Transcript: Ecuații trigonometrice (2)

Vom prezenta în această lecție câteva tipuri importante de ecuații trigonometrice care se reduc la ecuații trigonometrice fundamentale.
În lecția trecută am discutat despre ecuațiile trigonometrice fundamentale și am văzut soluțiile acestora pe care le-am prezentat alăturat.
Primul tip de ecuații trigonometrice.
Discutăm despre ecuații trigonometrice de forma sin fx egal cu sin gx, cos fx egal cu cos gx, tan fx egal cu tan gx sau cotan fx egal cu cotan gx.
Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică de forma sin fx egal cu sin gx, trecem sin gx în primul membru și vom obține sin fx minus sin gx egal cu 0.
În continuare transformăm diferența în produs și obținem 2 ori sin fx minus gx supra 2 ori cos fx plus gx supra 2 egal cu 0.
Egalăm pe rând cei 2 factori cu 0 și obținem sin fx minus gx supra 2 egal cu 0.
De aici obținem ca sin fx minus gx supra 2 este egal cu minus 1 la k ori arcsinus de 0, arcsinus de 0 este 0, plus capi.
Iar de aici se obține sin fx minus gx plus 2 capi.
Egalăm celălalt factor cu 0, cos fx plus gx supra 2 este egal cu 0.
Înmulțim relația cu 2 și obținem fx plus gx egal cu plus minus pi plus 4 capi.
4 capi este un multiple par de pi. Dacă la un multiple par adunăm sau scădem pi se obține un multiple impar de pi.
În consecință fx plus gx este egal cu 2k plus 1 pi, multiple impar de pi.
Iar de aici se obține fx egal cu minus gx plus 2k plus 1 pi.
Ne uităm puțin la cele două soluții pe care le-am obținut.
Observăm că în fața funcției gx avem 1. Acest număr 1 poate fi scris minus 1 la 2k, minus 1 la o putere pară.
Iar mai departe adunăm un multiple par de pi. Iar în cealaltă relație avem minus gx plus multiple impar de pi.
Acest minus poate fi scris minus 1 la putere impară, 2k plus 1. Așadar în cazul în care în fața funcției gx avem minus 1 la putere impară adunăm un multiple impar de pi.
În consecință soluția ecuației va fi fx egal cu minus 1 la k or gx plus k pi unde k este număr întreg.
Așadar pentru ecuațiile de forma sin fx egal cu sin gx se obține soluția fx egal cu minus 1 la k or gx plus k pi.
Folosind același procedeu se obține în continuare pentru ecuația cos fx egal cu cos gx soluția fx egal cu plus minus gx plus 2k pi unde k este număr întreg și mai sus k este număr întreg.
Pentru ecuația tan fx egal cu tan gx obținem fx egal cu gx plus k pi unde k este număr întreg.
La această ecuație trebuie să eliminăm soluțiile pentru care nu este definită tangenta, adică acele valori pentru care cos fx sau cos gx este egal cu 0.
La ecuațiile de forma cot fx egal cu cot gx se obține soluția fx egal cu gx plus k pi unde k este număr întreg și aici trebuie să eliminăm soluțiile pentru care nu este definită cotangenta, adică acele valori pentru care sin fx este 0 sau sin gx este 0.
Pentru acest tip de ecuații rezolvăm în continuare un prim exercițiu.
Avem ecuația sin 2x plus pi supra 3 egal cu sin x plus pi supra 2.
În cazul de față f de x este prima paranteză iar g de x este a doua paranteză.
Conform celor prezentate mai devreme putem să scriem că 2x plus pi supra 3 este egal cu minus 1 la k ori x plus pi supra 2 plus k pi unde k este număr întreg.
În continuare discutăm două cazuri.
Cazul în care numărul k este par k de forma 2l.
În această situație avem ecuația 2x plus pi supra 3 egal cu x plus pi supra 2 plus 2l pi.
x este egal cu pi pe 2 minus pi pe 3 plus 2l pi.
x este egal cu pi supra 6 plus 2l pi unde l este număr întreg.
În cazul în care numărul k este impar de forma 2l plus 1 se obține ecuația 2x plus pi supra 3 egal cu minus x minus pi pe 2 plus 2l plus 1 pi.
3x este egal cu minus pi pe 2 minus pi pe 3 plus 2l pi plus pi.
3x este egal, aici se obține minus 5 pi supra 6 plus pi ne dă pi pe 6 plus 2l pi.
Împărțim relația la 3.
Voi continuă alăturat.
Obținem x egal cu pi supra 18 plus 2l pi supra 3 unde l este număr întreg.
Acum reunim cele două soluții.
Aceasta a fost soluția S1 iar aceasta este soluția S2.
S este egal cu S1 reunit cu S2.
S va fi egal cu pi supra 6 plus 2l pi unde l este în z reunit cu pi supra 18 plus 2l pi supra 3 unde l este număr întreg.
În continuare discutăm despre un alt tip de ecuații.
Avem ecuații trigonometrice care se reduc la ecuații algebrice.
Putem întâlni de exemplu ecuații trigonometrice care se reduc la ecuații de gradul al doilea.
Iată o astfel de ecuație.
Minus 3 sinus pătrat de x minus 2 cosinus de x plus 2 este egal cu 0.
Vom exprima sinus pătrat de x în funcție de cosinus pătrat de x și vom obține o ecuație de gradul al doilea.
Sinus pătrat de x este 1 minus cos pătrat de x.
Și astfel obținem ecuația minus 3 înmulțit cu 1 minus cos pătrat de x minus 2 cosinus de x plus 2 este egal cu 0.
