Transcript: Ecuații cu numere zecimale

Despre ecuații am discutat și la mulțimea numelor naturale, însă acum vom face câteva ecuații cu numere decimale.
Și putem să le reprezentăm și pe acestea cu ajutorul balanțelor.
Și avem aici o balanță, pe primul taler avem această masă necunoscută notată x și un obiect cu masa de 2,3 kg,
iar aici avem trei obiecte identice cu acesta, fiecare cu masa de 2,3 kg.
Acum, cum balanța este în echilibru?
Ce putem spune despre masele care se află pe cele două talere?
Păi masa totală de pe primul taler este egală cu masa totală de pe al doilea taler.
Pe primul taler cât avem în total?
Păi avem această masă necunoscută pe care o notăm cu x și mai avem 2,3 plus 2,3 kg,
iar aici, dacă facem sumă, avem un total de 6,9 kg.
Acum, ce înseamnă o ecuație?
O ecuație este, de fapt, o egalitate matematică ce conține o necunoscută.
Bun, cum rezolvăm o ecuație?
Păi trebuie să-l determinăm pe x.
Pentru aceasta, îl separăm pe x de 2,3.
De fapt, e ca și cum am luat de pe acest taler această masă de 2,3 kg.
Deci o luăm de pe taler, însă ca balanța să rămână în echilibru, ce trebuie să facem?
Trebuie ca și de pe al doilea taler să luăm aceeași masă.
Și acum observăm că x, această masă, este egală cu masa totală de aici.
Cum facem în ecuație?
Foarte ușor, vom scrie o bară verticală și, cum am luat de aici masa de 2,3 kg, la fel și aici,
de fapt, scădem din această egalitate 2,3.
Și vom avea x adunat cu 2,3 minus 2,3,
pentru că scădem din ambii membri ai egalității de pe ambele talere,
egal cu 6,9 minus 2,3.
2,3 minus 2,3, aici vom obține 0.
x plus 0 ne va da x, este egal cu, facem diferența și obținem 4,6.
Lucru care se vede și de aici, adunând 2,3 cu 2,3, clar că x ne dă 4,6.
Cum scriem acum soluția unei ecuații sau, mai întâi, ce este aceea soluție a ecuației?
Numărul 4,6 este soluție a acestei ecuații pentru că,
dacă îl înlocuim pe x cu 4,6, vom obține o relație adevărată.
Iată, 4,6 plus 2,3 ne dă 6,9.
Și soluția o putem scrie astfel, notăm S mare de la soluție
și o vom scrie cu ajutorul mulțimilor.
Soluția este formată din elementul numărul decimal 4,6.
Haideți acum să facem câteva ecuații.
x minus 1,31 egal cu 4,58. Vrem să-l obținem pe x.
Ca să avem aici x, ce înseamnă?
Cum avem x minus un număr, înseamnă că trebuie să adunăm la această egalitate numărul respectiv,
adică 1,31.
Pentru că dacă din x scădem 1,31 și adunăm apoi același număr,
de fapt îl vom obține pe x.
Și avem aici x minus 1,31,
atenție, adunăm ce am notat aici în ambii membri a egalității,
deci plus 1,31 este egal mai departe cu 4,58 adunat cu 1,31.
Și acum chiar pot să mut puțin ca să avem egal sub egal.
Cât vom obține?
Păi aici am spus că vom obține x,
pardon, deci aici îl avem pe x care este egal cu,
facem suma și vom obține 5,89.
Acum o altă metodă de rezolvare a acestei ecuații,
deci am notat-o, este aceasta.
Putem să spunem că îl trecem pe 1,31 peste egal cu semn schimbat.
De fapt această rezolvare nu este una riguroasă,
cea riguroasă este aceasta,
însă făcând așa câștigăm mai mult timp și ce vom obține?
Avem x egal cu ce avem aici, 4,58 adunat cu ce am mutat,
pentru că aici avem scădere, peste vom avea adunare,
deci plus 1,31 și obținem din start că x este 5,89.
Însă atenție, cum am spus, rezolvarea riguroasă este aceasta,
deci explicația faptului că aici avem această sumă
se datorează acestei adunări,
faptului că adunăm în această egalitate 1,31.
Alte ecuații, 7 înmulțit cu x ne dă 5,6.
Păi ce număr înmulțit cu 7 ne dă 5,6?
Cum aflăm numărul respectiv?
Foarte simplu, ca la numere naturale trebuie să împărțim ce avem aici, 5,6 la 7.
E ca și cum, de fapt, această egalitate o împărțim pe toată la 7
și vom obține ce am notat aici.
x va fi egal cu, facem împărțirea, 5,6 împărțit la 7.
Mai întâi împărțim partea întreagă la 7, 5 împărțit la 7,
păi 7 intră în 5 de 0 ori 0 ori 7 de 0.
Facem diferența 5.
Am ajuns în dreptul virgulei, o trecem la cât și ce coborăm?
Următoarea cifră, adică 6.
56 împărțit la 7 ne dă 8, 8 ori 7, 56.
Facem scăderea și ne dă 0,8 rezultatul.
Bun, putem să ștergem aici și l-am obținut pe x.
Un alt exemplu.
x înmulțit cu 0,3 egal 0,15.
Păi e asemănătoare cu prima ecuație,
nu contează unde este așezată necunoscuta înmulțirea, este comutativă,
deci putem să schimbăm locul acestor doi factori.
Cum îl calculăm pe x?
Păi ce număr înmulțit cu 0,3 ne dă ce avem aici?
Foarte ușor, 0,15 trebuie să îl împărțim la 0,3.
Și x este egal cu 0,15 împărțit la 0,3.
Mai întâi înmulțim împărțitorul cu 10 și 0,3 ori 10 ne dă 3.
