Transcript: Echivalența propozițiilor și a predicatelor. Egalitatea mulțimilor

Toate teoremele din matematică sunt de fapt implicații, implicații de propoziții sau implicații de predicate.
De exemplu, avem următoarea teoremă. Dacă un punct aparține mediatoarei unui segment, atunci el este egal depărtat de extremitățile segmentului.
Putem nota această propoziție cu P. Un punct aparține mediatoarei unui segment și această propoziție cu Q.
El este egal depărtat de extremitățile segmentului. În acest caz, avem implicația P implică Q.
Dar este adevărată și această teoremă. Dacă un punct este egal depărtat de extremitățile unui segment, atunci el aparține mediatoare segmentului.
În acest caz, avem implicația Q implică P.
Prima teoremă se mai numește teoremă directă, iar a doua teoremă se numește teorema reciprocă. Avem o implicație în ambele sensuri.
O astfel de implicație se numește echivalență, iar în acest caz, cele două teoreme pot fi scrise sub forma unei singure teoreme,
cu ajutorul expresiei dacă și numai dacă, astfel, un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de extremitățile segmentului.
În lecția aceasta o să discutăm despre echivalența propozițiilor și a predicatelor și o să vedem ce legături există între echivalență și egalitatea mulțimilor.
Fiind date două propoziții P și Q, echivalența acestora se notează astfel și aceasta este o propoziție adevărată dacă și numai dacă cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr.
Prin urmare, echivalența propozițiilor este adevărată atunci când ambele propoziții sunt false sau când ambele propoziții sunt adevărate.
În celelalte cazuri, echivalența este falsă.
Citim astfel, P echivalent cu Q sau P dacă și numai dacă Q.
Să vedem câteva exemple.
Avem o primă propoziție P.
15 împărțit la 5 este egal cu 3. Aceasta este o propoziție adevărată.
20 este divizibil cu 5. Este o propoziție adevărată.
Atunci echivalența celor două propoziții se citește astfel.
15 împărțit la 5 este egal cu 3 dacă și numai dacă 20 este divizibil cu 5.
Din moment ce ambele propoziții sunt adevărate, înseamnă că echivalența acestora este o propoziție adevărată.
4 este mai mic decât 2. Avem o propoziție falsă.
8 este multiplu de 3. Avem o propoziție falsă.
Atunci propoziția P echivalent cu Q este o propoziție adevărată pentru că cele două propoziții au aceiași valoare de adevăr.
5 este număr natural. Este o propoziție adevărată.
4 plus 3 egal cu 10 este o propoziție falsă. Prin urmare echivalența acestor propoziții va fi falsă.
Să vedem în continuare ce înțelegem prin echivalența a două predicate.
Fiind date două predicate P de X și Q de X, spunem că predicatul P este echivalent cu predicatul Q,
dacă propoziția oricare ar fi X, P de X echivalent cu Q de X, este o propoziție adevărată.
Să facem un exemplu.
Avem predicatul P de X, X minus 2 este egal cu 0, unde X este număr natural,
și predicatul Q de X, 4X minus 4 este egal cu 4, unde X este număr natural.
Să verificăm dacă are loc echivalența acestor două predicate.
Trebuie să verificăm dacă această propoziție este adevărată, oricare ar fi X număr natural.
În cazul în care X este egal cu 2, atunci propoziția P de 2, adică 2 minus 2 egal 0, este o propoziție adevărată.
Însă observăm că și propoziția Q de 2 este o propoziție adevărată, pentru că avem 4 ori 2, 8 minus 4 egal cu 4.
Prin urmare, în cazul în care X este egal cu 2, propozițiile P și Q au aceeași valoare de adevăr.
Să vedem acum ce valoare de adevăr au aceste propoziții în cazul în care X este diferit de 2.
Adică X aparține mulțimii numerelor naturale minus elementul 2.
Dacă X este diferit de 2, atunci această propoziție P de X va fi întotdeauna o propoziție falsă,
pentru că orice valoare ar lua X diferită de 2 se obține o propoziție falsă.
La fel obținem și în cazul propoziției Q de X dacă X este diferit de 2 și propoziția Q de X este o propoziție falsă.
Așadar, observăm că dacă X este diferit de 2, cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr.
Prin urmare, această relație de echivalență este adevărată oricare ar fi X număr natural.
Cu alte cuvinte, spunem că cele două predicate sunt predicate echivalente.
Observăm că mulțimea de adevăr a predicatului P de X este formată din elementul 2 și mulțimea de adevăr a predicatului Q de X este formată din numărul 2.
Am văzut așadar că cele două propoziții sunt adevărate numai în situația în care X este egal cu 2.
Ce observăm între cele două mulțimi?
Dacă notăm această mulțime cu A și această mulțime cu B, observăm că are loc o egalitate între cele două mulțimi.
Și vom scrie astfel, mulțimea A este egală cu mulțimea B.
Dar să nu uităm că relația de echivalență este de fapt o dublă implicație.
Predicatul P implică logic predicatul Q dacă A este inclusă în B și predicatul Q implică logic predicatul P dacă B este inclusă în A.
