Transcript: Ecuații matriceale

Nu de puține ori ne-am confruntat cu situația în care trebuia să determinăm o anume matrice dintr-o egalitate.
O astfel de egalitate poartă numele de ecuație matricială în care recunoscuta este o matrice.
Studiul inversabilității unei matrice ne permite rezolvarea unor ecuații matriciale.
Fie ecuația matricială A ori X egal cu B, în care matricea A este o matrice pătratică de ordinul N cu elemente în mulțimea numerelor complexe,
iar B este o matrice cu N linii, N coloane, cu elemente în mulțimea numerelor complexe.
Dacă matricea A este nesingulară, adică determinantul ei este nenul, putem înmulți această egalitate la stânga cu inversa matricei A,
obținând egalitatea A la minus 1 înmulțit cu A ori X egal cu A la minus 1 ori matricea B.
Cum înmulțirea matricelor este o operație asociativă, obținem egalitatea A la minus 1 ori A înmulțit cu matricea X egal cu A la minus 1 ori B.
Cum A la minus 1 este inversa matricei A, acest produs este egal cu matricea unitate de ordin N, obținem așadar egalitatea IN ori X egal cu A la minus 1 ori B.
Dar IN este elementul neutru la mulțirea matricelor, obținem astfel acest produs egal cu matricea X, iar egalitatea obținută ne oferă soluția ecuației matriceale, soluție unică dată de expresia A la minus 1 ori B.
Analog, procedăm și în cazul ecuației matriceale X ori A egal cu B, unde A este o matrice pătratică de ordinul N cu elemente în mulțimea numerelor complexe,
iar B este o matrice cu N linii, N coloane și elemente în mulțimea numerelor complexe.
Dacă matricea A este o matrice inversabilă, înmulțim această egalitate la dreapta cu A la minus 1 și obținem egalitatea X ori A totul înmulțit cu A la minus 1 este egal cu B ori A la minus 1.
Cum înmulțirea matricelor este o operație asociativă, avem egalitatea X înmulțit cu A ori A la minus 1 este egal cu B ori A la minus 1.
Dar A și A la minus 1 sunt matrice inverse, așadar acest produs este matricea unitate.
În consecință, X înmulțit cu IN este egal cu B ori A la minus 1, dar IN este matrice unitate, ceea ce înseamnă că acest produs este de fapt matricea X.
Am obținut așadar soluția ecuației matriciale ca fiind egală cu B ori A la minus 1.
În cazul ecuației matriciale A ori X ori B egal cu matricea C, unde A este o matrice pătratică de ordin N cu elemente în mulțimea numerelor complexe,
B este o matrice pătratică de ordin M cu elemente în mulțimea numerelor complexe, iar C este o matrice cu N linii, M coloane și elemente în mulțimea numerelor complexe.
Dacă A și B sunt matrice inversabile, atunci putem înmulți această egalitate la stânga cu A la minus 1, iar la dreapta cu B la minus 1, obținând egalitatea A la minus 1 înmulțit cu A ori X ori B înmulțit cu B la minus 1 este egal cu A la minus 1 ori C ori B la minus 1.
Aplicăm din nou asociativitatea înmulțirii matricelor și obținem egalitatea A la minus 1 ori A totul înmulțit cu matricea X care se mulțește la rândul ei cu produsul B ori B la minus 1 egal cu A la minus 1 ori C ori B la minus 1.
A și A la minus 1 sunt matrice inverse, asta înseamnă că acest produs este matricea unitate de ordine N. B și B la minus 1 sunt matrice inverse, ceea ce înseamnă că acest produs este matricea unitate de ordine M.
Așadar, egalitatea devine IN înmulțit cu X înmulțit cu IM egal cu A la minus 1 ori C ori B la minus 1. Așadar, soluția acestei ecuații este unică și are expresia A la minus 1 înmulțit cu C înmulțit cu B la minus 1.
Să rezolvăm acum ecuația matriceală.
Matricea 1, 2, 3, 4 înmulțit cu matricea X înmulțit cu matricea 1, 0, 1, 1 este egal cu matricea 2 minus 1, 2, 3.
Vom nota cu A matricea 1, 2, 3, 4, cu B matricea 1, 0, 1, 1 și cu C matricea 2 minus 1, 2, 3.
