Transcript: Ecuații de gradul al doilea

Să vorbim acum de ecuația de gradul al doilea cu o necunoscută.
O asemenea ecuație are această formă a or x pătrat adunat cu b or x adunat cu c egal cu 0,
unde a, b și c sunt toate numere reale, iar în plus a este un număr real nenul, a diferit de 0.
De ce se numește ecuație cu o necunoscută?
Foarte simplu, pentru că avem o singură necunoscută, la noi necunoscuta este x.
De ce se numește degradul al doilea?
Pentru că cea mai mare putere la care apare necunoscuta este puterea a doua, avem aici x pătrat și x la întâia.
Deci x la a doua e cea mai mare putere la care apare x.
Și un exemplu este acesta, x pătrat minus 5 or x este egal cu minus 11 supra 2.
Acum, dacă vrem că această ecuație să aibă forma scrisă aici, observăm că membrul din dreapta în această parte este 0,
atunci îl trecem pe minus 11 pe 2 peste egal cu semn schimbat și vom avea x pătrat minus 5 or x plus 11 supra 2 egal cu 0.
Aceste două ecuații sunt ecuații echivalente.
Bun, cum rezolvăm o asemenea ecuație?
Vrem să grupăm termenii care conține cunoscuta și să formăm un pătrat perfect pentru că aici ne apare x la pătrat.
Și pentru aceasta vom scrie în felul următor, avem x la a doua minus 5 or x îl vom scrie 2 or 5 supra 2 or x.
Și o să înțelegeți imediat de ce îl scriem așa.
Iată, avem aici un număr ridicat la pătrat minus 2 or numărul respectiv înmulțit cu 5 supra 2.
Păi, dacă adunăm noi pătratului 5 supra 2, adică 5 supra 2 totul la a doua, atunci ce vom avea aici?
E o formulă cunoscută și o să obținem x minus 5 supra 2 totul la pătrat.
Și am obținut un pătrat perfect în care avem necunoscuta.
Însă nouă nu ne apare aici 5 supra 2 totul la pătrat, ci avem 11 supra 2.
Cum facem?
Păi, ca să nu modificăm cu nimic ecuația noastră, pentru că iată, nici aici nu am modificat,
2 cu 2 se simplifică și ne rămâne 5 or x, exact ca aici.
Ca să nu modificăm nici aici, atunci am adunat acest termen, îl și scădem,
deci minus 5 supra 2 totul la pătrat și adunăm termenul nostru, adică plus 11 supra 2 egal 0.
Această diferență ne dă 0, deci ne rămâne 11 supra 2 exact ca aici.
Deci și aceste două ecuații sunt echivalente.
Bun, aici am obținut pătratul acestei diferențe și restul copiem.
Minus, ridicăm la pătrat, avem 25 supra 4 plus și aici haide să amplificăm cu 2
și vom avea 22 supra 4 egal 0 și facem calculul.
X minus 5 supra 2 totul la pătrat și aici vom avea minus 3 supra 4 egal cu 0.
Păi deja e mult mai ușor să rezolvăm o asemenea ecuație decât cea de la care am plecat,
pentru că iată, acest termen 3 supra 4, cum îl putem scrie?
Păi putem să facem în așa fel încât să avem o diferență de pătrate.
Acest e un număr pozitiv, deci putem să îl scriem radical din 3 supra 2 totul, deci totul la a doua.
Și haide să se vadă mai bine ce vom obține.
Avem X minus 5 supra 2 totul la pătrat minus acest termen egal cu 0.
Cum am spus, diferență de pătrate.
Deci facem această diferență, avem X minus 5 supra 2,
deci acest termen minus ce avem aici, deci minus radical din 3 supra 2,
înmulțit cu suma dintre acest termen, X minus 5 supra 2, adunat cu radical din 3 pe 2.
Deci am aplicat formula diferenței de pătrate, nu am făcut nimic, egal cu 0.
Deci nu am făcut nimic nou.
Și acum, când un produs de două numere reale ne dă 0,
când cel puțin unul din numere este 0,
deci fie avem acest număr egal 0, adică X minus 5 supra 2 minus radical din 3 pe 2 egal 0,
sau putem să avem această variantă în care X minus 5 supra 2 plus radical din 3 supra 2 ne dă 0.
Cu alte cuvinte, aici vom avea echivalent cu X cât ne dă.
Păi trecem fiecare termen peste egal cu semn schimbat și vom avea așa, numitorul este 2
și avem 5 plus radical din 3, 5 plus radical din 3 pe 2,
sau X este egal cu, vom avea aici, 5 minus radical din 3 supra 2.
Deci, de fapt, avem două soluții și putem să le notăm diferit, X1 și X2.
Am obținut pentru această ecuație două soluții și notăm soluția este, să notăm aici sub,
avem 5 plus sau minus radical din 3 supra 2.
Deci trecem linia de fracție, 5 plus sau minus radical din 3 supra 2.
Și acum, haideți să găsim metoda de rezolvare pentru o ecuație de gradul al doilea scrisă în forma generală,
iar forma generală este aceasta.
