Transcript: Ecuații și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

Ecoații și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecoațiilor
Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecoațiilor sunt următoarele.
Prima etapă este stabilirea datelor cunoscute și a celor necunoscute.
A doua etapă este stabilirea legăturilor dintre datele cunoscute și necunoscute,
adică scrierea ecoației folosind datele problemei.
Iar a treia etapă este rezolvarea ecoației.
A rezolva o ecoație înseamnă a găsi soluția sau mulțimea soluțiilor sale,
iar soluțiile unei ecoații sunt acele valori ale lui X pentru care egalitatea este adevărată.
De obicei notăm cu X necunoscuta ecoației.
Să facem o primă problemă.
Mărind un număr rațional cu 2 supra 3, obținem 5 supra 2.
Aflați numărul.
În primul rând o să notăm cu X numărul necunoscut,
așadar fie X numărul necunoscut.
Mărind acest număr cu 2 supra 3, obținem 5 supra 2.
Vom avea următoarea ecoație X plus 2 supra 3,
deoarece cuvântul mărind înseamnă adunare,
obținem 5 supra 2.
Aceasta este ecoația problemei pe care va trebui să o rezolvăm.
Există două metode de rezolvare.
Prima metodă ar fi următoarea.
Scădem din ambii membri ai ecoației numărul 2 supra 3
pentru a obține în membrul întâi doar necunoscuta X.
Ideea este să separăm necunoscuta de ceilalți termeni ai ecoației.
Așadar putem să scădem din ambii membri numărul 2 supra 3
și o să obținem X plus 2 supra 3 minus 2 supra 3
egal cu 5 supra 2 minus 2 supra 3.
2 supra 3 minus 2 supra 3 este 0
și atunci în membrul stâng al ecoației o să rămână doar necunoscuta X.
X egal cu 5 supra 2 minus 2 supra 3.
Pentru a scădea aceste două fracții trebuie să le aducem la același numitor.
Numitorul comun este 6.
Prima fracție o să o amplificăm cu 3
iar a doua fracție cu 2.
O să avem X egal cu 15 supra 6 minus 4 supra 6.
X egal cu 11 supra 6.
Deci soluția ecoației este 11 supra 6.
Cu a doua metodă X plus 2 supra 3 egal cu 5 supra 2
ar fi aceasta.
Termenul care nu conține necunoscuta X, adică 2 supra 3
se va trece în celălalt membru al ecoației cu semn schimbat.
Și atunci o să obținem X egal cu 5 supra 2 minus 2 supra 3.
Evident că vom ajunge la aceeași relație ca și în cazul anterior.
Amplificăm prima fracție cu 3,
a doua fracție cu 2.
X egal cu 15 supra 6 minus 4 supra 6.
X egal cu 11 supra 6.
Soluția este 11 supra 6.
Scopul a fost să separăm necunoscuta X de ceilalți termeni ai ecoației.
O să rezolvăm următoarea problemă.
Un elev cheltui o sumă de bani în 3 zile astfel.
În prima zi, 1 supra 2 din sumă.
A doua zi, 2 supra 3 din rest.
Iar a treia zi, restul de 20 lei.
Ce sumă a avut elevul?
Deoarece nu se cunoaște suma inițială, o să notăm cu X suma inițială a elevului.
Să vedem cât a cheltuit în prima zi.
În prima zi, elevul a cheltuit 1 supra 2 din sumă.
Acest lucru se va scrie 1 supra 2 ori X care este egal cu X supra 2.
A doua zi, a cheltuit 2 supra 3 din rest.
Mai întâi să vedem ce rest îi rămâne după ce a cheltuit suma din prima zi.
Așadar, aflăm acum restul.
Restul se obține scăzând din suma inițială suma cheltuită în prima zi.
Adică X minus X supra 2.
Acest număr X înseamnă fracția X supra 1.
Iar pentru a scădea aceste două fracții, le aducem la numitor comun.
Numitorul comun este 2.
Așadar, amplificăm cu 2.
Și obținem 2X supra 2 minus X supra 2.
Este egal cu 2X minus X totul supra 2.
Egal cu X supra 2.
De altfel, era evident faptul că dacă în prima zi a cheltuit o jumătate din sumă,
ceea ce îi rămâne va fi încă o jumătate din sumă.
Să vedem acum cât a cheltuit a doua zi.
A doua zi, elevul a cheltuit 2 supra 3 din rest, adică 2 supra 3 din X supra 2.
