Transcript: Ecuații în mulțimea numerelor naturale

Înainte să trecem la rezolvarea concretă a ecuațiilor, haideți să ne gândim, cum am putea să reprezentăm o ecuație?
Avem aici, am trasat, am desenat o balanță și observăm că balanța e în echilibru, momentan nu e nimic pe niciun taler și am pus pe fiecare taler greutăți,
iată, aici avem greutăți fiecare de 1 kg, cele desenate cu verde, iar aici avem o greutate a carei masă nu o cunoaștem și am așezat aceste greutăți în așa fel încât balanța rămâne în echilibru.
Ce putem face pentru a descoperi masa acestui obiect care este reprezentat aici cu albastru?
Cum putem să găsim masa lui?
Păi pentru aceasta trebuie să avem îndeplinite două condiții, care credeți că sunt acelea?
Una din condiții este aceea că pe acest taler trebuie să facem în așa fel încât să avem doar acest obiect, de să nu ne mai apară și aceste două greutăți.
Bun, însă dacă luăm de pe acest taler cele două kilograme, ce se va petrece cu balanța?
Balanța nu va mai rămâne în echilibru și acest taler va urca pentru că va fi mai ușor, în timp ce acesta, fiind mai greu, va coborâ.
Păi asta nu o să ne spună decât faptul că masa aceasta secretă este mai mică decât masa totală pe care o avem aici, însă tot nu vom găsi concret cât este aici.
Atunci ce mai trebuie să facem?
Păi trebuie să avem grijă ca după ce am luat cele două greutăți, cele două kilograme, balanța să rămână în echilibru.
Cum facem acest lucru?
Ca să rămână în echilibru trebuie ca luând aceste două greutăți, haide să le luăm, trebuie să mai luăm de aici tot două greutăți și astfel balanța va rămâne în echilibru și foarte ușor putem să ne dăm seama cât e masa acestui obiect misterios.
Păi haide să notăm, avem aici, notăm așa intuitiv, masa secretă are de fapt 1, 2, 3, 4, 5 adică 5 kilograme.
Să știți că tot ce am discutat aici este de fapt interpretarea unei ecuații.
Păi haide să vedem schița inițială.
Această masă secretă reprezintă de fapt necunoscuta și în cazul ecuațiilor necunoscutele se notează cu diferite litere și în general se folosește litera X.
Deci haide să trecem și noi aici X și vrem să găsim, să-l găsim pe X.
Acum, care este masa totală de pe acest taler?
Păi în primul rând avem X și mai avem și aceste 2 kilograme.
Deci putem să trecem plus cele 2 kilograme.
Bun, cât avem aici în total?
Păi avem 3 kilograme cu 4, deci un total de 7 kilograme.
Cum este balanța noastră?
Este în echilibru?
Ce înseamnă asta?
Că cele două mase totale sunt egale.
Deci X plus 2 este egal cu 7.
Ce am obținut aici este de fapt o ecuație.
X plus 2 este membrul stâng sau membrul întâi al ecuației și 7 se numește membrul drept sau membrul al doilea al ecuației.
Acum, cum îl determinăm pe X?
Păi ca să-l găsim pe X trebuie să-l izolăm, să-l separăm de 2.
Cum am făcut aici?
Am luat de pe acest alert cele 2 kilograme.
Însă ca să păstrăm echilibrul balanței a trebuit ca și de pe acest alert să luăm tot 2 kilograme.
Păi toată această poveste se traduce matematic astfel.
Vrem să scădem 2 din acest membru al egalității și ca să avem în continuare egal trebuie să scădem tot 2 și din acest membru.
Deci vom trece o bară verticală și vom scrie aici minus 2.
Aceasta e operația pe care o vom face și vom avea.
Avem, haide să notăm tot cu albastru pe X.
Deci X adunat cu 2 minus 2 este egal acum cu 7 minus 2.
Deci scad 2 din ambii membri al egalității.
Și acum X plus, avem X adunat cu 2 minus 2 înseamnă 0 egal cu 7 minus 2, 5.
Cu alte cuvinte, haide să trecem mai jos, X ne-a dat, deci X este egal cu 5.
Exact cum am obținut și în prima variantă de rezolvare când nu am discutat despre ecuații.
Acum, haide să facem o altă ecuație.
X adunat cu 15 este egal cu 29 și vrem să-l determinăm pe X.