Putem spune astfel că două mulțimi A și B sunt egale dacă A este inclusă în B și B este inclusă în A.
Să reținem așadar că două predicate sunt echivalente dacă mulțimile lor de adevăr sunt egale.
În continuare o să facem două aplicații.
Se dau următoarele două propoziții.
Propoziția P, oricare ar fi X din intervalul 0 plus infinit, 3X minus 18 este mai mic decât 0.
Și propoziția Q, există X și Y numere reale astfel încât modul din X minus 5 plus Y minus 3 totul la pătrat să fie egal cu 0.
Stabiliz valoarea de adevăr a propozițiilor P, Q, P echivalent cu Q, non-P echivalent cu Q.
Mai întâi o să stabilim valoarea de adevăr a propoziției P.
Trebuie să vedem dacă această inegalitate are loc pentru orice număr X din intervalul 0 plus infinit.
În cazul în care X este egal cu 8, atunci 3 ori 8 minus 18 este egal cu 24 minus 18, adică 6.
Dar 6 nu este mai mic decât 0.
Prin urmare, această inegalitate nu este verificată pentru orice număr X din acest interval.
Așadar, propoziția P este o propoziție falsă.
Trecem la propoziția Q.
Trebuie să verificăm dacă există numerele X și Y reale astfel încât această egalitate să fie adevărată.
Știm că întotdeauna modulul unui număr real este mai mare sau egal decât 0.
Și la fel se întâmplă și cu pătratul unui număr real.
Pentru ca această sumă să fie egală cu 0, trebuie ca fiecare dintre aceste expresii să fie egală cu 0.
Trebuie ca modul de X minus 5 să fie egal cu 0.
Asta înseamnă că X minus 5 este egal cu 0, adică X este egal cu 5.
Și apoi trebuie ca Y minus 3 la pătrat să fie egal cu 0.
Mai exact, Y minus 3 egal cu 0.
Y egal cu 3.
Iată că am găsit cel puțin un număr real X și un număr real Y
pentru care această propoziție să fie adevărată.
Prin urmare, propoziția existențială este o propoziție adevărată.
Am stabilit astfel că valoarea de adevăr a propoziției P este 0,
valoarea de adevăr a propoziției Q este 1
și acum să stabilim valoarea de adevăr a propoziției P echivalent cu Q.
Observăm că cele două propoziții nu au aceeași valoare de adevăr
și atunci valoarea de adevăr a echivalenței acestora va fi 0.
Să vedem acum valoarea de adevăr a propoziției non-P.
Dacă P este falsă, non-P este adevărată.
Și acum putem să scriem valoarea de adevăr a propoziției non-P echivalent cu Q.
Non-P este adevărată, Q este adevărată.
Prin urmare, cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr
și atunci valoarea de adevăr a acestei propoziții este 1.
Un ultim exercițiu.
Fie predicatul P de X.
1 este mai mic decât 2X plus 3, mai mic sau egal decât 7, unde X este număr întreg.
Și predicatul Q de X, X pe lângă X minus 1 pe lângă X minus 2 este egal cu 0, X număr întreg.
Arătați că predicatul P de X este echivalent cu predicatul Q de X.
Pentru a arăta că cele două predicate sunt echivalente,
o să arătăm că mulțimile lor de adevăr sunt egale.
Pentru a determina mulțimea de adevăr a predicatului P,
trebuie să rezolvăm această inequație pe care o să mai scriu încă o dată.
1 mai mic decât 2X plus 3, mai mic sau egal decât 7.
Mai întâi o să-l scădem pe 3 și obținem 1 minus 3, adică minus 2,
mai mic decât 2X, mai mic sau egal decât 7 minus 3, adică 4.
Împărțim această inegalitate la 2.
Minus 2 împărțit la 2 este minus 1,
2X împărțit la 2 este X,
4 împărțit la 2 este 2.
Din moment ce X este număr întreg,
înseamnă că X poate lua valorile 0, 1 și 2.
Și atunci, mulțimea de adevăr a predicatului P de X
este această mulțime formată din numerele 0, 1 și 2.
Pentru a afla mulțimea de adevăr a predicatului Q,
trebuie să vedem care sunt acele numere întregi pentru care
X pe lângă X minus 1 pe lângă X minus 2 este egal cu 0.
Un produs este egal cu 0 dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu 0.
Și atunci avem 3 posibilități.
Fie X este egal cu 0,
fie X minus 1 este egal cu 0
și obținem că X este egal cu 1,
fie X minus 2 este egal cu 0
și atunci X este egal cu 2.
Deci acest produs este egal cu 0 dacă X este 0, 1 sau 2.
Și atunci mulțimea de adevăr a predicatului Q de X
este mulțimea formată din elementele 0, 1 și 2.
Observăm astfel că cele două mulțimi sunt egale.
Dacă notăm prima mulțime de adevăr cu A și a doua mulțime cu B,
observăm așadar că A este egal cu B.
Putem să spunem că predicatul B este echivalent cu predicatul Q.