Transcript: Dreptunghiul

În această lecție voi vorbi despre dreptunghi și proprietățile acestuia și o să încep cu definiția.
Paralelogramul cu un ungrep se numește dreptunghi.
Având în vedere că dreptunghiul este un paralelogram particular,
înseamnă că acesta va avea toate proprietățile paralelogramului.
Și anume, laturile opuse într-un dreptunghi sunt paralele două câte două,
laturile opuse vor fi și congruente două câte două,
unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate sunt suplementare.
Dacă măsura unghiului A este de 90 de grade, iar unghiul A este congruent cu unghiul C, fiind unghiuri opuse,
înseamnă că și unghiul C va fi un unghi drept.
Dacă unghiurile A și D sunt suplementare, înseamnă că măsura unghiului D va fi egală cu 180 de grade minus 90 de grade,
egal cu 90 de grade.
Iar unghiul B, fiind congruent cu unghiul D, va avea și acesta, măsura de 90 de grade.
Constatăm așadar că toate unghiurile unui dreptunghi sunt unghiuri drepte.
Aceasta este o consecință a definiției și a proprietăților paralelogramului.
Dacă construim diagonalele, observăm că acestea se înjumătățesc,
adică punctul de intersecție al diagonalelor va fi situat la mijlocul fiecărei diagonale.
În plus față de aceste proprietăți, dreptunghiul are o proprietate specifică și anume,
diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.
Vom demonstra această teoremă.
Avem un dreptunghi ABCD și ne propunem să arătăm că diagonalele AC și BD sunt congruente.
Vom folosi metoda triunghiurilor congruente.
O să arătăm că triunghiurile DAB și CBA sunt congruente.
Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice, deoarece unghiul A și unghiul B sunt unghiuri drepte.
În triunghiul DAB, măsura unghiului A este de 90 de grade,
iar în triunghiul CBA, măsura unghiului B este egală cu 90 de grade.
Să vedem ce elemente congruente au aceste triunghiuri.
Dacă ABCD este dreptunghi,
înseamnă că laturile opuse sunt congruente, deci AD și BC vor fi congruente.
Aceste două triunghiuri mai au o latură comună, este vorba de cateta AB.
AB este congruent cu AB.
fiind o latură comună.
Va rezulta din cele două relații, conform cazului de congruență cateta-cateta,
că triunghiul DAB este congruent cu triunghiul CBA.
Iar din această relație de congruență, va rezulta că segmentele AC și BD sunt congruente.
Este valabilă și reciproca acestei teoreme.
Un paralelogram care are diagonalele congruente este dreptunghi.
Nu o să mai fac demonstrații acestei teoreme,
însă rețineți că atunci când trebuie să arătăm că un paralelogram este dreptunghi,
fie arătăm că are un unghi drept, fie arătăm că are diagonalele congruente.
Să vedem în continuare cum putem să calculăm perimetrul dreptunghiului.
Latura mai lungă a dreptunghiului se va numi lungime și se notează cu L mare.
Latura mai scurtă se va numi lățime și se notează cu L mic.
Deci observăm că dreptunghiul are două lungimi și două lățimi.
Perimetrul oricărui patru lateri în general este suma lungimilor laturilor.
Deci perimetrului ABCD va fi egal cu AB plus BC plus CD plus DA.
Dacă înlocuim aceste laturi cu literele L mare, respectiv L mic,
vom scrie egal în continuare cu L mare plus L mic plus L mare plus L mic.
Știm că adunarea este comutativă, deci putem să schimbăm locul termenilor din mijloc
și voi scrie egal cu L mare plus L mare plus L mic plus L mic.
Egal în continuare cu 2 ori L mare plus 2 ori L mic.
Am obținut o formulă de calcul pentru perimetrul dreptunghiului,
așadar perimetrul unui dreptunghi în general este egal cu 2 ori lungimea plus 2 ori lățimea.
Rețineți această formulă deoarece se va aplica în rezolvarea de probleme.
În continuare o să facem două aplicații.
Prima problemă.
Aflați perimetrul unui dreptunghi cu lățimea de 20 de metri și lungimea egală cu 5 supra 4 din lățime.
Putem să notăm lățimea cu 20 metri,
deci L mic va fi egală cu 20 de metri
și lungimea L mare este 5 supra 4 din lățime,
adică 5 supra 4 ori L mic.
