Transcript: Formule pt. calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat.
În calculele cu numere reale reprezentate prin litere, vom întâlni adesea pătratul unei sume de doi termeni sau pătratul diferenței a două numere reale.
Ne propunem să găsim o formulă generală de calcul pentru pătratul sumei a doi termeni, respectiv pentru pătratul diferenței,
pe care să o putem aplica în exercițiile următoare.
Să deducem mai întâi o formulă de calcul pentru pătratul unei sume, fie a și b două numere reale,
și vrem să găsim o formulă de calcul pentru a plus b la a doua.
Conform definiției puterii, a plus b la a doua este egal cu a plus b pe lângă a plus b.
Acum, ca să desfacem paranteza, înmulțim numărul a cu fiecare număr din a doua paranteză,
apoi numărul b cu fiecare termen din a doua paranteză,
și obținem a ori a plus a ori b plus b ori a plus b ori b.
a ori a este a la a doua plus a b plus, în loc de b a putem să scriem a b pentru că înmulțirea este comutativă,
plus b la a doua.
Avem termeni asemenea a b plus a b și obținem a la a doua plus 2 a b plus b la a doua.
Să vedem și care va fi formula pentru pătratul diferenței a două numere reale.
a minus b totul la a doua este a minus b pe lângă a minus b.
Procedăm ca și în cazul anterior, desfacem parantezele
și avem a ori a plus a ori minus b minus b ori a minus b ori minus b egal cu a la a doua.
a ori minus b este minus a b, aici inversăm locul factorilor și scriem minus a b,
iar minus b ori minus b va fi plus b la a doua.
Egal avem termeni asemenea minus a b minus a b care va fi minus 2 a b.
Scriem a pătrat minus 2 a b plus b la a doua.
Aceasta va fi formula generală de calcul pentru pătratul diferenței a două numere reale.
Să deducem și o formulă pentru produsul dintre suma și diferența a doi termeni a plus b pe lângă a minus b.
Va fi egal cu a ori a plus a ori minus b plus b ori a plus b ori minus b egal cu a la a doua minus a b plus a b minus b la a doua
minus a b și plus a b se reduc și obținem în final a la a doua minus b la a doua.
Și mai putem întâlni în calcule și pătratul sumei a trei numere reale a plus b plus c totul la a doua
va fi egal cu a plus b plus c pe lângă a plus b plus c.
Se desfac în mod analog parantezele înmulțind primul număr din paranteză cu fiecare număr din a doua paranteză și așa mai departe.
După ce se vor face toate calculele se va ajunge la formula a la a doua plus b la a doua plus c la a doua plus 2ab plus 2ac plus 2bc.
Acestea sunt formulele de calcul prescurtat pe care le vom folosi în exercițiile următoare.
Le mai repetăm odată a plus b la a doua este egal cu a la a doua plus 2ab plus b la a doua
a minus b totul la a doua este egal cu a la a doua minus 2ab plus b la a doua
a plus b pe lângă a minus b va fi a la a doua minus b la a doua
și a plus b plus c totul la a doua este egal cu a la a doua plus b la a doua plus c la a doua plus 2ab plus 2ac plus 2bc.
Și acum să revenim la exercițiile inițiale pe care ni le-am propus.
În exerciții x plus 3 la a doua vom folosi prima formulă, pătratul unei sume.
În loc de a în exercițiu avem x și în loc de b avem 3.
Vom obține x pătrat plus 2 ori x ori 3 plus 3 la a doua.
Egal mai departe cu x la a doua plus 6x plus 9.
Și x minus 3 la a doua vom folosi a doua formulă de calcul prescurtat.
Este x la a doua minus 2 ori x ori 3 plus 3 la a doua.
Egal mai departe cu x la a doua minus 6x plus 9.
În continuare o să facem câteva exerciții în care o să aplicăm aceste formule.
Primul exercițiu, 2x plus 1 la a doua.
Vom folosi prima formulă, în loc de a avem 2x și în loc de b avem 1.
Așadar vom avea 2x totul la a doua plus 2 ori 2x ori 1 plus 1 la a doua. Egal.
Trebuie să ridicăm la a doua fiecare factor din paranteză.
2 la a doua este 4x pătrat plus 4x plus 1.
3x minus 2y totul la pătrat.
Avem pătratul diferenței a două numere reale.
Evident vom folosi a doua formulă, în loc de a avem 3x și în loc de b avem 2y.
Și atunci vom obține 3x la pătrat minus 2 ori 3x ori 2y plus 2y la pătrat.
Egal.
Cu 9x la a doua minus 2 ori 3, 6 ori 2, 12xy plus 4y la a doua.
Următorul exercițiu.
