Transcript: Ecuații binome

Ecoațiile binome sunt ecoații de forma z la n minus a egal cu 0, unde z este număr complex, n este număr natural mai mare sau egal cu 2, iar a este număr complex.
Această ecoație se mai poate scrie z la n egal cu a.
În consecință, rezolvarea ecoațiilor se reduce la determinarea rădăcinilor de ordinul n ale numărului complex a.
Iată câteva exemple.
Avem ecoația z la 6a minus 1 egal cu 0.
Această ecoație se va scrie z la 6a egal cu 1, iar soluțiile acesteia vor fi rădăcinile de ordinul 6 ale unității.
Am discutat despre aceste rădăcini în lecția trecută.
Un alt exemplu.
Avem ecoația z la 3a plus 27 egal cu 0.
Această ecoație se mai poate scrie z la 3a egal cu minus 27.
Și acum va trebui să găsim rădăcinile de ordinul 3 ale numărului complex minus 27.
Mai întâi vom scrie acest număr sub formă trigonometrică.
Vom avea 27 pe lângă minus 1 plus 0 ori i.
Egal cu 27 pe lângă cosinus de pi plus i sinus de pi.
Am scris sub această formă pentru că modulul numărului complex, adică acest număr care apare în fața parantezei, trebuie să fie întotdeauna un număr pozitiv.
Cosinus de pi este minus 1, iar sinus de pi este 0.
Așadar, aceasta va fi forma trigonometrică a numărului complex minus 27.
Prin urmare, modulul este 27, iar argumentul redus va fi pi.
Rădăcinile de ordinul 3 ale acestui număr complex vor fi zk egal cu radical de ordinul 3 din 27 pe lângă cosinus de pi plus 2kpi supra 3 plus i sinus de pi plus 2kpi supra 3.
Unde numărul k ia valori de la 0 până la 2.
Să calculăm prima rădăcină, z0 va fi egal radical de ordinul 3 din 27 este 3 pe lângă.
Înlocuim numărul k cu 0 și obținem cosinus de pi supra 3 plus i sinus de pi supra 3.
Egal cu 3 pe lângă 1 supra 2 plus i radical din 3 supra 2.
Egal mai departe cu 3 supra 2 plus 3 radical din 3 supra 2 i.
Următoarea rădăcină se obține pentru k egal cu 1 și avem 3 pe lângă cosinus.
2pi plus pi este 3pi supra 3 simplificăm cu 3 și ne rămâne pi plus i sinus de pi.
Cos de pi este minus 1 sinus de pi este 0 egal cu minus 3.
Z2 va fi egal cu 3 pe lângă 4pi plus pi este 5pi supra 3 plus i sinus.
De 5pi supra 3.
Egal, vom calcula mai jos cosinus de 5pi supra 3.
5pi supra 3 se poate scrie 6pi supra 3 minus pi supra 3.
Egal cu cosinus de 2pi minus pi supra 3.
Perioada principală a funcției cosinus este 2pi.
Asta înseamnă că atunci când la un argument adunăm sau scădem 2pi,
valoarea funcției cosinus rămâne neschimbată.
În consecință vom avea egal cu cosinus de minus pi supra 3.
Funcția cosinus este pară.
Egal mai departe cu cosinus de pi supra 3 și egal cu 1 pe 2.
Procedăm asemănător și cu sinus de 5pi supra 3.
Parcurgem aceiași pași până aici.
Obținem sinus de minus pi supra 3.
Sinus este în pară, prin urmare semnul minus va trece în față.
Avem minus sinus de pi supra 3.
Și egal cu minus radical din 3 supra 2.
Revenim la calcule și avem 3 pe lângă 1 pe 2 minus radical din 3 supra 2 i.
Egal cu 3 pe 2 minus 3 radical din 3 supra 2 i.
Acestea vor fi cele 3 rădăcini al ecuației date.
Să vedem o altă ecuație.
Avem ecuația z la treia minus radical din 3 i minus 1 egal cu 0.
Această ecuație se va scrie z la treia egal cu 1 plus radical din 3 i.
Va trebui așadar să găsim rădăcinile de ordinul 3 ale acestui număr complex.
Voi nota cu u numărul complex 1 plus radical din 3 i.
Și mai întâi vom exprima acest număr sub formă trigonometrică.
Calculăm modulul numărului complex u.
Avem radical din 1 la a doua plus radical din 3 la a doua.
Obținem radical din 4 egal 2.
Iar pentru a găsi argumentul redus,
recomand să reprezentăm mai întâi în plan punctul de coordonate 1 radical din 3.
Iată, observăm că imaginea geometrică a numărului complex u este un punct situat în cadranul 1.
Tangenta de t
este egal cu radical din 3.
Așadar unghiul t va fi egal cu pi supra 3 radiani.
Și atunci numărul complex u va avea forma trigonometrică 2 pe lângă
cosinus de pi supra 3 plus isinus de pi supra 3.
Acum trebuie să găsim rădăcinile de ordinul 3 ale acestui număr complex.
Și vom avea u k egal cu radical de ordinul 3 din 2 pe lângă
cosinus de pi supra 3 plus 2k pi supra 3
plus isinus de pi supra 3 plus 2k pi supra 3
pentru k luând valori de la 0 până la 2.