Acest lucru se va scrie 2 supra 3 ori X supra 2.
Observăm că putem să simplificăm pe diagonală cu 2.
Și o să rămână X supra 3.
Așadar, în prima zi a cheltuit X supra 2, iar a doua zi X supra 3.
Să vedem cum putem să scriem acum ecuația problemei.
Din suma inițială X, dacă scădem suma cheltuită în prima zi, adică X supra 2,
și apoi scădem suma cheltuită a doua zi, adică X supra 3,
elevul rămâne cu 20 de lei.
Adică putem scrie egal cu 20.
Deci asta este ecuația problemei pe care trebuie să o rezolvăm.
Putem să dăm factor comun pe X, deoarece apare în fiecare termen.
Și atunci o să avem X pe lângă 1, minus 1 supra 2, minus 1 supra 3, egal cu 20.
Pentru a face calculele în paranteză, e necesar să aducem fracțiile la numitor comun.
Numitorul comun este 6.
Amplificăm prima dată cu 6,
apoi a doua fracție o amplificăm cu 3,
și a treia fracție o amplificăm cu 2.
O să avem X pe lângă 6 supra 6, minus 3 supra 6, minus 2 supra 6, egal cu 20.
6 minus 3 minus 2 este 1, adică X ori 1 supra 6, egal cu 20.
Acum împărțim ambii membri ai acestei egalități cu 1 supra 6,
împărțim cu 1 supra 6,
ca să rămână în primul membru doar necunoscuta X.
Și atunci o să avem X egal cu 20 împărțit la 1 supra 6.
X egal cu 20 ori 6 supra 1.
X egal cu 20 ori 6.
X egal cu 120.
Așadar suma inițială pe care a avut-o elevul este 120.
Soluția acestei probleme este 120.
În continuare mai rezolvăm două ecuații.
Prima ecuație, 2 supra 3X plus 1 supra 6 egal cu 1 supra 2.
Primul pas pe care trebuie să-l facem este să trecem termenul 1 supra 6 în membrul drept cu semn schimbat.
Și atunci o să avem 2 supra 3X egal cu 1 supra 2 minus 1 supra 6.
Ca să efectuăm această scădere trebuie să aducem fracțiile la numitor comun.
Numitorul comun este 6.
Amplificăm prima fracție cu 3.
O să avem 2 supra 3X egal cu 3 supra 6 minus 1 supra 6.
2 supra 3X egal cu 2 supra 6.
Acum împărțim ecuația cu 2 supra 3.
2 supra 3 se mai numește și coeficientul X.
Și am împărțit la coeficientul X ca să rămână în membrul stâng doar necunoscuta X.
Și atunci o să avem X egal cu 2 supra 6 împărțit la 2 supra 3.
X egal cu 2 supra 6 ori 3 supra 2.
Putem să simplificăm pe această diagonală cu 2.
2 împărțit la 2 este 1.
Și pe cealaltă diagonală putem să simplificăm cu 3.
6 împărțit la 3 este 2.
3 împărțit la 3 este 1.
Și atunci o să avem X egal cu 1 supra 2.
Soluția acestei ecuații este 1 supra 2.
Următoarea ecuație, 1 supra 2X minus 1 supra 3 este egal cu 1 supra 4X.
O să aducem într-un membru toți termenii care conțin necunoscuta X,
iar în celălalt membru o să lăsăm termenii liberi.
Mai exact, 1 supra 4X îl trecem în membrul stâng cu semn schimbat,
adică cu semnul minus, deoarece el aici are semnul plus,
iar termenul liber, 1 supra 3, se trece în membrul drept,
la fel cu semn schimbat, adică cu semnul plus.
Și atunci o să avem 1 supra 2X minus 1 supra 4X egal cu 1 supra 3.
Putem să dăm factor comun pe X.
X pe lângă 1 supra 2 minus 1 supra 4 egal cu 1 supra 3.
Numitorul comun este 4, amplificăm prima fracție cu 2.
Și o să avem X pe lângă 2 supra 4 minus 1 supra 4 egal cu 1 supra 3.
X ori 1 supra 4 egal cu 1 supra 3.
Împărțim ambii membri ai ecuației cu 1 supra 4
și atunci o să avem X egal cu 1 supra 3 împărțit la 1 supra 4.
X egal 1 supra 3 ori 4 supra 1.
X egal cu 4 supra 3.
Soluția acestei ecuații este 4 supra 3.