Transcript: Funcția de gradul I: graficul și monotonia (teorie)

Salut! În lecția aceasta o să discutăm despre funcția de gradul întâi, despre graficul acesteia și monotonia.
O funcție f definită pe r cu valori în r, de forma f de x, egal cu ax plus b, unde a și b sunt numere reale, se numește funcție afină.
Iar dacă a este diferit de 0, atunci se obține funcția de gradul întâi. Se numește așa deoarece x este la puterea întâia.
Numerele a și b se numesc coeficienți, iar o funcție de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc acești coeficienți a și b.
Ecoația ax plus b egal cu 0 se numește ecoația tașată funcției.
Graficul unei funcții de gradul întâi este o dreaptă. Noi știm că o dreaptă este bine determinată dacă se cunosc două puncte.
Așadar, pentru a reprezenta geometric graficul unei funcții de gradul întâi, vom alege două valori arbitrare pentru x și apoi calculăm valorile funcției.
Uneori însă e de preferat să trasăm graficul funcției de gradul întâi, obținând punctele de intersecție cu axele ox și oy.
Să vedem un exemplu.
Avem funcția f definită pe r cu valori în r, f de x egal cu 2x minus 5.
Pentru a obține punctul de intersecție dintre graficul funcției și axea ox, vom pune condiția ca y să fie egal cu 0.
Asta înseamnă că f de x este 0.
Rezolvăm ecoația tașată 2x minus 5 egal cu 0 și obținem x egal cu 5 supra 2.
Așadar punctul de intersecție dintre graficul funcției și axea ox va fi punctul A de coordonate 5 supra 2, 0.
Pentru a obține acum punctul de intersecție dintre graficul funcției și axea oy, vom pune condiția ca abscisa să fie egală cu 0.
Așadar x este egal cu 0, iar ordonata se obține calculând f de 0.
f de 0 este egal cu 2 ori 0 minus 5 și egal cu minus 5.
Prin urmare avem punctul B de coordonate 0 și minus 5.
Și acum haideți să reprezentăm grafic această funcție într-un reper cartezian.
Punctul A de coordonate 5 supra 2, 0. 5 pe 2 este 2,5.
Iată, aici este punctul A de coordonate 5 pe 2, 0 și B de coordonate 0 și minus 5.
Aici avem punctul B.
Unind cele două puncte se obține graficul funcției f.
Iată, această metodă de a trasa graficul funcției obținând punctele de intersecție dintre grafic și axele ox și oy are unele avantaje.
De exemplu, atunci când se cere să determinăm area triunghiului obținut de graficul funcției f și axele ox și oy,
folosind această metodă putem determina rapid lungibile catetelor OA respectiv OB.
Să discutăm în continuare despre câteva cazuri particulare ale funcțiilor de forma AX plus B.
În cazul în care B este egal cu 0, obținem funcția f de x egal cu AX.
Graficul acestei funcții este o dreaptă care trece prin origine.
Aici întâlnim două situații particulare.
Dacă A este egal cu 1, se obține funcția f de x egal cu x.
Graficul acestei funcții este o dreaptă care trece prin origine.
Haideți să o trasăm.
Iată, dacă x este egal cu 1, atunci f de x este egal cu 1.
Deci avem punctul de coordonate 1, 1.
Dacă x este egal cu 2, f de x este 2.
Așadar obținem punctul de coordonate 2, 2.
Apoi avem punctul de coordonate 3, 3, 4, 4 și așa mai departe.
Dreapta astfel obținută, iată, este de fapt bisectoarea unghiului x, o, y,
de aceea această dreaptă se mai numește prima bisectoare.
O altă situație particulară, dacă A este egal cu minus 1,
atunci obținem funcția f de x egal cu minus x.
Iată, pentru x egal cu 1, f de 1 este minus 1,
deci avem punctul de coordonate 1, minus 1.
Dacă x este 2, f de x este minus 2.
Deci avem punctul de coordonate 2 și minus 2.
Apoi avem punctul de coordonate 3 și minus 3.
Iată, unind aceste puncte se obține o altă dreaptă.
Această dreaptă este bisectoarea unghiului y, o, x'
sau a unghiului x, o, y'
și ea se mai numește a doua bisectoare.
Și un alt caz particular al funcțiilor de forma f de x egal cu ax plus b
este cazul în care A este egal cu 0.
În această situație se obține funcția f de x egal cu b
iar această funcție se numește funcție constantă
iar graficul este o dreaptă paralelă cu axa o, x
care trece prin punctul de coordonate 0, b.
Iată, dacă punctul b este undeva aici
atunci toate valorile funcției sunt egale cu b
prin urmare graficul va fi o dreaptă paralelă cu axa o, x
care trece prin punctul de coordonate 0, b.
Și în continuare vreau să discutăm puțin despre monotonia funcției de gradul 1.
Fie funcția f definită pe R cu valori în R
unde f de x este egal cu ax plus b.
a și b, numere reale, a diferit de 0.
Alegem două valori arbitrare, x1 și x2, numere reale
astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
Știm că monotonia unei funcții se poate studia stabilind semnul raportului R egal
cu f de x1 minus f de x2
supra x1 minus x2.
Acesta se mai numește raportul de variație asociat funcției f.
Haideți să calculăm acest raport.
f de x1 va fi egal cu ax1 plus b
iar f de x2 este egal cu ax2 plus b
supra x1 minus x2.
Desfacem paranteza și dăm factor comun pe a.
Avem a pe lângă x1 minus x2
iar b cu minus b se reduce.
Și la numitor avem x1 minus x2.
Observăm că se simplifică x1 minus x2
și în final ne rămâne a.
Observăm așadar că semnul acestui raport depinde de a.
Dacă a este un număr pozitiv
atunci raportul este pozitiv
iar funcția f va fi strict crescătoare
iar dacă a este negativ
atunci raportul de variație asociat funcției va fi negativ
prin urmare funcția va fi strict descrescătoare.
Așadar e foarte important să reținem că monotonia funcției de gradul 1
depinde de semnul lui a.
Dacă a este pozitiv funcția este strict crescătoare
iar dacă a este negativ funcția este strict descrescătoare.
De exemplu, funcția f definită pe r cu valori în r
f de x egal cu minus radical din 2x plus 5
este o funcție strict descrescătoare pentru că a este negativ
iar f definită pe r cu valori în r
f de x egal cu 3 pe 4x plus 9
va fi o funcție strict crescătoare pentru că a este pozitiv.