Transcript: Forţa elastică. Legea Hooke.

În cea de-a șaptea lecție de mecanică newtoniană
vom discuta despre fenomenul de elasticitate
și despre legea Hooke.
Elasticitatea este proprietatea unor corpui
de a reveni de la sine la forma și dimensiunile inițiale
după ce încetează acțiunea forțelor exterioare
care le-au deformat.
Proprietatea sau fenomenul opus celui de elasticitate
se numește plasticitate și reprezintă incapacitatea corpului
de a reveni la forma inițială după ce a fost deformat.
În practică elasticitatea este limitată întotdeauna,
adică există o deformare maximă a corpurilor elastice
peste care aceștia își pierd proprietatea de a fi elastice
și devin plastici, nu mai revin la forma inițială.
Se poate stabili experimental o relație
între forța deformatoare a unui corp
și alungirea corpului respectiv datorită acestei forțe.
Mai exact, se ia, spre exemplu, un resort care este fixat la un cap.
Și avem un resort de felul acesta
care este sub acțiunea, se află sub acțiunea
unei forțe deformatoare la celălalt cap.
Dacă notăm cu L0 lungimea nedeformată a resortului
și cu ΔL alungirea resortului datorat forței,
putem măsura, pentru varii valori ale forței deformatoare FD,
alungirea resortului ΔL.
Se obține că alungirea ΔL este proporțională cu forța deformatoare FD.
Deci avem o relație de felul acesta.
Pentru moment ne referim doar la magnitudinea
sau modulul forței deformatoare și nu la direcția și sensul acestui vector.
Deci, ΔL în această relație este alungirea resortului
fiind egală cu lungimea finală minus lungimea inițială nedeformată
și FD, după cum am spus, este forța deformatoare.
K este constanta elastică și se măsoară în newton pe metru.
Deci unitatea de măsură pentru constanta elastică este newton pe metru.
Pentru a introduce forța elastică,
care este forța ce se dezvoltă în resort
și care se opune forței deformatoare încercând să aducă resortul în starea nedeformată,
deci în acest caz forța elastică va avea sensul opus forței deformatoare,
deci acesta este FE, forța elastică,
care încearcă să aducă resortul în starea inițială,
pentru a defini această forță elastică definim vectorul deformare.
Vectorul deformare se notează cu X, este un vector,
și are magnitudinea sau modulul egal cu alungirea delta L.
Iar semnul sau sensul lui este pozitiv,
deci sensul este mai mare decât 0 în cazul alungirii și mai mic decât 0,
deci alungire,
și mai mic decât 0 pentru o deformare a resortului,
în care evident axa OX considerată are sensul forței deformatoare,
deci acesta este OX,
și vectorul deformare are sens pozitiv în cazul alungirii
și sens negativ în cazul comprimării resortului,
modul lui fiind întotdeauna delta L.
Cu acestea se poate defini forța elastică notată cu FE
ca un vector care este egal cu FD,
forța deformatoare are aceeași direcție, dar sens contrar,
și care este egal cu minus constanta elastică
înmulțită cu vectorul deformare X,
definit, după cum am spus mai sus,
care are, din nou, sens pozitiv în cazul alungirii
și sens negativ sau semn negativ,
însă în cazul deformării.
În cazul general, însă,
forța deformatoare nu acționează într-un punct,
ci mai degrabă pe o suprafață a corpului supus deformării.
De aceea este mai util să introducem forța deformatoare
pe unitatea de suprafață a corpului ce este deformat.
Această cantitate, această mărime,
se numește efort unitar, se notează cu sigma.
De asemeni, introducem noțiunea de deformare relativă,
care este alungirea sau deformarea totală a corpului
împărțită la dimensiunea inițială,
nedeformată a corpului,
care se notează cu epsilon.
La fel, experimental se stabilește,
așa numită lege Hooke,
Hooke fiind fizicianul care a demonstrat-o experimental,
care spune că efortul unitar este direct proporțional
cu deformarea relativă.
O formulare echivalentă a acestei legi
este următoarea, delta L pe L0, adică epsilon,
este egal cu 1 pe e, îmulțit cu f supra S0,
adică efortul unitar.
