Transcript: Formule trigonometrice pentru suma și diferența a două unghiuri (aplicații)
În această secvență vom rezolva 5 exerciții în care vom aplica formulele învățate în clipul anterior.
Pentru început vom calcula sinus de 105 grade.
105 se poate scrie 60 plus 45.
Și aplicăm această formulă, vom avea sinus de 60 grade ori cosinus de 45
plus cosinus de 60 grade ori sinus de 45
egal cu radical din 3 supra 2 ori radical din 2 supra 2
plus 1 pe 2 ori radical din 2 pe 2.
Și egal cu radical din 6 supra 4 plus radical din 2 supra 4.
Se mai poate da factor comun radical din 2 pe 4 pe lângă radical din 3 plus 1.
Un al doilea exercițiu, să calculăm cosinus de 135 de grade.
135 se poate scrie 90 plus 45.
Acum aplicăm această formulă și obținem cosinus de 90 ori cosinus de 45
minus sinus de 90 ori sinus de 45.
Egal.
Cosinus de 90 este 0, iar sinus de 90 de grade este 1.
Prin urmare, o să obținem minus sinus de 45 de grade, adică minus radical din 2 pe 2.
Al treilea exercițiu, să calculăm tangentă de 7 pi supra 12.
7 pi supra 12 este pi pe 3 plus pi pe 4.
Aplicăm formula tangentă de a plus b și vom avea
tangentă de pi supra 3 plus tangentă de pi supra 4
supra 1 minus tangentă de pi pe 3 ori tangentă de pi pe 4.
Tangentă de pi supra 3 este radical din 3, tangentă de pi pe 4 este 1
supra 1 minus radical din 3 ori 1, adică radical din 3.
Raționalizăm și obținem 1 plus radical din 3 totul la pătrat
supra 1 minus radical din 3 pe lângă 1 plus radical din 3.
Egal.
După ce ridicăm la pătrat această sumă vom obține 4 plus 2 radical din 3
iar aici vom avea 1 minus 3, adică minus 2.
Simplificăm cu minus 2 și obținem minus 2 minus radical din 3.
Al patrulea exercițiu vom calcula sinus de 68 de grade
ori cosinus de 23 minus cosinus de 68 de grade ori sinus de 23.
Ne uităm la această formulă și observăm că avem sin de A cos de B minus cos de A sin de B
unde A este măsura de 68 de grade iar B este 23.
Prin urmare vom restrânge această diferență sub forma sinus de 68 minus 23.
Egal cu sinus de 45 de grade și egal cu radical din 2 pe 2.
Și ultimul exercițiu.
Se știe că sinus de A este 2 pe 3.
Cosinus de B este minus 3 supra 5.
Unghiurile A și B sunt din cadranul 2
deci aparțin intervalului pi supra 2 pi
și se cere să calculăm sinus de A minus B.
Pentru a calcula sinus de A minus B trebuie mai întâi să calculăm sinusul și cosinusul fiecărui unghi.
Din moment ce unghiurile A și B sunt din cadranul al doilea
înseamnă că funcția sinus este pozitivă iar cosinus este negativă.
Știm că sinus de A este 2 pe 3
deci cosinus de A va fi negativ
iar sinus de B este pozitiv.
Sinusul în cadranul 2 este pozitiv iar cosinus în cadranul 2 este negativ.
Și acum haideți să calculăm cosinus de A și sinus de B.
Folosim formula fundamentală a trigonometriei.
Știm că sin pătrat de A plus cos pătrat de A este egal cu 1.
De aici rezultă cosinus de A egal plus minus radical din 1 minus sin pătrat de A.
După cum spuneam, funcția cosinus este negativă, așadar o să alegem semnul minus în fața radicalului.
Prin urmare, cosinus de A va fi egal cu minus radical din 1 minus sin pătrat de A este 4 supra 9.
Obținem minus radical din 5 supra 3.
Și acum să calculăm și sinus de B.
Folosim aceeași formulă, sin pătrat de B plus cos pătrat de B egal cu 1.
Deci sinus de B va fi plus minus radical din 1 minus cos pătrat de B.
Funcția sinus este pozitivă în cadranul 2, deci în fața radicalului o să alegem semnul plus.
Așadar sinus de B va fi radical din 1 minus cos pătrat de B.
Cosinus de B era minus 3 supra 5, așadar cos pătrat de B va fi 9 supra 25.
Egal cu radical din 16 pe 25, adică 4 supra 5.
Și acum putem să calculăm sinus de A minus B.
Este egal cu sinus de A ori cosinus de B minus cosinus de A ori sinus de B.
Egal, sinus de A era 2 supra 3, cosinus de B era minus 3 pe 5.
Acestea erau date în enunțul exercițiului minus.
Cosinus de A este minus radical din 5 pe 3.
Iar sinus de B este 4 pe 5.
Și vom avea minus 6 supra 15 plus 4 radical din 5 supra 15.
Se poate da factor comun 2 supra 15 pe lângă 2 radical din 5 minus 3.