Vrem ca împărțitorul să fie număr natural.
Să trecem împărțirea și 0,15 înmulțit și el tot cu 10 ne dă 1,5.
1 împărțit la 3, 0.
0 ori 3, 0.
Am ajuns în dreptul virgulei, o trecem la cât?
15 împărțit la 3, 5.
5 ori 3, 15 și s-a încheiat.
Iată că am obținut 0,5.
Dacă avem acum împărțire,
avem acest tip de ecuație.
x împărțit la 4,2 ne dă 1,6.
Ce număr împărțit la 4,2 ne dă ce avem aici?
Cum aflăm numărul respectiv?
Trebuie să îl înmulțim pe 1,6 cu 4,2
sau e unul și același lucru cu a înmulți toată această egalitate cu 4,2.
Nu e neapărat să scriem ce avem și aici,
însă dacă x împărțit la 4,2 îl înmulțim cu același număr,
înseamnă că aici ne va da x.
Deci vom obține că x este egal cu 1,6 ori 4,2.
Și facem acum acest produs.
1,6 ori 4,2, 2 ori 6, 12, 2, 1 în minte, 2 ori 1, 2 cu 1 din minte, 3.
4, 6, 24, deci 4, 2 în minte, 4, 1, 4 cu 2 din minte, 6.
Deci obținem 672.
Avem două decimale în total, deci rezultatul este 6,72.
Două ecuații care ar putea să ne pună ceva probleme sunt acestea.
Avem aici un tip de ecuație în care avem un număr împărțit la necunoscută
și al doilea tip când avem un număr minus necunoscută.
Cum rezolvăm aceste două tipuri de ecuații care observăm că sunt destul de asemănătoare?
Diferența este că aici avem împărțire, iar aici avem scădere.
Păi dacă am fi avut de exemplu invers, adică necunoscuta împărțit la un număr,
să spunem că x împărțit la 12 ne dă 3.
Aici știm deja să facem ce am făcut în exemplu anterior, x este egal cu 3 ori 12, adică 36.
Dacă avem însă situația inversă, adică un număr, deci 12 împărțit la necunoscută,
egal cu 3.
Păi haideți să ne gândim așa, 12 împărțit la ce număr ne dă 3?
Ne vine imediat în minte răspunsul 4, x este egal cu 4.
Cum îl obținem pe acest 4?
Păi 4 se obține din împărțirea 12 împărțit la 3.
Deci de fapt, ca să îl obținem pe x, trebuie să împărțim acest număr la ce avem aici.
În această situație, în cazul nostru, x este egal cu 6,8 împărțit la 2.
6,8 împărțit la ce număr ne dă 2?
Răspunsul este dat de această împărțire și vom obține 3,4.
Și putem să facem și verificarea, iată, dacă în locul x îl trecem pe 3,4,
atunci 6,8 împărțit la 3,4 ne dă oare 2?
Da, făcând această împărțire obținem 2.
Deci soluția este, chiar putem să notăm, la ce alte ecuații n-am notat, este dată de numărul 3,4.
În această situație avem un număr minus necunoscuta.
Păi haideți să dăm un exemplu cu numere naturale.
Dacă avem numărul 10 minus x ne dă 8.
Păi 10 minus ce număr ne dă 8?
Știm deja x este 2.
Cum l-am obținut pe acest 2?
Păi 2 se obține din 10 minus 8.
Da, la fel o să fie și aici.
Ca să-l obținem pe x, noi avem 7,91 minus ce număr ne dă 2,4?
Păi de fapt x este egal cu 7,91 minus 2,4.
Și vom obține 5,51.
Și aici putem să facem verificarea.
Adică 7,91 minus 5,51 cât l-am obținut pe x.
Și într-adevăr, făcând această diferență vom obține 2,4.
Deci atunci când avem aceste situații, un număr împărțit la necunoscută sau un număr minus necunoscută,
vom face aceste operații.
Explicațiile mai detaliate le-am dat în secvența video de la ecuații cu numere naturale.
Deci puteți să urmăriți acolo dacă vreți explicații mai în detaliu.
0,4 înmulțit cu x adunat cu 5,2 egal cu 5,72.
Aici avem operația de înmulțire între un număr și necunoscuta și apoi avem și operație de adunare.
Mai întâi îl vom separa pe x de 0,4 sau de 5,2.
Cum avem aici înmulțire între un număr și necunoscuta,
atunci înmulțirea având prioritate în fața adunării,
trebuie mai întâi să vedem cât este acest produs.
Iar apoi îl vom determina pe x.
Păi ce număr adunat cu 5,2 ne dă 5,72?
De fapt, din această egalitate trebuie să scădem pe 5,2.
Sau dacă vrem varianta rapidă putem să spunem că îl trecem pe 5,2 peste egal cu semn schimbat.
Și vom avea, aici ne rămâne acest produs,
deci avem 0,4 înmulțit cu x este egal cu ce aveam aici, 5,72 minus 5,2.
Și acum mai adăugăm aici un 0 să avem același număr de decimale,
deci 0,4 ori x ne dă 2, minus 0, 2, 7, minus 2 ne dă 5, trecem virgula, 5, minus 5, 0.
Deci x ne va da 0,52 împărțit la 0,4 pentru că aici avem înmulțire și vom obține 0,52 împărțit la 0,4,
împărțim împărțitorul cu 10, vom obține aici 4, de împărțituri va fi 5,2 și vom obține 1,3.
Deci x este egal cu 1,3.
Sigur, putem să facem și verificarea locului x în această relație,
vom trece 1,3 și vom vedea că într-adevăr obținem o relație adevărată.
Notăm soluția este formată din elementul numărul decimal 1,3.