Constanta de proporționalitate e
se numește modulul Young,
ținând cont de relația pentru forța elastică,
care este f, este egal cu modulul forței elastice,
este egal cu K ori delta L.
Se poate stabili imediat relația dintre modulul Young
și constanta elastică K.
Ea este aceasta.
Modulul Young
se măsoară în newtoni pe metru pătrat
și este o constantă de material.
Fiecare corp are un modul Young al său.
Există și o așa numită limită de proporționalitate.
Limita de proporționalitate este
deformarea maximă a unui corp
pentru care legile despre care am discutat,
mai exact legea Hooke și legea forței elastice,
sunt corecte.
Asta înseamnă că, în practică,
pentru orice corp elastic,
se stabilește experimental o așa numită curbă
sigma epsilon sau curbă
efortunitar de formare relativă,
care are tipic o formă de felul următor.
Are o porțiune în care crește liniar,
nu este foarte liniar în desenul meu,
dar imaginați-vă că este liniar
până la un anumit punct A.
Apoi apare încă o zonă în care
deformarea continuă, dar nu este liniară,
până la un punct B.
Apoi vine un platou în care
efortul unitar crește foarte puțin și fluctuiază,
iar apoi apare un punct D
în care corpul se rupe.
Corpurile elastice vin cu o așa numită curbă
efortunitar de formare relativă,
care tipic au aceste trei zone,
trei regiuni.
Zona de proporționalitate,
de la 0, de la originea axelor,
până la un anumit punct A,
unde sigma este proporțional cu epsilon.
Apoi o zonă OB,
care este zona de elasticitate.
Între punctele A și B,
corpul își păstrează proprietatea de elasticitate,
adică odată forța oprită își revine la forma inițială,
numai că dependența dintre sigma și epsilon
între A și B nu mai este liniară.
Apoi, între B și D,
avem o zonă de plasticitate.
Corpul nu își mai revine la forma inițială.
Și, în final,
la punctul D apare ruperea corpului.
Tensiunea din fire este forța elastică
ce întinde un fir
și ea acționează în toate punctele
ce se află de-a lungul firului.
Pentru a explica acest tip particular
de forță elastică,
să considerăm un corp
ce este atârnat cu ajutorul unui fir elastic
de un tavan.
Deci avem acest corp
atârnat de tavan cu ajutorul unui fir.
Corpul are vreodatea G
care acționează ca o forță deformatoare
asupra firului.
În punctul A în care corpul este atașat
va apărea o forță elastică
pe care o notăm cu T1
care are sens opus greutății.
De asemenea, în punctul B
în care firul este atașat de tavan
apare o altă forță elastică, T2
datorită întinderii firului,
această forță elastică încercând să
readucă firul la dimensiunea originală
căre îi răspunde o reacțiune
din partea tavanului notată cu forță R.
De asemenea, în orice punct,
luăm un punct la întâmplare C de-a lungul firului,
în orice punct apare o pereche de forțe elastice
notate cu T3 și T4
care acționează pentru readucerea
firului elastic la lungimea inițială.
În fiecare din aceste puncte putem scrie
cea de-a treia lege a dinamicii
și anume că acțiunea este egală cu reacțiunea.
Mai concret, în A putem scrie că T1
este egal cu minus greutatea,
vectorial, bineînțeles.
În punctul B putem scrie că T2
este egal cu minus R
iar în punctul C, care din nou este un punct
luat la întâmplare de-a lungul firului,
putem scrie că cele două tensiuni sunt egale
și de sens contrar.
În cazul particular în care masa firului
este neglijabilă,
poate fi aproximată cu 0,
ceea ce este de obicei adevărat
pentru că firele au mase mult mai mici
decât corpurile cu care sunt folosite.
În acest caz putem scrie
că toate aceste tensiuni sunt egale
în modulul lor, în magnitudina lor.
Deci T1 este egal cu T2, care este egal cu T3,
care este egal cu T4 și așa mai departe.
Toate aceste forțe elastice din fir
numite tensiuni de-a lungul firului
sunt egale, ceea ce simplifică problema.