Avem ax pătrat plus b ori x plus c egal cu 0.
Ca să construim mai ușor pătratul din care face parte necunoscută,
mă refer la acest pătrat, ar trebui ca acel coeficient al lui x pătrat să fie egal cu 1.
Bun, însă noi avem coeficientul lui x pătrat egal cu a.
Cum să facem ca locul lui a să fie 1?
Foarte simplu, a este diferit de 0, de aceea putem să împărțim această egalitate chiar la a.
Tragem o bară verticală și împărțim la a.
Și vom avea, haideți să facem acest a mai mare să se vadă.
a împărțit la a ne dă 1, deci vom avea x pătrat adunat cu b supra a înmulțit cu x adunat cu c supra a
egal cu 0.
Și acum, haideți să construim pătratul, deci avem x pătrat pe care îl copiem adunat cu.
Trecem aici 2 înmulțit cu.
Dacă înmulțim acest produs cu 2, ca el să nu se modifice, trebuie să îl împărțim tot la 2.
Deci vom avea b supra 2 ori a înmulțit cu x.
Iată, 2 cu 2 se simplifică, deci ne rămâne b supra a ori x, exact ce avem aici.
Adunat cu.
Acum, ca să formăm pătratul, de ce mai avem nevoie?
Păi avem x pătrat adunat cu 2 ori x înmulțit cu b supra 2 ori a.
Deci avem nevoie de pătratul acestui factor.
b supra 2 ori a, totul la pătrat.
Ca să nu se modifice cu nimic ecuația noastră, scădem ce am adăugat.
b supra 2 ori a, totul la pătrat adunat cu termenul nostru, ce aveam aici, adică c supra a, egal cu 0.
Iată, aici obținem 0, această diferență ne dă 0, plus c supra a, adică ce aveam mai sus.
Cele două ecuații scrise sunt echivalente.
Primii trei termeni.
Vom folosi formula știută și vom obține x adunat cu b supra 2 a, totul ridicat la pătrat, minus, și aici haideți să facem calculul, avem b pătrat supra 4 a la a doua, și aici chiar putem să amplificăm cu 4 a,
și vom avea la numitor 4 a pătrat, iar la numărător 4 a înmulțit cu c, egal cu 0.
Deci obținem x plus, deci aici avem plus, b supra 2 ori a, totul ridicat la pătrat, și aici să restrângem calculul.
Vom avea minus linie de fracție 4 a la a doua, ce avem la numărător?
Păi minus b pătrat, minusul deja l-am scos în față, aici trebuie să obținem plus.
Păi ce semn trecem aici?
Minus ori minus ne dă plus, deci vom avea b pătrat minus 4 a c, egal cu 0.
Iată, minus b pătrat, minus b pătrat, minus ori minus ne dă plus acest termen exact ce avem aici.
Până în acest moment nu am făcut nimic decât să parcurgem pașii așa cum am făcut și la această ecuație.
Și acum, ca să ne fie mai simplu, haideți să notăm această diferență cu delta, și notăm aici delta, egal cu b pătrat minus 4 a c.
Și să se vadă mai clar, voi păstra doar această ecuație.
Bun, haideți să păstrăm, nu chiar ultima formă, ba chiar să lăsăm doar ultima formă, pentru că vom avea nevoie de spațiu de scriere.
Delta se numește discriminantul, și vom nota, discriminantul ecuației a x pătrat plus b ori x plus c egal 0.
Adică discriminantul ecuației date inițial.
Iar acum vom avea, folosind această scriere cu delta, x plus b supra 2 a totul ridicat la pătrat minus delta supra 4 a pătrat ne dă 0.
De ce folosim denumirea de discriminant?
Pentru că această diferență, exact ce avem aici, face deosebirea între soluțiile ecuației noastre.
Cu alte cuvinte, discriminantul hotărăște, să zicem așa, ce fel de soluții are această ecuație.
Discriminantul este un număr real.
Păi asta înseamnă că el poate să fie, și haideți să notăm, poate să fie strict mai mic decât 0, sau poate să fie egal cu 0, sau poate să fie strict mai mare decât 0.
Deci avem una din aceste 3 variante, pe care le-am și notat.
Ce se întâmplă dacă discriminantul este un număr strict negativ?
Păi haideți să ne uităm aici.
4 a la a doua este un număr strict pozitiv, da?
Deci asta înseamnă că toată această fracție cum va fi?
Numărătorul e negativ, numitorul e pozitiv, deci vom obține că delta supra 4 a este strict mai mic ca 0.
Cu minus în față înseamnă că minus delta supra 4 a pătrat, pardon aici am scris doar 4 a, va fi cum?
Strict mai mare ca 0.
Păi ce soluții vom obține pentru această ecuație?
Haideți să dăm chiar un exemplu concret ca să înțelegeți mai bine.
Dacă delta e de exemplu minus 1, deci cazul delta strict negativ, vom avea, urmărim aici,
x plus b supra 2 a totul la pătrat minus acest minus delta care ne dă minus 1 supra 4 a pătrat egal 0.
