Transcript: Forma algebrică a numerelor complexe

Această lecție se constituie ca o continuare a lecției precedente și anume lecția de numere complexe.
În primă etapă vom comenta despre forma algebrică a numelelor complexe.
Notația Z egal cu perechea AB introdusă pentru numere complexe nu este întocmai comodă atunci când facem calcule cu numere complexe.
De aceea, în general, se folosește o altă scria numerelor complexe.
Prin convenție, numărul complex 01 este notat cu I.
Astfel, Z egal cu perechea ordonată de numere reale AB este, de fapt, suma perechilor ordonate A0 plus 0B.
Astfel, 0B este, de fapt, B0 ca pereche ordonată înmulțită cu perechea ordonată 01.
Prin aplicarea formulei de înmulțire învățată în lecția precedentă se obține 0B.
Acest aspect atrage de la sine faptul că Z ca și pereche ordonată AB este, de fapt, egal cu perechea ordonată A0 plus B0 înmulțit cu 01.
Dar A0 este numărul real, dacă vă aduceți aminte, A mic.
B0 este numărul real, B mic.
Și 01, prin convenție, este I.
În aceste condiții, Z-ul va fi egal cu A plus BI.
Exemplu, dacă avem perechea 2-1, se va scrie ca 2-0 plus 0-1, suma perechilor ordonate 2-0 plus 0-1.
Astfel, 2-0 este 2, numărul real.
Respectiv, 0-1 este produsul perechilor ordonate minus 1-0 cu 0-1.
0-1 am stabilit că este I, deci perechea ordonată 2-1 sau numărul complex 2-1 se scrie ca 2-I.
În aceeași ordine de idei, 1-0 se scrie ca 1-0 plus 0-0.
1-0, 0-0 ori 0-1, deci 1 plus 0-I.
0-3 se va scrie ca 0-0 plus 0-3, ca pereche ordonată.
0-0, perechea ordonată, plus 0-3, scrisă ca produs de pereche ordonate, și anume minus 3-0 înmulțit cu 0-1.
0-1 este I, deci perechea 0-3 se va scrie ca 0-3I, adică minus 3I.
Numărul complex I se numește unitate imaginară și numerele de forma BI cu B, număr real, se numesc imaginari.
Dacă numărul complex Z se scrie sub forma A plus BI, atunci A-ul se numește parte reală și B se numește parte imaginară a numărului complex.
Astfel, pentru Z egal cu 2 plus 3I, real de Z este 2, imaginar de Z este 3.
În acest moment, operațiile algebrice prezentate se pot relua astfel.
Adunarea Z, care era perechea ordonată AB, este scrisă acum A plus BI, și Z prim, care era perechea ordonată CD, se scrie acum ca C plus DI, cu evidenta ABCD aparținându-i R.
Deci, în condițiile acestea, Z plus Z prim va fi scris A plus BI plus C plus DI.
Z plus Z prim va fi A plus C plus B plus DI.
Dacă aș face referire din nou la perechea ordonată rezultat al adunării, va avea A plus C, respectiv B plus D, chestiune ce o știam deja.
În ceea ce privește înmulțirea, Z este A plus BI, Z prim este C plus DI, cu evidenta ABCD numele reale.
Z or Z prim va fi egal cu A plus BI înmulțit cu C plus DI.
Astfel, AC plus ADI plus BCI plus DBI pătrat.
Ceea ce înseamnă AC plus BDI pătrat, respectiv AD plus BC pe lângă I.
Z or Z prim, așa cum știam, ca produs de pereche ordonate, este, de fapt, AC minus BD pe prima poziție, respectiv AD plus BC.
În aceste condiții, timp scrierea ca și perech, produs de pereche ordonate, respectiv ca și produs de numere complexe scrise de forma A plus BI, trebuie să fie egal.
Astfel, AC plus BDI pătrat trebuie să fie egal cu AC minus BD, respectiv AD plus BC trebuie să fie egal cu AD plus BC,
cum acestea două sunt egale, rămâne, într-adevăr, să fie egal AC plus BDI pătrat și AC minus BD.
