarte clar, este radical din 2 în egală măsură, diferit de 0.
B-ul este radical din 3, respectiv C-ul este 7.
Exemplul 3, pe care îl supun atenție, este Fx egal cu 3x pătrat plus 2,5.
Este important să observați aici că lipsește termenul ce-l conține pe x, asta însemnând că A-ul este 3, diferit de 0,
B-ul coeficientului x, pe care nu-l avem, este în realitate 0, respectiv C-ul este egal cu 2,5.
Toți acești coeficienți, în egală măsură, sunt reale.
Un următor exemplu, Fx egal cu minus 2x pătrat minus 5.
În acest moment înțeleg că lipsește termenul liber.
Lipsește, adică are valoarea 0.
A-ul este minus 2, diferit de 0, B-ul este minus 5, respectiv C-ul este egal cu 0.
Și ultimul exemplu pe care îl propun este dat de Fx egal cu minus 0,8 înmulțit cu x pătrat plus 4 pe 7x plus 9, perioadă 3.
A-ul, în mod evident, este minus 0,8, iar spune CIA cu tot cu semn, diferit de 0, B-ul este 4 pe 7, respectiv C-ul este 9, perioadă 3.
Toate aceste valori, așa cum subliniam și mai devreme, sunt reale.
În continuare vom discuta despre graficul funcției de gradul al doilea.
Astfel, reprezentarea grafică a unei funcții de gradul al doilea este dată de o parabola.
Parabola este o curbă care, pentru construirea cât mai exactă, necesită reprezentarea cât mai multe puncte ale graficului.
Pentru înțelegerea acestei idei, moțiuni, am să dau și un exemplu de o funcție în care voi calcula cât mai multe puncte de pe grafic pentru această reprezentare.
Astfel, o reprezentare grafică a funcției f definită pe R cu valori în R cu legia f de x egal cu x pătrat va fi exprimată în continuare.
Ce aș putea să comentez înainte de a trece la fapte este că, în momentul în care văd funcția descrisă astfel, A-ul ca și coeficient este 1, diferit de 0, și acum exprimă mai devreme, B-ul, respectiv C-ul, sunt 0.
Am calculat această funcție în puncte, așa cum am spus, în cât mai multe puncte și am ales 0 care, conform descrierii, legii de definire, este x pătrat, deci va fi 0 la pătrat egal cu 0.
Am calculat în 1, respectiv, minus 1. Astfel, f de 1 este 1 la pătrat egal cu 1. Am calculat în minus 1, așa cum spuneam, înțelegând din aceasta cam, minus 1 la pătrat, deci totul la pătrat.
Știm că un număr negativ, ridicat la o putere pară garantat, va avea semnul plus. Astfel, rezultatul este garantat 1. F de 2, respectiv F de minus 2, este exact același principiu. Și, în ultimă fază, F de 3, respectiv F de minus 3, care au ca rezultat, amândouă, 9.
Înțeleg în acest moment că am puncte de pe grafic, sau cele care descriu parabola, care este, de fapt, reprezentarea grafică a funcției de gradul al doilea, și anume,
O de coordonate 0, 0, A de coordonate 1, 1, B de coordonate minus 1, 1, C de coordonate 2, 4, D de coordonate minus 2, 4, E de coordonate 3, 9, respectiv F de coordonate minus 3, 9.
Încheiem această lecție prin evidențierea așa-numitei parabole și, anume, a reprezentării funcției de gradul al doilea pentru exemplul exprimat, pentru care, în sistem cartezian XOY, vă propun această reprezentare.
Astfel că punctul de coordonate 0, 0, A mare de coordonate 1, 1, B de coordonate minus 1, 1, C de coordonate 2, 4, D de coordonate minus 2, 4, E de coordonate 3, 9, respectiv F de coordonate minus 3, 9.
Aceste puncte sunt determinate, dacă ați fost atenți, aici, puncte care, prin unirea lor, fac posibilă apariția, dacă vreți, a reprezentării grafice și, anume, a parabolei funcției f de x egal cu x pătrat, ceea ce este reprezentat cu galben.