Transcript: Ecuații în mulțimea numerelor reale
Primul exercițiu, rezolvați în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații.
La punctul a, avem ecuația x la a doua egal cu 25.
Avem două soluții pentru această ecuație.
Prima soluție, o voi nota cu x1, este radical din 25, adică x1 va fi egal cu 5
și a doua soluție, x2, este minus radical din 25
pentru că minus radical din 25 ridicat la puterea a doua va fi 25.
Știm că orice număr negativ ridicat la o putere pară este pozitiv.
Și atunci și x2 verifică ecuația inițială, înseamnă că x2 este soluție.
x2 va fi egal mai departe cu minus 5.
Așadar, avem două soluții.
Soluția se va scrie sub forma S egal acoladă 5 și minus 5.
Punctul b, x la a doua egal cu 6.
Și aici avem două soluții. Prima soluție, x1, este radical din 6
și a doua soluție, x2, este minus radical din 6.
Am în două a fi numere reale. Ele vor fi soluții ale acestei ecuații.
Soluția va fi mulțimea formată din numerele radical din 6 și minus radical din 6.
Următoarea ecuație, x la a doua minus 11 egal cu minus 2.
Trebuie să facem o operație astfel încât în membrul stâng să rămână doar necunoscuta x2.
Pentru aceasta va trebui să adunăm numărul 11 la fiecare membru al acestei egalități
și obținem x la a doua minus 11 plus 11 egal cu minus 2 plus 11.
x la a doua, minus 11 plus 11 este 0. Acesta este și motivul pentru care l-am adunat pe 11.
Egal mai departe, minus 2 plus 11 este 9.
Am ajuns la o ecuație mai simplă de forma x la a doua egal cu 9.
Aceasta are două soluții. Prima soluție este radical din 9.
Mai exact, x1 este egal cu 3.
Și a doua soluție, x2 este minus radical din 9.
x2 egal cu minus 3.
Soluția acestei ecuații este mulțimea formată din numerele 3 și minus 3.
Punctul D, x la a doua, minus 64 egal cu 0.
Adunăm la ambii membri ai egalități numărul 64 pentru a obține membrul stâng x pătrat.
x pătrat minus 64 plus 64 va fi 0, deci nu o să mai scriu.
Egal mai departe, 0 plus 64 este 64.
Avem și în acest caz două soluții. Prima soluție este radical din 64.
x1 va fi egal cu 8.
Și x2 este minus radical din 64.
x2 egal minus 8.
Soluția este mulțimea formată din numerele 8 și minus 8.
Punctul E, 2x la a doua, minus 30 egal cu 2.
Mai întâi adunăm numărul 30 în ambii membri și obținem 2x pătrat egal cu 2 plus 30.
2x pătrat egal cu 32.
Între 2 și x pătrat avem operația de înmulțire.
Pentru a elimina coeficientul x pătrat va trebui să împărțim la 2 ambii membri ai egalității și obținem x la a doua egal cu 32 împărțirea 2.
x la a doua egal cu 16.
x1 va fi radical din 16.
Mai exact x1 este 4.
Și x2 este minus radical din 16.
x2 egal minus 4.
Soluția este mulțimea formată din numerele 4 și minus 4.
F
x la a doua plus 100 egal cu 0.
O să scădem numărul 100 din ambii membri ai relației și obținem x la a doua egal cu 0 minus 100 care este minus 100.
Nu există niciun număr real care ridicat la puterea a doua să fie minus 100 pentru că toate numerele reale ridicate la pătrat vor fi pozitive.
Așadar soluția este mulțimea vidă.
Trecem la exercițiul numărul 2.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații.
La punctul a avem ecuația radical din 3.
x egal cu radical din 27.
Între radical din 3 și x avem operația de înmulțire.
Iar pentru a elimina coeficientul x va trebui să împărțim la radical din 3.
Și obținem x egal cu radical din 27.
Și împărțim la radical din 3.
x egal cu radical din 9.
x va fi egal cu 3.
Soluția acestei ecuații este numărul real 3.
Punctul b.
2x plus 7
egal cu x minus 2.
Observăm că necunoscuta x apare și în membrul stâng și în membrul drept.
Ne propunem să facem niște operații astfel încât să avem necunoscuta x doar în membrul stâng.
Pentru aceasta va trebui să îl scădem pe x din ambii membri ai relației.
Și obținem 2x minus x plus 7
egal cu x minus x va fi 0.
minus 2
2x minus x este x plus 7
egal cu minus 2.