Astfel, BD s-ar reduce și I pătrat, adică unitate imaginară la pătrat, va avea valoarea minus 1.
Am înțelegat, astfel, că puterile lui I sau puterile numărului complex I sunt necesare în continuare pentru calculele ce urmează a fi făcute cu numere complexe.
Astfel, am arătat că I pătrat este egal cu minus 1.
I la a treia va fi, de fapt, I la a doua înmulțit cu I.
Cum I la a doua este minus 1, voi avea minus 1 înmulțit cu I.
Practic, I la a treia va fi egal cu minus I.
I la a patra este I la a treia ori I, sau, de ce nu, I la a doua totul la a doua, trept pentru care minus 1 la puterea a doua ar fi 1.
Deci, I la a patra egal cu 1.
I la a cincea este I la a patra ori I.
Cum I la a patra este 1, Iul este rezultatul lui I la a cincea, trept pentru K.
I la a cincea este I, I la a șasea ar fi iar minus 1, I la a șaptea este practic I la a treia, deci minus I și așa mai departe.
Înțeleg, la mod general, că dacă N egal cu 4K, K fiind orice număr natural, practic 0, 4, ori 2, 8, ori 3, 12, deci 4, 0, 4, 8, 12 și așa mai departe.
În acest caz, I la N va fi egal cu 1, deci la puterea a patra, I egal cu 1.
Pentru N egal cu 4K plus 1, practic la cincea, deci la puterea 1, la puterea 5, la puterea 5 cu 4, 9 și tot așa, I la N va fi egal cu I.
În aceeași ordine de idei, pentru N egal cu 4K plus 2, practic pentru I la a doua, pentru I la 2 cu 4, la a șasea, 6 cu 4, la a zecea și așa mai departe, I la N va fi minus 1.
Pentru I egal cu 4K plus 3, deci pentru 3 cu 4, 7, pentru 7 cu 4, 11 și așa mai departe, I la N ar fi egal cu minus I.
Exemplu de aplicații pe care le puteți întâlni când discutăm despre puterile numărului complex I.
Să se calculeze suma I pătrat plus I la a treia plus I la a patra plus I la puterea 20.
I la a doua am lămurit că este egal cu I la a șasea, pentru că din 4 în 4 se repetă, egal cu I la a 10, egal cu I la a 14 respectiv, egal cu I la a 18 și egal cu minus 1.
De ce? Pentru că N este 4K plus 2, de forma 4K plus 2.
I la a treia este egal cu I la a șaptea, respectiv I la a 11, I la a 15 și I la a 19, egal cu minus I, fiind pe situația când N este 4K plus 3.
I la a patra este egal cu I la a opta, la a 12, la a 16, la a 20 și egal cu 1.
Suntem pe situația când N este 4K plus 1, respectiv I la a 5, I la a 9, I la a 13, respectiv I la a 17.
Suntem pe situația când I la N este 4K plus 1.
În aceste condiții, suma mea va fi egală cu S1 minus 5, S2 minus 5I, plus S3 minus 5, plus S4 minus 4I.
S va fi minus 5I plus 4I minus I și minus 5 plus 5 se reduc.
Astfel, suma calculată sau cerută să fie determinată va avea valoarea minus I.
În continuare, vom discuta despre numere complexe conjugate.
Dacă z egal cu a plus bi este un număr complex, atunci numărul a minus bi notat cu z barat se numește conjugatul lui z.
Astfel, câteva exemple ca să realizați exact ce vreau să definesc mai sus.
Practic, dacă z egal cu 3 plus 2I, perechea ordonată 3, 2, z barat va fi 3 minus 2I, adică perechea ordonată 3 minus 2.
Dacă z ar fi minus 5 minus I, perechea ordonată e minus 5 minus 1, z barat, practic conjugatul lui z, va fi minus 5 minus minus 1I.