E clar că pentru a-l găsi pe X trebuie să-l izolăm, să-l separăm de 15.
Cum facem acest lucru?
De vreme ce avem X plus 15, e clar că din acest membru al egalității trebuie să-l scădem pe 15.
Deci, trecem aici pe ara verticală și notăm minus 15.
Acum, această notație înseamnă, ne arată că îl vom scădea pe 15 și din acest membru al egalității, însă și din 29.
Și vom obține X adunat cu 15 minus 15 este egal mai departe cu 29, din care din nou scădem tot pe 15.
Și vom avea, aici avem X plus 15 minus 15, putem să facem mai întâi scăderea și ne dă 0.
Deci, vom avea X plus 0 egal cu 29 minus 15, adică 14.
Și l-am obținut pe X, X egal 14.
Acum, ce am prezentat aici este rezolvarea riguroasă.
Dacă vrem să facem o rezolvare ceva mai directă, deci avem aici sau o altă variantă de rezolvare, putem face astfel.
Scriem ecuația X plus 15 egal 29.
E clar că vrem să îl separăm pe X de 15, deci în această parte a egalului vrem să ne rămână doar X.
Pentru aceasta, spunem că îl trecem pe 15 peste egal cu semn schimbat și vom obține X, pentru că aici ne rămâne doar X, pe 15 îl trecem peste, egal cu.
Scriem mai întâi ce avem în această parte a egalului, deci 29, și apoi ce am mutat.
Păi dacă aici am avut plus 15, peste egal vom avea minus 15 și X este egal cu, facem scăderea și obținem 14.
E clar că această variantă de rezolvare este mai directă, obținem rezultatul mai repede, însă repet, cea riguroasă este aceasta.
Un alt exemplu, X minus 8, haideți să notăm cu altă culoare, deci X minus 8 egal cu 39.
Și haideți să o rezolvăm mai întâi cu această metodă mai rapidă.
Deci vrem să îl găsim pe X.
Ce vom face? Îl vom trece pe 8 peste egal cu semn schimbat.
Și avem X este egal cu ce aveam aici, 39.
Acum scriem ce am mutat, am avut aici minus 8, peste egal vom avea plus 8.
Facem suma, 39 cu 8 ne dă 47.
Haideți acum aceeași ecuație să o rezolvăm și prin această metodă.
Deci X minus 8 egal 39.
Acum, cum am spus, în această parte a egalului, în acest membru, vrem să îl obținem pe X.
Să ne gândim puțin, dacă avem X minus 8, ca să îl obținem pe X, ce trebuie să facem?
Păi trebuie să adunăm 8 în acest membru, deci notăm aici plus 8.
Și vom avea X minus 8 plus 8 este egal mai departe cu 39 plus 8.
Dacă din X scădem 8 și apoi adunăm tot 8, e clar că îl vom obține pe X.
Egal cu 39 plus 8, deci obținem 47.
Haideți să facem acum un alt tip de ecuație.
Avem aici o balanță și pe acest taler avem două greutăți cu mase egale.
Am notat fiecare masă cu X și pe acest taler avem alte greutăți fiecare cu masa de un kilogram.
Balanța este în echilibru.
Cum îl determinăm acum pe X?
De vreme ce aici avem două greutăți de mase egale, pentru a-l găsi pe X,
înseamnă că această masă totală trebuie să o separăm tot în două părți egale.
Și iată, având aici 8 kg în total, vom separa acestea 4 și acestea 4.
Păi, din ce am notat până acum, e foarte ușor de văzut că X este egal cu,
haideți să notăm X egal cu, cât avem 4 kg.
Deci, 4 kg.
Care este ecuația pe care o putem scrie folosindu-ne de ce am discutat până acum?
Păi, pe acest taler avem X plus X, cu alte cuvinte, 2 înmulțit cu X.
Și pe acesta avem un total de 8 kg.
Balanța este în echilibru, deci între 2 ori X și 8 avem egalitate.
Cum îl găsim pe X?
Păi, ce am făcut aici?
Această masă totală am împărțit-o la 2.
Deci, trebuie să împărțim la 2 fiecare membru al acestei egalități.
Pentru aceasta, trecem bara verticală și notăm împărțit la 2.
Ce vom obține?
Păi, avem aici 2 ori X, deci dublul X împărțit la 2,
egal mai departe cu 8, pe care îl împărțim și pe el la 2.