Pentru a aplica metoda de mai sus, avem nevoie ca aceste matrice A și B să fie matrice inverse.
Să calculăm în acest sens determinantul matricei A.
Acesta este 1 ori 4, minus 2 ori 3, adică 4 minus 6, egal cu minus 2, diferit de 0.
Ceea ce înseamnă că matricea A este o matrice inversabilă.
În mod analog, determinantul matricei B este 1 ori 1, minus 0 ori 1, adică 1, diferit de 0.
Deci și matricea B este o matrice inversabilă.
În consecință, soluția acestei ecuații este dată de relația A la minus 1 ori C ori B la minus 1.
Să calculăm inversa matricei A.
Calculăm transpusa matricei A inversând liniile cu coloanele 1, 2, 3, 4.
Calculăm acum matricea ajuntă care se obține înlocuind în matricea transpusă cu complementii algebrici ai acestor elemente,
adică delta 1, 1, delta 1, 2, delta 2, 1, delta 2, 2.
Delta 1, 1 este minus 1 la puterea 1 plus 1 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1, adică 4, egal cu 4.
Delta 1, 2 este minus 1 la puterea 1 plus 2 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 2,
adică 3, egal cu minus 3.
Delta 2, 1 este minus 1 la puterea 2 plus 1 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 1, adică 2, egal cu minus 2.
Și delta 2, 2 egal cu minus 1 la puterea 2 plus 2 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 2, adică 1, egal cu 1.
Așadar, inversa matricei A este 1 supra determinantul acesteia înmulțit cu matricea adjunctă, adică 1 supra minus 2 înmulțit cu matricea 4 minus 3 minus 2, 1,
egal cu matricea minus 2, 1, 3 supra 2 minus 1 supra 2.
Să calculăm acum și inversa matricei B.
Transpusa matricei B este 1, 0, 1, 1, iar matricea adjunctă este matricea obținută din B transpus, înlocuind fiecare element cu complementul său algebric.
Delta 1, 1, delta 1, 2, delta 2, 1, delta 2, 2.
Delta 1, 1 este minus 1 la puterea 1 plus 1 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1, adică 1, deci egal cu 1.
Delta 1, 2 este minus 1 la puterea 1 plus 2 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 2, adică 1, egal cu minus 1.
Delta 2, 1 este minus 1 la puterea 2 plus 1 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 1, 0, egal cu 0.
Delta 2, 2 este minus 1 la puterea 2 plus 2 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 2, adică 1, egal cu 1.
Matricea B la minus 1 este egală cu 1 supra determinantul matricei B înmulțit cu matricea adjunctă.
Cum determinantul matricei B este egal cu 1, obținem că inversa matricei B este, de fapt, adjuncta matricei B, adică matricea 1, minus 1, 0, 1.
Să calculăm acum soluția ecuației matriceale, x egal cu a la minus 1, minus 2, 1, 3, supra 2, minus 1 pe 2, înmulțit cu matricea C, adică 2, minus 1, 2, 3, înmulțit cu matricea 1, 0, minus 1, 1.
Să efectuăm întâi prima mulțire, obținând minus 2 ori 2 plus 1 ori 2, minus 2 ori minus 1 plus 1 ori 3, 3 supra 2 ori 2 plus minus 1 supra 2 ori 2,
3 supra 2 ori minus 1 plus minus 1 supra 2, înmulțit cu 3. Totul înmulțit cu matricea 1, 0, minus 1, 1.
Egal cu matricea minus 4 plus 2, minus 2, 2 plus 3, 5, 3 minus 1, 2, minus 3 supra 2 plus minus 3 supra 2, este minus 6 supra 2, adică minus 3.
Înmulțit cu matricea 1, 0, minus 1, 1. Să efectuăm acum și această înmulțire, minus 2 ori 1 plus 5 ori minus 1, minus 2 ori 0 plus 5 ori 1, 2 ori 1 plus minus 3 ori minus 1, 2 ori 0 plus minus 3 ori 1.
Egal cu matricea minus 2 plus minus 5, minus 7, 0 plus 5, 5, 2 plus 3, 5, 0 plus minus 3, minus 3.