Transcript: Ecuații de gradul I

În această lecție vom face o recapitulare a ecuațiilor și necoațiilor de gradul întâi,
astfel că forma generală a ecuației de gradul întâi este dată, așa cum vă reamintiți din clasele primare,
de ax plus b egal cu 0, unde a este diferit de 0 și a și b sunt numere reale.
Plecând de la ideea teoretică, ar trebui să înțelegeți în practică cumva că variabila x poate reprezenta prețul unui bun pe care îl propuneți să-l achiziționați,
numărul a real poate să reprezinte cantitatea de bunuri achiziționate, numărul b real poate reprezenta suma de bani cheltuită pentru achiziționarea acestor buni.
Astfel, se poate da un exemplu cât se poate de ușor, de simplu și anume, bunul pe care vă propuneți să-l achiziționați, admitem că este un tricou.
Cantitatea de bunuri pe care doriți să vi le achiziționați este 3, deci în cazul ăsta vă propuneți să cumpărați 3 tricouri.
Suma cheltuită pentru aceste tricouri, pentru achiziționarea acestor bunuri, este 45.
În acest caz, ecuația de gradul întâi, ce ar descrie exemplul prezentat, este 3 tricouri, minus 45 ron, egal cu 0 ron.
Minus 45 ron, minus, spun, deoarece banii au fost cheltuiți.
Asta este motivul pentru care în ecuație apare cu minus 45 de ron.
0 ron, rezultatul, reprezintă suma de bani pe care o aveți în acest moment în puzunar după ce, evident, ați făcut achiziționarea de aceste 3 tricouri.
Logic și normal, 3 tricouri costă 45 de ron, un tricou va costa 45 de ron, părțit la 3, astfel că valoarea unui tricou este de 15 ron.
Ceste exemplu e cât se poate de simplu și de logic în real life.
Astfel că modalitatea teoretică de rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi poate fi descrisă în felul următor.
Ecoația de gradul întâi, ax plus b egal cu 0, va conduce, fără doar și poate, la ax egal cu minus b, prin trecerea lui b în partea dreaptă cu semn schimbat.
În această situație, valoarea lui x, x fiind necunoscută, variabilă sau rădăcină a ecuației de gradul întâi,
deci, așa cum spuneam, x, va avea valoarea minus b supra a cu, evident, condiția de existență a diferit de 0.
Dați seama că în momentul în care a ar avea valoarea 0, aș avea o fracție care are la anumitor 0.
Pentru care b supra 0, b oricare ar fi el, nu își va avea sens. E o valoare fără sens.
Ăsta este motivul principal și corect, real, pentru care a este diferit de 0.
Plecând de la exemplul anterior, vom avea 3x minus 45 egal cu 0.
3 va aduceți în aminterea numărul de tricouri pe care vi l-a achiziționați.
x este, de fapt, un tricou, valoarea unui tricou. 45 era suma cheltuită.
Astfel că 3x egal cu 45 minus 45 a trecut în partea dreaptă cu semn schimbat, deci a venit cu plus 45.
x va fi, de fapt, 45 pe 3 și, așa cum am lămulit, x va fi egal cu 15.
Interpretarea geometrică a unei ecuații de gradul întâi se poate face doar dacă ajung la funcții de gradul întâi.
Astfel că graficul funcției de gradul întâi, f definită cu valori în R,
cu f de x egal cu ax plus b, vedeți ecuația de gradul întâi transpusă, repet, într-o funcție,
este o dreaptă care intersectează axa OX în punctul de abscisă minus b supra a.
Ce înseamnă asta?
În primul rând că minus b supra a este, de fapt, soluția, respectiv rădăcina ecuației ax plus b egal cu 0,
ceea ce am afirmat mai sus, și foarte, foarte important pentru descrierea geometrică,
pentru reprezentarea grafică, respectiv interpretarea geometrică a funcției de gradul întâi,
este important să înțelegeți că, în primul rând, se face așa-numita intersectie cu axele de coordonat.
Astfel că vom considera că a și b sunt pozitive
și, foarte important, vom realiza aceste intersectii cu axele de coordonat.
Astfel că pentru x egal cu 0, înțeleg de fapt că f de 0 egal cu a ori 0 plus b,
deci f de 0 va fi a de coordonate 0, b.
Pentru y egal cu 0, a x plus b egal cu 0, adică x egal cu minus b supra a, rezolvarea ecuației de gradul întâi,
se obține, în acest moment, un b mare de coordonate minus b supra a.
E important să înțelegeți aici că intersectia cu axele de coordonate, când fac x egal cu 0,
de fapt fac intersectia cu axele de coordonate y,
atunci când scriu y egal cu 0, fac de fapt intersectia cu axele de coordonate x.
Astfel că, într-un sistem cartesian x-y,
reprezentarea grafică, așa cum spuneam, va fi o dreaptă ce va intersecta axele de coordonate x
în punctul de abscisă minus b supra a.
Adică dreapta reprezentată de mine cu verde.
Astfel că a-ul de coordonate 0 și b, punctul a mare de coordonate 0, b, este reprezentat aici.
b-ul de coordonate minus b supra a, așa cum spuneam, abscisa e minus b supra a și 0, este reprezentat aici.