3 cosinus pătrat de x minus 2 cosinus de x minus 3 plus 2 este minus 1 egal cu 0.
Notăm cosinus de x cu t și obținem o ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta t.
3t pătrat minus 2t minus 1 egal cu 0.
Delta este b pătrat minus 4ac 4 minus 4 ori 3 ori minus 1 egal cu 16.
T1 este minus b plus radical din delta supra 2a egal cu 1.
T2 este minus b minus radical din delta supra 2a egal cu minus 1 pe 3.
Pentru prima soluție se obține cosinus de x egal cu 1.
Iar de aici avem x egal cu plus minus arc cosinus de 1 plus 2 capii.
x este egal cu 2 capii pentru că arc cosinus de 1 este egal cu 0.
Iar din a doua relație vom obține cosinus de x egal cu minus 1 pe 3.
Iar de aici x este egal cu plus minus arc cosinus de minus 1 pe 3 plus 2 capii.
Rezultă x egal, arc cosinus de minus 1 pe 3 este pi minus arc cosinus de 1 pe 3.
Avem așadar plus minus pi minus arc cosinus de 1 pe 3 plus 2 capii.
În final soluția se obține reunind cele două soluții.
Aceasta este soluția S1 iar aceasta este S2.
Soluția finală este egală cu S1 reunit cu S2 egal cu 2 capii unde k este număr întreg reunit cu plus minus pi minus arc cosinus de 1 pe 3 plus 2 capii, k este în z.
Și trecem în continuare la ultimul tip de ecuații trigonometrice.
Acestea sunt ecuațiile trigonometrice liniare în sinus de x și cosinus de x.
Forma generală a acestora este a sinus de x plus b cosinus de x este egal cu c.
Iată un exemplu, 2 sinus de x plus cosinus de x este egal cu 2.
Există mai multe metode de a rezolva acest tip de ecuații.
Una dintre metode presupune să notăm tangentă de x supra 2 cu t și să exprimăm sinus de x și cosinus de x în funcție de t.
Sinus de x este 2t supra 1 plus t pătrat iar cosinus de x este 1 minus t pătrat supra 1 plus t pătrat.
Tangentă de x supra 2 există dacă x supra 2 este diferit de 2k plus 1 pi pe 2.
Tangenta nu are valoare reală pentru multiplii impari de pi supra 2.
Din acest motiv se pune condiția ca x supra 2 să fie diferit de 2k plus 1 pi pe 2.
Cu alte cuvinte, x trebuie să fie diferit de 2k plus 1 pi sau x diferit de pi plus 2k pi.
Trebuie să punem aceste condiții pentru că în noua ecuație pe care o vom scrie se folosește tangentă de x pe 2.
Și acum folosind formulele de mai sus, ecuația 2sinx plus cosinx egal cu 2 se va scrie astfel.
2 ori 2 este 4t supra 1 plus t pătrat plus 1 minus t pătrat supra 1 plus t pătrat este egal cu 2.
4t plus 1 minus t pătrat este egal cu 2 plus 2t pătrat.
Se obține următoarea ecuație de gradul al doilea.
3t pătrat minus 4t plus 1 este egal cu 0.
Delta este 16 minus 12 egal cu 4.
T1 este 4 plus 2 supra 6 egal cu 1.
Iar T2 este 4 minus 2 supra 6 egal cu 1 pe 3.
Și acum revenim la substituția făcută.
Tangentă de x pe 2 egal cu 1.
De aici se obține x supra 2 egal cu arc tangentă de 1 plus kpi.
Arc tangentă de 1 este pi supra 4.
Înmulțim relația cu 2 și obținem x egal cu pi supra 2 plus 2kpi.
Iar pentru tangentă de x pe 2 egal cu 1 pe 3 obținem x pe 2 egal cu arc tangentă de 1 pe 3 plus kpi.
De unde x este egal cu 2 arc tangentă de 1 pe 3 plus kpi.
Reunim cele două soluții S1 și S2.
Aici trebuie menționat un aspect foarte important.
Noi am pus condiția ca x să fie diferit de pi plus 2kpi.
Deoarece în noua ecuație pe care am scris-o intervine tangentă de x pe 2.
Iar tangenta nu este definită pentru acele valori.
Însă prima ecuație, 2sinx plus cosx, admite soluții pentru orice x real.
Așadar cele două ecuații nu sunt ecuații echivalente.
Și este posibil ca prin această metodă să pierdem soluțiile de forma pi plus 2kpi.
Așadar la final trebuie să verificăm dacă această valoare este soluție pentru ecuația inițială.
Dacă această valoare verifică ecuația inițială, atunci soluția finală va fi S1 reunit cu S2 reunit cu pi plus 2kpi.
Să verificăm așadar dacă pi plus 2kpi este soluție pentru ecuația 2sinx plus cosx egal cu 2.
Trebuie să verificăm dacă 2sinx de pi plus 2kpi plus cosx de pi plus 2kpi este egal cu 2.
Funcțiile sinx și cosx sunt periodicea în perioada principală 2pi.
Așadar sinx de pi plus 2kpi este egal cu sinx de pi.
Sinx de pi este 0.
Cosx de pi este minus 1.
0 și cu minus 1 ne dă minus 1.
Așadar valoarea pi plus 2kpi nu verifică ecuația inițială, deci nu este soluție.
În final, soluția va fi S1 reunit cu S2.
Și obținem pi supra 2 plus 2kpi, unde k este în zet, reunit cu 2 arctangentă de 1 pe 3 plus 2kpi,
unde k este număr întreg.
Aici am omis un 2.