Păi minus ori minus ne dă plus, deci vom avea x plus b supra 2 a totul la pătrat plus 1 supra 4 a pătrat ne dă 0.
Ce fel de număr e acesta?
Strict pozitiv.
Ce fel de număr e acesta?
E pătrat unui număr real, deci e mai mare sau egal cu 0.
Păi putem noi să adunăm un număr mai mare sau egal cu 0, cu unul strict pozitiv, iar rezultatul să fie 0?
Nu.
Deci într-o asemenea situație în care delta este negativ, strict negativ, nu avem soluții.
Deci soluția este mulțimea albidă.
Haideți să ștergem aici și vom nota.
Rezultă că soluția este mulțimea albidă.
Deci dacă discriminantul e un număr negativ, nu avem soluții pentru ecuația noastră.
Dacă discriminantul este 0, vom obține.
Avem aici 0 supra 4 a pătrat, deci ne dă 0.
Deci x plus b supra 2 a la pătrat, cât ne dă? 0.
Păi asta e echivalent cu a spune că ce avem aici, x plus b supra 2 a, ne dă 0.
Echivalent cu x egal cu minus b supra 2 a.
Deci notăm că soluția este minus b supra 2 a.
Deci în situația în care discriminantul este 0, avem o singură soluție și anume aceasta.
Dacă discriminantul este un număr strict mai mare ca 0, atunci ce o să rezulte?
Păi vom avea exact situația descrisă în exemplu nostru când am rezolvat prima ecuație.
Având aici un număr strict pozitiv, pentru că acum delta supra 4 a pătrat va fi strict pozitiv,
putem să-l scriem ca fiind pătratul unui număr.
Concret vom avea...
Deci rezultă. Rescriem x plus b supra 2 a totul la pătrat minus radical din delta,
pe care putem să-l scriem acum pentru că delta este strict pozitiv, supra 2 a totul la pătrat egal cu 0.
Și acum facem exact ce am făcut și în ecuația noastră.
Desfacem diferența de pătrate.
Deci x plus b supra 2 a minus ce avem aici radical din delta supra 2 a totul la pătrat,
deci totul în paranteză înmulțit cu x plus ce avem aici b supra 2 a și acum ce trecem?
Adunat cu acest radical din delta supra 2 a ne dă 0.
Și ce variante avem?
Păi fie obținem aici 0, fie obținem aici 0.
Și vom avea de fapt că x plus b supra 2 a minus radical din delta supra 2 a ne dă 0,
sau exact cum am scris și în celălalt exemplu ce avem aici adică x plus b supra 2 a plus radical din delta supra 2 a ne dă 0.
Și deja e simplu aici pentru că x va fi egal cu, trecem numitorul comun care este 2 a
și vom avea minus b plus radical din delta supra 2 a sau avem varianta următoare tot așa numitorul este 2 a minus b minus radical din delta supra 2 a.
Deci iată că și aici avem două soluții x1 și x2.
Deci notăm că în acest caz soluția va fi, trecem numitorul care este 2 a minus b plus sau minus radical din delta supra 2 a.
Raționamentul pe care l-am făcut aici nu este unul simplu, nu este nici foarte complicat și l-am făcut pentru că am vrut să vedeți,
haideți să vadă și delta, am vrut să vedeți de unde apare necesitatea de a calcula această diferență,
de ce numim această diferență discriminant și de ce e nevoie să luăm în calcul aceste trei variante pentru delta.
Pentru că de fapt iată că delta decide ce fel de soluție are ecuația noastră.
Acum să facem o scurtă recapitulare, când ni se dă o ecuație de gradul al doilea, cum procedăm ca să o rezolvăm?
Și ni se dă o ecuație de gradul al doilea, mai întâi calculăm discriminantul acestei ecuații și discriminantul este egal cu,
trebuie să învățăm această formulă să o știm pe de rost, avem pătratul coeficientului lui X, adică B pătrat, minus 4 înmulțit cu A înmulțit cu C,
deci minus 4AC și apoi în funcție de delta vom stabili soluțiile, avem trei variante, delta este stric mai mic ca 0 sau delta este egal cu 0
sau ultima variantă delta este un număr stric mai mare ca 0, dacă delta este stric negativ, deci ce obținem aici?
Atunci soluția acestei ecuații este mulțimea vidă, dacă delta este 0 avem o singură soluție și ea este dată de elementul minus B supra 2A,
aceasta este mulțimea soluțiilor și dacă delta este un număr stric mai mare ca 0, atunci vom avea două soluții și anume, trecem linia de fracție,
minus B, deci coeficientul lui X cu minus în față plus sau minus radical din delta, care este un număr real pentru că delta este stric pozitiv,
totul supra 2 înmulțit cu coeficientul lui X pătrat, adică 2A.
Deci ca să rezolvăm corect o ecuație de gradul al doilea, trebuie să urmărim această schemă și evident să știm și formulele care apar.
În segmența ce urmează chiar o să rezolvăm câteva ecuații de gradul al doilea.