Egal în continuare cu 5 supra 4 ori 20.
Putem să simplificăm pe diagonală cu 4.
4 împărțit la 4 este 1, iar 20 împărțit la 4 este 5.
5 ori 5 egal cu 25 de metri.
Am obținut lungimea. Aceasta este egală cu 25 de metri.
Și acum putem să calculăm perimetrul dreptunghiului ABCD.
Formula de calcul este 2 ori lungimea plus 2 ori lățimea
egal în continuare cu 2 ori 25 de metri plus 2 ori 20 de metri
egal cu 50 plus 40 egal cu 90 de metri.
Și următoarea problemă.
În dreptunghiul ABCD, intersecția diagonalelor AC și BD este punctul O.
Măsura unghiului COB este egală cu 60 de grade.
Aflați măsurile unghiurilor triunghiului AOB.
Am scris ipoteza și concluzia.
Trebuie să aflăm mai exact măsura unghiului AOB, măsura unghiului OAB și măsura unghiului OBA.
Știm că diagonalele unui dreptunghi sunt congruente și se înjumătățesc.
Va rezulta atunci că toate aceste segmente OA, OC, OD și OB sunt congruente.
Dacă OC este egală cu OB, înseamnă că triunghiul COB este un triunghi isoscel.
Însă acest triunghi are și un unghi cu măsura de 60 de grade, deci el va fi un triunghi echilateral.
Știm că într-un triunghi echilateral toate unghiurile au măsura de 60 de grade,
deci măsura unghiului OBC va fi egală cu 60 de grade.
Și acum putem să aflăm măsura unghiului OBA
dacă scădem din 90 de grade cele 60 de grade și obținem 30 de grade.
Vă reamintesc că unghiul B, adică unghiul ABC, este un unghi drept.
Așadar, având în vedere că AO este egală cu OC și este egală cu AC supra 2,
adică jumătate din lungimea diagonalei AC,
iar DO este egal cu OB și egal cu DB supra 2,
iar diagonalele AC și DB sunt egale,
va rezulta din cele 3 relații că AO este egal cu OC,
egal cu DO și egal cu OB.
Va rezulta atunci că triunghiul COB este un triunghi isoscel.
Dar măsura unghiului COB este 60 de grade.
Înseamnă că triunghiul COB este echilateral.
Înseamnă că măsura unghiului OBC va fi egală cu 60 de grade.
Voi nota această relație cu 1 pentru că o să mai folosim ulterior.
Și acum putem să aflăm măsura unghiului OBA.
După cum am spus, scădem din măsura unghiului B măsura unghiului OBC.
Măsura unghiului OBA este egală cu măsura unghiului ABC minus măsura unghiului OBC,
egal cu 90 de grade minus 60 de grade, egal cu 30 de grade.
Însă dacă OA este egală cu OB, înseamnă că și triunghiul OAB este un triunghi isoscel, având baza AB.
Știm că într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Deci măsura unghiului OAB va fi de 30 de grade.
Și acum mai trebuie să aflăm doar măsura unghiului AOB.
Fie o calculăm din triunghiul OAB, știm că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 de grade,
sau o altă variantă ar fi să observăm că unghiul AOB este adviacent și suplementar cu unghiul COB
și atunci putem să scădem din 180 de grade cele 60 de grade
și o să obținem că măsura unghiului AOB va fi egală cu 120 de grade.
Deci acest unghi are măsura de 120 de grade.
Să scriem și cele discutate până acum din relația 1.
Rezultă că triunghiul OAB este isoscel.
Rezultă că unghiul OAB este congruent cu unghiul OBA, fiind unghiuri alăturate bazei.
Înseamnă că măsura unghiului OAB este egală cu măsura unghiului OBA
și egală cu 30 de grade.
Și acum mai trebuie să aflăm măsura unghiului AOB.
Va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului COB.
Pentru că unghiul AOB și COB sunt unghiuri suplementare.
Egal cu 180 de grade minus 60 de grade.
Egal cu 120 de grade.
Așadar am aflat cele trei unghiuri.
Două dintre acestea au măsura de 30 de grade, iar măsura unghiului AOB este egală cu 120 de grade.