Transcript: Ecuația dreptei determinată de două puncte distincte

Fie punctul A de coordonate x1, y1 și punctul B de coordonate x2, y2.
Ecoația dreptei AB este dată de relația x-x1 supra x2-x1 egal cu y-y1 supra y2-y1.
Efectuăm acum calculele pentru a aduce această ecoație sub o formă mai simplă.
Obținem ecoația x-x1 îmulțit cu y2-y1 este egal cu y-y1 îmulțit cu x2-x1,
adică x îmulțit cu y2-y1 minus x1-y2 plus x1-y1 egal cu y îmulțit cu x2-x1 minus y1-x2 plus y1-x1.
Vom trece acum toți termenii într-un singur membru și obținem următoarea formă a ecoației.
x îmulțit cu y2-y1 minus x1-y2 plus x1-y1 minus y îmulțit cu x2-x1 plus y1-x2 minus y1-x1 egal cu 0.
Observăm că acești doi termeni se reduc fiind termeni opuși și ecoația dreptei AB capătă următoarea formă.
x îmulțit cu y2-y1 minus y îmulțit cu x2-x1 minus x1-y2 minus x2 îmulțit cu y1 egal cu 0.
Coeficientul x ca și coeficientul y, respectiv termenul liber, pot fi scriși acum sub forma unui determinant și anume x îmulțit cu determinantul y1-y2-1-1 observăm că acest determinant de fapt este y1-y2 și atunci mai punem un minus în fața lui x.
y îmulțit cu x1-x2-x1-x1 din nou acest determinant este egal cu x1-x2 așadar vom schimba semnul lui y în plus și în sfârșit determinantul x1-x2-y1-y2 acest determinant este chiar egal cu conținutul parantezei
x1-y2-x2-y1 ceea ce înseamnă că păstrăm semnul minus egal cu 0.
Dacă înmulțim acum această egalitate cu minus 1 obținem expresia ecuației x îmulțit cu y1-y2-y1 minus y îmulțit cu x1-x2-y1-x1-y1-x2-y2 egal cu 0.
Această expresie poate fi privită ca dezvoltarea unui determinant de ordinul 3 care are pe prima linie elementele x, y și 1 iar acești determinanți de ordinul 2 sunt complementii algebrici a acestor 3 elemente.
Așadar obținem ecuația x-y1-x1-y1-x2-y2-y1 egal cu 0.
În concluzie, ecuația drepte determinată de punctele A de coordonate x1-y1, B de coordonate x2-y2 se scrie sub forma x-y1-x1-y1-x2-y2-y1 egal cu 0.
Să considerăm acum un punct C de coordonate x3-y3, care aparține dreptei AB. Așadar, coordonatele acestui punct verifică ecuația dreptei AB.
Cu alte cuvinte, determinantul x3-y3-1, x1-y1-1, x2-y2-1 este egal cu 0.
Ne amintim că schimbarea între ele a două linii sau a două coloane determină și schimbarea semnului determinantului inițial.
Schimbând așadar linia 1 cu linia 2, iar apoi linia 2 cu linia 3, obținem determinantul x1-y1-1, x2-y2-1, x3-y3-1 egal cu 0, care reprezintă, de fapt, condiția ca trei puncte să fie coliniare.
Așadar, punctele A de coordonate x1-y1, B de coordonate x2-y2, C de coordonate x3-y3 sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul
x1-y1-1, x2-y2-1, x3-y3-1 este egal cu 0.
Fie acum punctul A de coordonate 1 și A, punctul B de coordonate 3 și 2, punctul C de coordonate 3 și 4.
Să scriem ecuația dreptei BC, iar apoi să determinăm valorile parametrului real A astfel încât punctele A, B și C să fie puncte coliniare.
Scriem ecuația dreptei BC, x, y, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 1, egal cu 0, determinant care poate fi calculat cu oricare din metodele învățate, dar de data aceasta vom folosi proprietățile determinanților și dezvoltarea acestuia după o linie.
Observăm că dacă păstrăm primele două linii, iar linia a doua o mulțim cu minus 1 și o adunăm la linia a treia, obținem determinantul
x, y, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 0, egal cu 0.
Dezvoltăm acum acest determinant după linia a treia și obținem 2 înmulțit cu minus 1 la puterea 3 plus 2 înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 2, adică x, 1, 3, 1, egal cu 0,
ceea ce ne conduce la ecuația x, minus 3, egal cu 0, adică x, egal cu 3.
Pentru determinarea parametrului A, vom impune condiția ca punctele ABC să fie coliniare, așadar determinantul 1, A, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 1,
trebuie să fie egal cu 0.
De data aceasta vom calcula acest determinant folosind regula triunghiului.
Avem așadar 1 x 2 x 1 plus 1 x 3 x 4 plus A x 1 x 3 minus 1 x 2 x 3 minus 1 x 3 x A și minus 1 x 4 x 1.
Egal cu 0. Așadar 2 plus 12 plus 3A minus 6 minus 3A minus 4 trebuie să fie egal cu 0.
3A și minus 3A sunt termeni opuși, în consecință îi reducem, iar egalitatea devine 14 minus 4, egal cu 0, adică 10, egal cu 0.
Această propoziție este o propoziție falsă, ceea ce ne spune că nu există nicio valoare reală pentru parametrul A, astfel încât punctele ABC să fie coliniare.