Prima rădăcină u0 va fi radical de ordinul 3 din 2
pe lângă cosinus de pi supra 3 totul supra 3
este pi supra 9 plus isinus de pi supra 9.
Următoarea rădăcină u1 va fi radical de ordinul 3 din 2 pe lângă
dacă numărul k ea valoarea 1 avem 2 pi plus pi supra 3
amplificăm cu 3 ne dă 6 pi plus pi 7 pi pe 3
totul supra 3 obținem 7 pi pe 9.
plus isinus de 7 pi supra 9.
Și ultima rădăcină u2 egal radical indice 3 din 2 pe lângă
pentru k luând valoarea 2 avem 4 pi plus pi supra 3
ne dă 13 pi supra 3 și totul supra 3
bine 13 pi supra 9 plus isinus de 13 pi supra 9.
Acestea au fost cele 3 rădăcini ale numărului complex U și soluțiile ecuației date.
Și un ultim exemplu
avem ecuația iz la a4 minus 1 plus i radical din 3
egal cu z la a4.
Pentru început vom trece numărul z la a4 în primul membru și avem
iz la a4 minus z la a4 egal cu 1 minus i radical din 3
dăm factor comun și obținem z la a4 pe lângă i minus 1
egal cu 1 minus i radical din 3
z la a4 va fi egal cu 1 minus i radical din 3
supra i minus 1 pe care îl voi scrie minus 1 plus i.
Va trebui așadar să găsim rădăcinile de ordinul 4
ale acestui număr complex.
Pentru a scrie acest număr complex sup formă trigonometrică
voi nota cu u1 numărul complex 1 minus i radical din 3
cu u2 numărul complex minus 1 plus i
vom scrie fiecare număr sup formă trigonometrică
și apoi vom calcula raportul dintre cele două numere.
Modulul numărului complex u1 este radical din 4 egal cu 2.
Pentru a găsi argumentul redus al acestui număr complex
vom reprezenta în plan punctul de coordonate 1 și minus radical din 3.
Cred că este foarte util să reprezentăm în plan numerele complexe
pentru a vedea exact în ce cadran este situată imaginea geometrică
și astfel nu vom greși atunci când calculăm argumentul redus al numărului complex.
Așadar să reprezentăm în plan punctul de coordonate 1 și minus radical din 3.
Observăm că imaginea geometrică a numărului u1 este situată în cadranul 4.
Acest unghi pe care o să-l notesc cu alfa va fi arctangentă de radical din 3.
Să scriem alfa este arctangentă de radical din 3 și egal cu pi supra 3.
Și atunci argumentul, acest unghi t1 va fi egal cu 2pi minus pi supra 3.
Egal cu 5pi supra 3.
Forma trigonometrică a numărului complex u1 este 2 pe lângă cosinus de 5pi supra 3 plus isinus de 5pi supra 3.
Mai departe scriem numărul u2 su formă trigonometrică.
Modulul numărului complex u2 va fi radical din 2.
Și aici reprezentăm în plan punctul de coordonate minus 1, 1.
Iată-l!
Imaginea geometrică a numărului u2 este un punct situat în cadranul al doilea.
t2 este argumentul redus.
Acest unghi pe care îl putem nota cu beta are măsura egală cu 45 de grade
pentru că aici s-a format un triungh dreptunghichisoscel.
Beta este pi supra 4.
Și atunci unghiul t2 va fi egal cu pi minus pi supra 4.
Egal cu 3pi supra 4.
Acum putem să scriem forma trigonometrică a numărului complex u2.
Vom avea radical din 2 pe lângă cosinus de 3pi supra 4 plus isinus de 3pi supra 4.
Z la 4-a este raportul dintre numerele u1 și u2.
Egal. Aici avem forma trigonometrică a numărului u1, iar aici este u2.
Vom avea 2 pe lângă cosinus de 5pi supra 3 plus isinus de 5pi supra 3.
Totul supra radical din 2 pe lângă cosinus de 3pi supra 4 plus isinus de 3pi supra 4.
2 supra radical din 2 este radical din 2 pe lângă cosinus.
Argumentele se scad atunci când împărțim două numere complexe.
Trebuie să efectăm scăderea 5pi supra 3 minus 3pi supra 4.
Ne dă 20pi minus 9pi, totul supra 12, egal cu 11pi supra 12.
Avem așadar cosinus de 11pi supra 12 plus isinus de 11pi supra 12.
Noi trebuie acum să scriem rădăcinile de ordinul 4 ale acestui număr complex.
Notăm numărul acesta complex cu u.
Rădăcinile uk vor fi radical de ordinul 4 din radical din 2 pe lângă cosinus de 11pi supra 12 plus 2kpi totul supra 4 plus isinus de 11pi supra 12 plus 2kpi totul supra 4.
Pentru k luăm valori de la 0 la 3.
Putem să notăm și cu zk aceste rădăcini, nu are importanță.
Voi calcula prima rădăcină, u0, iar celelalte vă rămân temă.
u0 va fi egal cu radical indice 8 din 2 pe lângă cosinus de 11pi supra 12 ori 4 este 48 plus isinus de 11pi supra 48.
Celelalte rădăcini u1, u2 și u3 se obțin pentru k luând valorile 1, 2 respectiv 3.