Păi, dacă dublul X este împărțit la 2, e clar că rezultatul va fi X.
Și avem 8 împărțit la 2, adică 4.
X egal cu 4, exact ce am obținut și aici.
Un alt exemplu de ecuație.
Haideți să o notăm aici.
15 înmulțit cu Y, să nu mai scriem tot X.
Deci ecuațiile, necunoscutele unor ecuații, le putem nota cu ce litere vrem.
Haideți să o notăm pe aceasta cu Y.
15 ori Y egal cu 45.
Cum îl obținem pe Y?
Păi, dacă avem aici 15 înmulțit cu Y, e clar că trebuie să împărțim această relație la 15.
De ce?
15 ori Y împărțit la 15 este egal mai departe cu 45 împărțit la 15.
De ce ne-i de ajutor să împărțim la 15 acest membru?
Păi, 15 înmulțit cu Y, acest rezultat împărțit la 15, e clar că ne dă Y.
Deci obținem că Y egal cu 45 împărțit la 15, adică 3.
Avem acum o altă balanță aflată în echilibru și observăm că pe acest taler avem 3 greutăți cu aceeași masă secretă pe care am notat-o X
și mai avem 2 greutăți fiecare cu masa de 1 kg.
Iar aici avem mai multe greutăți cu masa de 1 kg, avem așa 1, 2, 3, 4, 5, 6 și aici avem încă 5, deci un total de 11 kg.
Cum determinăm acum care este masa notată de noi cu X?
Păi, pentru început vrem să eliminăm, să scădem din această masă totală aceste 2 kg, deci vrem să luăm aceste 2 greutăți.
Păi, haideți să le dăm la o parte.
Bun, luăm aceste greutăți, însă ce se petrece?
Pentru ca balanța să rămână, ca echilibrul ei să fie păstrat, trebuie ca de pe acest taler să luăm aceeași cantitate, deci tot 2 greutăți.
Ce urmează să facem în continuare?
Păi, având aici 3 greutăți cu mase egale, această masă totală o vom împărți în 3 părți egale.
Și avem așa 3, iată, mai avem aici încă 3 și ne-au mai rămas încă 3.
Păi, ce înseamnă asta?
Înseamnă că x este egal, de fapt, cu 3 kg, deci notăm aici 3 kg.
Bun, cum putem să notăm ce am avut sub forma unei ecuații?
Păi, haideți să vedem schița inițială.
Ce ecuație obținem?
Care este masa totală de pe acest taler?
Păi, avem x adunat cu x adunat cu x, deci avem 3 înmulțit cu x.
Adunat cu, mai avem aici aceste 2 kg, deci vom nota plus 2.
Câte kg avem aici în total?
Avem 11 kg.
Bun, cum balanța e în echilibru, înseamnă că între această masă totală și aceasta avem egalitate.
Cum l-am obținut pe x? Care a fost primul pas?
Mai întâi, de pe acest taler am luat aceste 2 kg, cu alte cuvinte.
Din această masă totală am scăzut pe 2, la fel și aici.
Deci trecem, scriem acea bară verticală și notăm minus 2.
Și vom avea 3 ori x.
Le scădem pe 2 din ambii membrii a egalității.
Adunat cu 2, haideți să scriem tot cu verde, din care îl scădem mai departe pe 2.
Este egal mai departe cu 11, din care îl scădem pe 2.
Ce obținem?
E clar că ne rămâne 3 înmulțit cu x.
Este egal mai departe cu 11 minus 2, adică 9.
E ușor de văzut că obținem că x este egal cu 9 împărțit acum la 3.
Haideți să se vadă.
Pe 9 îl vom împărți la 3.
Deci x ne va da 3.
Bun.
Care sunt pașii prin urmare?
Ce facem mai întâi când avem o asemenea ecuație?
Păi observăm că aici avem 3 înmulțit cu x.
Și aici 2 este adunat cu rezultatul acestui produs.
Ce facem mai întâi?
Ne ocupăm de fapt de acele numere care sunt angajate în operații de gradul 1,
adică în operațiile de adunare sau scădere cu acei termeni care îl conțin pe x.
Deci îl eliminăm, să spunem așa, mai întâi pe 2.
Iar apoi ne-am ocupat de eliminarea, între ghilimele, a lui 3 folosind operația de împărțire.