Transcript: Funcția cotangentă

În această lecție o să discutăm despre funcția cotangentă și proprietățile acesteia.
Avem cercul trigonometric și am construit o tangentă la cerc, aceasta intersectează cercul în punctul A.
Am construit de asemenea un unghi alfa în sens trigonometric și am prelungit raza vectoare OM
până intersectează tangenta într-un punct pe care l-am notat cu B.
Abscisa punctului B este proiecția punctului pe axa OX și am notat abscisa cu X,
iar ordonata punctului B este dată de proiecția acestui punct pe axa OY, mai exact de lungimea segmentului OA,
dar OA este rază în cercul trigonometric, prin urmare ordonata acestui punct este egală cu 1.
Observăm că tangenta la cerc este paralelă cu axa OX,
prin urmare aceste două unghiuri sunt congruente, ele fiind unghiuri alterne interne.
Și acum ne uităm în triunghiul dreptunghic AOB, dreptunghic în A, și avem cotangentă de alfa,
este raportul dintre cateta alăturată unghiului alfa și cateta opusă, deci AB, supra OA,
dar lungimea segmentului AB este egală cu X, iar lungimea segmentului AO este 1.
Prin urmare avem cotangentă de alfa egal cu X.
Observăm așadar că putem să construim o funcție care asociază fiecărui unghi alfa,
din orice cadran, abscisa punctului de pe tangentă, iar această funcție va fi cotangentă.
În acest triunghi AOB putem exprima sinusul și cosinusul unghiului alfa
și putem observa că funcția cotangentă se poate exprima ca raportul dintre cosinus și sinus.
Haideți să facem cosinus de alfa, supra sinus de alfa și avem
cosinus de alfa este cateta alăturată supraipotenuză, deci AB, supra OB,
iar sinus de alfa este cateta opusă supraipotenuză, AO, supra OB.
Avem AB, supra OB, ori OB, supra AO.
Se simplifică și ne rămâne AB, supra AO, deci egal cu cotangentă de alfa.
Prin urmare, funcția cotangentă va fi definită ca raportul dintre cosinus de alfa și sinus de alfa.
Însă funcția cotangentă nu va fi definită pentru acele valori ale lui alfa pentru care sinusul este 0,
iar sinus de alfa este 0 când unghiul are măsura egală cu 0 grade sau 0 radiani, pi, 2pi, 3pi și așa mai departe.
Prin urmare, vom defini funcția cotangentă pe R, întrucât putem avea atât unghiuri pozitive cât și negative,
dar din care scădem acele valori care anulează numitorul acestei fracții, mai exact scădem acei multipli întregi de pi.
Avem KP și cu valori în R, unde K este număr întreg.
În continuare vom studia semnul acestei funcții pentru unghiurile din cele patru cadrane.
Am văzut că valoarea funcției cotangentă de alfa este dată de lungimea segmentului AB.
Dacă segmentul AB este situat la dreapta axe OY, atunci abscisa punctului B este pozitivă,
prin urmare cotangenta este pozitivă, iar dacă segmentul AB este situat în partea stângă a axe OY,
atunci cotangenta este negativă.
Pentru unghiurile alfa din primul cadran, cotangenta este pozitivă, observăm că abscisa acestui punct este situată la dreapta axe OY.
Pentru unghiurile din cadranul 2, cotangenta este negativă, aici abscisa punctului B este negativă.
Pentru unghiurile din cadranul 3, iată am prelungit raza vectoare până intersectează tangenta în punctul B
și observăm că funcția cotangentă ia valori pozitive pentru unghiurile din cadranul 3.
Iar pentru unghiurile din cadranul 4, la fel și aici am prelungit raza vectoare până intersectează tangenta în punctul B,
iar pentru aceste unghiuri cotangenta este negativă.
În cazul în care unghiul are măsura egală cu 0 grade sau 0 radiani,
atunci raza vectoare este paralelă cu tangenta,
așadar funcția cotangentă nu are o valoare reală pentru unghiul cu măsura de 0 grade sau 0 radiani,
întrucât nu există punct de intersecție între raza vectoare și tangentă.
Putem spune că pentru unghiul de 0 radiani cotangenta are valoarea egală cu plus infinit.
În cazul în care unghiul alfa are măsura egală cu pi radiani,
atunci observăm că și în această situație raza vectoare este paralelă cu tangenta,
însă orientată la stânga axei OY,
prin urmare vom spune că funcția cotangentă de pi are valoarea egală cu minus infinit.
În continuare vom studia monotonia acestei funcții.
Pentru unghiurile din cadranul întâi observăm că cu cât crește măsura unghiului alfa,
cu atât scade lungimea segmentului AB,
prin urmare funcția cotangentă este descrescătoare, chiar strict descrescătoare.
Pentru unghiurile din cadranul 2 funcția de asemenea este descrescătoare
pentru că cu cât crește măsura unghiului alfa, abscisa punctului B scade de la 0 la minus infinit.
Pentru unghiurile din cadranul al treilea funcția cotangentă este descrescătoare.
Cu cât crește măsura unghiului alfa, cu atât scade lungimea segmentului AB.
Iar pentru unghiurile din cadranul al patrulea funcția cotangentă este de asemenea descrescătoare.
Aceasta ia valori negative de la 0 către minus infinit.
În continuare vom studia paritatea acestei funcții.
Ca și funcția tangentă, funcția cotangentă este o funcție impară.
Iată dacă vom construi un unghi în sens negativ.
Am construit aici un unghi egal în modul cu unghiul alfa, dar orientat în sens negativ.
Prin urmare cotangenta acestui unghi va fi dată de abscisa acestui punct.
Am prelungit raza vectoare până intersectează tangenta.
Iar segmentul acesta care se formează pe tangentă are aceeași lungime cu segmentul AB,
însă este orientat în sens negativ.
Prin urmare putem spune că funcția cotangentă de minus alfa este egală cu minus cotangentă de alfa.
Așadar funcția cotangentă este o funcție impară.
Singura funcție pară este funcția cosinus.
Ca și funcția tangentă, funcția cotangentă este o funcție periodică, având perioada principală egală cu pi.
Iată dacă la acest unghi adunăm pi radiani, atunci vom obține unghiul acesta.
Așadar aici avem unghiul alfa plus pi.
Observăm că acestui unghi îi corespunde același punct pe tangentă.
Prin urmare abscisa unghiului alfa coincide cu abscisa unghiului alfa plus pi.
Prin urmare cotangentă de alfa este egală cu cotangentă de alfa plus pi.
Așadar funcția cotangentă este o funcție periodică, având perioada principală egală cu pi.
Graficul acestei funcții se va reprezenta pe un interval de lungime a unei perioade, de regulă acest interval este 0pi,
iar apoi se generează translatându-l la stânga și la dreapta, de-a lungul axei OX.
Haideți să vedem și graficul acestei funcții.
Acesta este graficul funcției cotangentă.
Observăm că funcția este descrescătoare pe intervalul 0pi.
Apoi funcția cotangentă nu este definită în punctele 0pi, 2pi, minus pi, minus 2pi și așa mai departe.
Sau mai putem spune că în aceste puncte funcția cotangentă nu are o valoare reală,
deoarece cotangentă de 0 este plus infinit, iar cotangentă de pi este minus infinit.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția cotangentă este o funcție periodică,
iar perioada principală este egală cu pi,
prin urmare este suficient să reprezentăm graficul acestei a pe intervalul 0pi și apoi să-l translatăm de-a lungul axei OX.