Radical din 5 plus 2 totul la a doua va fi egal cu radical din 5 la a doua plus 2 ori radical din 5 ori 2 plus 2 la a doua. Egal.
Orice radical ridicat la puterea a doua va fi acel număr de subradical pentru că extragerea rădăcinii pătrate și ridicarea la puterea a doua sunt operații inverse care se anulează reciproc.
Plus 4 radical din 5 plus 4.
Putem să mai adunăm și 5 cu 4 și obținem 9 plus 4 radical din 5.
4, 1 minus radical din 3 totul la a doua.
Folosim formula pentru pătratul diferenței a doi termeni și obținem 1 la a doua minus 2 ori 1 ori radical din 3 plus radical din 3 la a doua.
Egal mai departe cu 1 minus 2 radical din 3 plus 3.
Adunăm 1 plus 3 și obținem 4 minus 2 radical din 3.
5, 2x plus radical din 7 totul la a doua.
Va fi egal cu 2x la a doua plus 2 ori 2x ori radical din 7 plus radical din 7 la a doua.
Egal.
4x pătrat plus, aici o să scriem toți coeficienții în fața literei x și scriem 4 radical din 7x plus 7.
6, x minus radical din 3 supra 2 totul la puterea a doua.
Va fi egal cu x la a doua minus 2 ori x ori radical din 3 supra 2 plus radical din 3 supra 2 la a doua.
Egal mai departe cu x la a doua minus, aici putem să simplificăm pe diagonală cu 2 și rămâne x radical din 3 plus 3 supra 4.
Următorul exercițiu, 7, a minus 5 pe lângă a plus 5.
Aici vom folosi a treia formulă de calcul prescurtat, produsul dintre suma și diferența a două numere reale și va fi egal cu a la a doua minus 5 la a doua.
Egal mai departe cu a la a doua minus 25.
8 radical din 5 plus radical din 3 pe lângă radical din 5 minus radical din 3 va fi egal cu radical din 5 la a doua minus radical din 3 la a doua.
Egal mai departe cu 5 minus 3.
Egal cu 2.
9 x la a doua plus x plus 1 totul la a doua.
Observăm că avem pătratul unei sume de 3 numere reale, așadar folosim ultima formulă de calcul prescurtat.
Se ridică la a doua fiecare număr din paranteză.
Vom avea x la a doua totul la a doua plus x la a doua plus 1 la a doua plus 2 ori x la a doua ori x plus 2 ori x ori 1 plus 2 ori x la a doua ori 1.
Egal.
Cu x la a patra plus x la a doua plus 1 plus 2.
x la a doua ori x este x la a treia plus 2x plus 2x la a doua. Egal.
Termenii asemenea sunt x la a doua și 2x la a doua.
Alți termeni asemenea nu mai avem.
x la a patra plus x la a doua plus 2x la a doua este 3x la a doua plus 1 plus 2x la a treia plus 2x.
O să rearanjăm termenii ca să scriem în ordinea descrescătoare a puterilor lui x și obținem x la a patra plus 2x la a treia plus 3x la a doua plus 2x plus 1.
Și ultimul exercițiu.
4x minus 3 totul la a doua plus 3x plus 2 la a doua minus 5x plus 2 pe lângă 5x minus 2.
Observăm că în acest exercițiu va trebui să aplicăm primele trei formule de calcul prescurtat pentru că avem și pătratul diferenței și pătratul sumei a doua numere reale, respectiv produsul dintre suma și diferența a doua numere reale.
4x minus 3 totul la a doua va fi egal cu 4x la a doua minus 2 ori 4x ori 3 plus 3 la a doua.
Apoi 3x plus 2 la a doua va fi egal cu 3x la a doua plus 2 ori 3x ori 2 plus 2 la a doua minus
5x plus 2 pe lângă 5x minus 2 va fi egal cu 5x la a doua minus 2 la a doua egal cu 16x pătrat minus
2 ori 4 este 8 8 ori 3 24x plus 9 plus 9x pătrat plus 2 ori 3 6 ori 2 12x plus 4 minus 5x la a doua este 25x la a doua minus 4.
Am păstrat paranteza fiindcă avem minus în fața acesteia și va trebui să schimbăm semnele egal.
Până la paranteză să încercăm să adunăm termenii asemenea.
Avem 16x pătrat cu 9x pătrat este egal cu 25x pătrat apoi mai avem minus 24x plus 12x este egal cu minus 12x iar 9 plus 4 este 13 minus
acum desfacem paranteza schimbând semnele 25x la a doua plus 4 egal termenii asemenea sunt 25x pătrat minus 25x pătrat aceștia se reduc
mai rămâne minus 12x și 13 plus 4 este egal cu 17