Astfel că a-b va fi reprezentarea grafică a funcției f definită pe el cu valori în R,
unde f de x egal cu ax plus b.
Și, foarte important, abscisa este minus b supra a
și întotdeauna se va reprezenta pe axa o-x,
iar ordonata este b și, cu siguranță, va fi reprezentată pe axa o-y.
Un exemplu pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi este dat de următoarea aplicație.
Să se rezolve ecuația în x și anume m minus x egal cu 1 minus m pătrat x.
Foarte important în acest moment este să înțelegeți că ecuația dată are drept necunoscută variabila x.
Deși apare parametrul m în descrierea ecuației, acesta nu are efect asupra algoritmului de rezolvare al ecuației.
Asta înseamnă că, în momentul în care mă uit la ecuație e minus x egal cu 1 minus m pătrat x,
ea devine minus x, conține variabila x și rămâne în partea stângă,
și plus m pătrat x, iar conține variabila x pentru care din dreapta a fost adus în stânga cu semn schimbat,
egal cu 1, 1 a rămas pe locul lui în dreapta, deci nu i s-a schimbat semnul,
minus m, m-ul, a venit în partea dreaptă, deci, având plus, a venit cu semn schimbat.
Repet, trebuie observat faptul că am separat în stânga termenii ce conțin variabila x,
așa cum spuneam, minus x plus m pătrat x,
ei ca și termen conțin variabila x,
iar în dreapta restul de termeni, 1, respectiv minus m, ei nu conțin variabila x.
Ea este cea care contează pentru că, așa cum spuneam, ecuația este rezolvată în x,
are drept necunoscută x.
m-ul e un simplu parametru în funcție de care se rezolvă ecuația dată.
Astfel că voi da x factor comun în relația de mai sus
și voi obține minus 1 plus m pătrat în paranteză,
egal cu 1 minus m.
Foarte important este să înțelegeți că, de fapt, x pe lângă minus 1 plus m
poate fi scris ca minus 1 plus m pătrat ori x.
Asta ca să înțelegeți în mod clar că
paranteza mea este a-ul teoretic din forma generală a ecuației de gradul 1
și rezultatul, adică 1 minus m, este, de fapt, minus b-ul teoretic.
Astfel că x-ul va avea valoarea 1 minus m supra minus 1 plus m pătrat.
Ceea ce înseamnă că dacă dau minus în față, scot minus factor forțat,
dacă vreți sus la numărător,
voi obține minus m minus 1 supra m pătrat minus 1.
În mod ideal se pun condiții de existență al acestui rezultat
și mai clar al fracției obținute
și mai clar că, așa cum spuneam, numitorul trebuie să fie diferit de 0.
În acest caz, m pătrat minus 1 diferit de 0,
de unde, fără doar și poate, pricep că m pătrat este diferit de 1,
de unde m este diferit de plus și minus 1.
Rezolvarea clară a ecuației continuă
prin a descrie că x, variabila noastră,
este minus m minus 1 supra m minus 1 pe lângă m plus 1.
Acesta fiind o diferență de pătrate,
formulă de calcul prescurtată aplicată.
Și atunci, în mod evident, minus 1 cu m minus 1 se reduc.
Înțelegând din aceasta că x-ul va avea valoarea
minus 1 supra m plus 1.
Continuare.
Vă comentez și este ideal să rețineți
că este important să înțelegeți că punerea condițiilor de existență
în aceste cazuri este esențial.
De asemenea, în ecuația dată,
ecuația pe care o descriam mai sus și anume
minus 1 plus m pătrat pe lângă x egal cu 1 minus m,
pentru m egal cu 1,
aduceți aminte că, mă rog, ca și condiție de existență,
m trebuia să fie diferit de 1, respectiv minus 1.
Admitem însă că nu am pus aceste condiții de existență
și atunci să vedem ce s-ar întâmpla
dacă n-aș pune condițiile de existență.
Revenind, spun. Dacă m egal cu 1,
în relația de mai sus voi avea minus 1 plus 1 la pătrat
ori x egal cu 1 minus 1.
m a fost înlocuit cu 1, așa cum se vede.
Înțeleg din asta că voi obține 0 ori x
egal cu 0. O relație adevărată
ori care ar fi x real.
Ce se întâmplă însă în situația în care
m-ul ar avea valoarea minus 1?
Înțeleg că voi avea minus 1 plus minus 1
la puterea a doua, înmulțit cu x,
egal cu 1 minus minus 1.
Asta înseamnă, de fapt, minus 1 plus
minus 1, x, care e egal cu 1 plus 1.
Ceea ce va însemna, în realitate, cam 0
ori x egal cu 2. Asta înseamnă,
de fapt, o relație ce nu poate fi verificată
pentru nicio valoare a lui x real.
Adică, ceva neadevărat.
De pildă, 0 egal cu 2.
Este o relație falsă.
De reținut, după parcurgerea
acestei lecții, este că ecuațiile
de gradul întâi au necunoscuta
x-ul la puterea maximă 1
și, foarte important,
ecuațiile de gradul întâi au o singură
soluție reală.