În aceeași ordine de idei, minus 5 minus cu minus plus, deci plus I, adică perechea ordonată minus 5, 1.
Vedeți, semn schimbat doar pentru b, nu și pentru a.
În aceeași ordine de idei, dacă am z egal cu 4I, practic perechea ordonată 0, 4, z barat sau z conjugat va fi minus 4I, adică 0 minus 4.
a-ul se copiază, b-ul își schimbă semn, practic partea imaginară își schimbă semn.
Suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale.
Adică, dacă am un z egal cu a plus bi, număr complex, clar, da?
Dacă discut despre conjugatul lui, vorbesc despre z barat egal cu a minus bi, în egală măsură, număr complex.
Suma z plus z barat sau z plus z conjugat este a plus bi plus a minus bi.
Partea reală cu partea reală, partea imaginară cu partea imaginală, adică a plus a plus b minus b, totul pe lângă i.
În acest moment, a cu a, 2a, b minus b, practic, se reduc și îmi dă 0i.
Astfel, z plus z barat egal cu 2a, dar cum a era real, în egală măsură, 2a va fi o număr reală.
Când voi face referire la produs, z ori z barat este egal cu a plus bi înmulțit cu a minus bi.
Produs de sumă prin diferență, formulă de calcul prescurtat pe care vă o reamintesc a minus b pe lângă a plus b,
este egal cu a pătrat minus b pătrat, astfel că voi avea a pătrat minus bi, totul la pătrat.
A pătrat minus b pătrat înmulțit cu i pătrat, cum s-a stabilit că i pătrat este minus 1,
înțeleg de fapt că z ori z barat, practic z ori z conjugat, este egal cu a pătrat minus b pătrat ori minus 1,
adică z ori z barat va fi a pătrat plus b pătrat, care, în mod evident, aparține lui r în condițiile în care a și b sunt numere reale.
Determinarea raportului dintre două numere complexe se face utilizând conjugatul numărului complex.
Astfel, dacă am numărul complex z1 egal cu a plus bi, respectiv numărul complex z2 egal cu c plus di,
atunci raportul z1 supra z2 va fi a plus bi supra c plus di.
În mod obligatoriu se amplifică raportul cu conjugatul numărului complex și, mai clar, numărul complex de la numitor.
Practic, c plus di este numărul complex de la numitor, conjugatul acestuia va fi c minus di
și atunci amplific, așa cum spuneam, cu c minus di,
înțelegând astfel că voi obține a plus bi pe lângă c minus di supra, așa cum am stabilit, c plus di înmuțit cu c minus di,
va fi c pătrat plus d pătrat, conform înmuțirii numerelor conjugate.
Înțeleg astfel că, pur și simplu, fac înmuțirea de la numărător,
obținând astfel ac plus b de supra c pătrat plus d pătrat, practic, aceasta fiind partea reală,
deci aparține lui r sau, mai spunem, real de z1 supra z2,
respectiv bc minus ad supra c pătrat plus d pătrat pe lângă i,
aceasta fiind imaginarul de z1 supra z2.
Un exemplu, 7 minus i supra 3 plus i se amplifică, așa cum spuneam, cu conjugata,
înțelegând că voi amplifica cu 3 minus i,
obținând 7 minus i pe lângă 3 minus i supra 3 pătrat plus 1 la pătrat.
Astfel, 7 minus i supra 3 plus i va fi 20 supra 10 minus 10 supra 10 i.
Modulul unui număr complex.
Modul unui număr complex, z egal cu a plus bi, se definește ca fiind numărul real,
radical din a pătrat plus b pătrat,
aul, reamii de spartarea reala numărului complex,
b-ul, partea imaginară a numărului complex.
Acesta se notează cu modul de z.
Astfel, modul de z este, în realitate, radical din a pătrat plus b pătrat
pentru orice z aparținând numelelor complexe și definit ca a plus bi.
Exemplu, dacă îmi doresc să calculez modulul lui 1 plus 3i,
am, de fapt, radical din 1 la pătrat plus 3 la pătrat, radical din 10.