Transcript: Ecuații în Z

A rezolva o ecuație înseamnă a găsi soluția sau mulțimea soluțiilor sale.
Soluțiile unei ecuații sunt acele valori ale variabilei pentru care egalitatea este adevărată.
O să încep cu o ecuație mai simplă, x plus minus 2, egal cu minus 3, unde x este un număr întreg.
Dorim să separăm necunoscuta x de ceilalți termeni a ecuației.
Ca să avem un membru stâng doar necunoscuta x, va trebui să adunăm opusul numărului minus 2,
deoarece atunci când adunăm unui număr opusul său, rezultatul este 0.
Așadar, o să adunăm numărul 2 în ambii membri ai egalității și obținem x plus minus 2, plus 2, egal cu minus 3, plus 2.
Minus 2 plus 2 este 0 și obținem x egal, minus 3 plus 2 este minus 1.
Soluția acestei ecuații este numărul întreg minus 1.
A doua ecuație, x minus 5, egal cu minus 1.
Ca să rămână în membrul stâng necunoscuta x, trebuie să adunăm numărul 5 la ambii membri ai egalității
și obținem x minus 5, plus 5, egal cu minus 1, plus 5.
Minus 5 plus 5 este 0, deoarece sunt numere opuse și obținem x egal cu 4.
Soluția acestei ecuații este numărul întreg 4.
A treia ecuație, 2x plus 3, egal cu minus 15.
Mai întâi să eliminăm numărul 3 din membrul stâng,
iar pentru aceasta va trebui să scădem numărul 3 din ambii membri ai ecuației
și obținem 2x plus 3, minus 3, nu o să mai scriu deoarece este 0,
egal cu minus 15, minus 3.
2x va fi egal cu minus 18.
Ca să eliminăm coeficientul 2 din fața necunoscute x,
va trebui să împărțim această ecuație la 2.
Între 2 și x fiind în mulțire, operația inversă în mulțirii este împărțirea.
Și atunci membrul stâng rămâne necunoscuta x,
care va fi egală cu minus 18 împărțit la 2.
Adică x va fi egal cu minus 9.
Soluția este numărul minus 9.
A patra ecuație,
5x plus 3x, egal cu minus 16.
Observăm că necunoscuta x apare de două ori în această ecuație.
Scopul este să reducem termenii care conțin necunoscuta x la un singur termen.
Să vedem cum putem să adunăm 5x cu 3x.
Deoarece x apare ca factor în ambii termeni,
putem să-l dăm pe x factor comun.
Și obținem x pe lângă 5 plus 3,
egal cu minus 16.
Adică x ori 8, egal cu minus 16.
Înmulțirea este comutativă și putem scrie 8x
egal cu minus 16.
Această etapă se poate omite în general
și atunci când trebuie să adunăm doi termeni care conțin aceeași necunoscută,
vom aduna coeficienții lor.
Același lucru este valabil și pentru scădere.
Așadar, 5x plus 3x este 8x.
Ca să eliminăm coeficientul 8, va trebui să împărțim la 8 ambii membri
și obținem x egal cu minus 16 împărțit la 8,
adică x egal cu minus 2.
Soluția este numărul minus 2.
A cincea ecuație,
2 pe lângă x plus 4,
egal cu minus 12.
Aici vom folosi distributivitatea înmulțirii față de adunare
și ca să desfacem această paranteză,
trebuie să înmulțim numărul 2 cu fiecare număr din paranteză
și obținem 2x plus 8,
egal cu minus 12.
Scădem numărul 8 din fiecare membru
și obținem 2x egal cu minus 12 minus 8.
2x va fi egal cu minus 20.
Împărțim la 2 și obținem x egal cu minus 10.
Soluția acestei ecuații este numărul minus 10.
A șasea ecuație,
valoarea absolută a numărului x este egală cu 3.
Numerele întregi care au valoarea absolută egală cu 3
sunt minus 3 și 3.
Vă reamintesc că modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg
este distanța de la origine până la acel număr pe axa numerelor.
Și atunci putem să scriem direct soluția.
Aceasta va fi formată din numerele întregi minus 3 și 3.
Și ultima ecuație, valoarea absolută alui x minus 2
este egală cu 5.
Numerele întregi care au valoarea absolută egală cu 5
sunt minus 5 și 5.
Și atunci avem două variante.
x minus 2 poate să fie egal cu minus 5
sau x minus 2 poate să fie egal cu 5.
O să mai scriu odată prima ecuație.
x minus 2 egal cu minus 5.
Ca să eliminăm numărul minus 2 din membru stâng
va trebui să adunăm opusul său
și obținem x egal cu minus 5 plus 2.
Adică x egal cu minus 3.
Aceasta ar fi o posibilitate.
Să rezolvăm acum a doua ecuație.
O să mai scriu odată x minus 2 egal cu 5.
La fel adunăm opusul lui 2 și obținem x egal cu 5 plus 2
x egal cu 7.
Aceasta ar fi a doua posibilitate.
Și atunci putem să scriem soluția.
S va fi formată din mânțimea numerelor minus 3 și 7.