Acum o să scădem numărul 7 din fiecare membru.
Și obținem x egal cu minus 2 minus 7.
x egal cu minus 9.
Soluția acestei ecuații este numărul real minus 9.
Simplul C
3 supra 4x
minus 1 supra 2
egal cu 1.
O să adunăm numărul 1 supra 2 în fiecare membru
și obținem 3 supra 4x
egal cu 1 plus 1 supra 2.
Ca să adunăm aceste două fracții trebuie să le aducem la numitor comun.
Amplificăm prima fracție cu 2
și obținem 3 supra 4x
egal cu 2 supra 2
plus 1 supra 2.
3 supra 4x va fi egal cu 3 supra 2.
Ca să eliminăm coeficientul x vom împărți
la 3 supra 4
și obținem x egal cu 3 supra 2
împărțit la 3 supra 4.
x egal cu 3 supra 2
ori 4 supra 3.
Putem să simplificăm pe diagonală cu 3.
3 împărțit la 3 va fi 1.
Pe cealaltă diagonală simplificăm cu 2.
4 împărțit la 2 este 2.
Și soluția finală va fi x egal cu 2.
Soluția egal cu mulțimea formată din elementul 2.
Punctul D.
Modul de x-2
egal cu 7.
Numerele reale care au modulul sau valoare absolută egală cu 7
sunt 7 și minus 7.
Deci avem două posibilități.
Prima variantă este ca x-2 să fie egal cu 7
și a doua variantă este ca x-2 să fie minus 7.
Așadar trebuie să rezolvăm două ecuații.
Prima ecuație.
O să adunăm numărul 2 la ambii membri ai ecuației
și obținem x egal cu 7 plus 2.
x egal cu 9.
La fel procedăm și aici.
Adunăm numărul 2 și obținem x egal cu minus 7 plus 2.
x egal cu minus 5.
Așadar avem două soluții.
9 și minus 5.
În următoarea ecuație, punctul E.
5x plus 3 pe lângă x minus 6
egal cu 7x plus 13.
Mai întâi desfacem paranteza înmățind pe 3 cu fiecare număr din paranteză.
5x plus 3x minus 18 egal cu 7x plus 13.
5x plus 3x este 8x minus 18 egal cu 7x plus 13.
Separăm termenii care conțin necunoscuta x de termenii liberi.
Pentru aceasta trebuie să scădem numărul 7x
astfel încât în membrul drept să rămână doar numărul 13
și obținem 8x minus 7x minus 18 egal cu 13.
8x minus 7x este x minus 18 egal cu 13.
Adunăm numărul 18 și obținem x egal cu 13 plus 18.
x va fi egal cu 31.
Soluția este numărul 31.
Și punctul F.
3x minus 5 totul supra 4 minus x minus 7 supra 6 egal cu x minus 5 supra 3 plus 1.
Observăm că avem mai multe fracții cu numitor diferiți.
În prima etapă trebuie să aducem fracțiile la numitor comun.
Acesta este 12.
Amplificăm prima fracție cu 3, a doua fracție cu 2, a treia fracție cu 4 și ultima cu 12.
Și obținem 3 pe lângă 3x minus 5 supra 12 minus 2 pe lângă x minus 7 supra 12 egal cu 4 pe lângă x minus 5 supra 12 plus 12 supra 12.
Ca să eliminăm numitorii va trebui să înmulțim toată această egalitate cu 12.
Pentru că înmulțind fiecare fracție cu 12 se va simplifica pe diagonală 12 și astfel nu o să mai avem numitori.
Obținem 3 pe lângă 3x minus 5 minus 2 pe lângă x minus 7 egal cu 4 pe lângă x minus 5 plus 12.
Desfacem parantezele 3 ori 3 este 9x minus 15 minus 2x minus 2 ori minus 7 este plus 14 egal cu 4x minus 20 plus 12.
9x minus 2x este 7x minus 15 plus 14 este minus 1 egal cu 4x iar minus 20 plus 12 este minus 8.
Scădem termenul 4x și obținem 7x minus 4x minus 1 egal cu minus 8.
3x minus 1 egal cu minus 8.
Adunăm numărul 1 la fiecare membru.
3x va fi egal cu minus 8 plus 1.
3x egal cu minus 7.
Împărțim la 3 și obținem x egal cu minus 7 supra 3.
Soluția acestei ecuații este minus 7 supra 3.