Transcript: Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă

Drepte perpendiculare, distanța de la un punct la o dreaptă.
Unele obiecte din jurul nostru au unghii care formează, în punctul de intersecție, unghiuri cu măsura de 90 de grade,
de exemplu acest monitor sau rafturile acestui suport pentru cărți.
Vom spune că două drepte care formează un unghi de 90 de grade se numesc drepte perpendiculare sau ortogonale.
O să dăm și definiția.
Două drepte concurente care formează un unghi drept se numesc drepte perpendiculare.
Acesta este simbolul pentru perpendicularitate.
A este perpendiculară pe B dacă și numai dacă măsura unghiului dintre A și B este de 90 de grade.
Dacă două drepte formează, în punctul de intersecție, un unghi drept, atunci cu siguranță toate cele patru unghiuri vor fi unghiuri drepte.
Cum putem explica acest lucru?
Presupunem că avem un unghi pe care îl notez cu O1 cu măsura de 90 de grade
și vrem să arătăm că unghiurile O2, O3 și O4 au de asemenea măsura de 90 de grade.
Observăm că unghiul O2 este adiacent și suplementar cu unghiul O1
și atunci măsura unghiului O2 va fi 180 de grade minus 90 de grade, adică 90 de grade.
Mai departe, unghiul O3 observăm că este opus la vârf cu unghiul O1.
Înseamnă că va avea aceeași măsură cu unghiul O1, adică de 90 de grade.
Și de asemenea, unghiul O4 este opus la vârf cu O2.
El va avea măsura egală cu măsura unghiului O2, așadar și unghiul O4 va fi un unghi drept.
Rețineți că atunci când două drepte formează punctul de intersecție un unghi drept, toate cele patru unghiuri vor fi unghiuri drepte.
Să vedem în continuare cum putem construi perpendicularea dintr-un punct exterior pe o dreaptă.
Avem o dreaptă D și un punct A care nu aparține dreptei D.
Pentru a construi perpendicularea din punctul A pe dreapta D, avem nevoie de un echier.
Poziționăm echierul ca și în imagine.
Una din laturile echierului care formează unghiul drept trebuie să treacă prin dreapta D, iar cealaltă latură a echierului să treacă prin punctul A.
Ducem o dreaptă care să treacă prin punctul A și să fie perpendiculară pe dreapta D.
Voi nota punctul acesta de intersecție cu M.
Aici s-a format un unghi drept, așadar am dus perpendicularea AN pe dreapta D.
Punctul M se va numi piciorul perpendiculare coborât din punctul A pe dreapta D.
Rețineți că dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă.
În continuare vom da definiția dreptelor oblice.
Două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc oblice.
În această figură observăm că doar dreapta PM este perpendiculară pe dreapta A.
Toate celelalte drepte, PA, PB, PC, PD și PE, vor fi oblice față de dreapta A.
Dacă măsurăm cu liniarul lungimea acestor segmente, observăm că ele vor avea lungimea mai mare decât cea a segmentului PM.
Așadar, PM are lungimea minimă, deci putem observa că cea mai scurtă distanță de la un punct la o dreaptă este chiar perpendicular adusă din acel punct pe dreaptă.
O să dăm și definiția.
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului care unește punctul cu piciorul perpendiculare coborâte din acel punct pe dreaptă.
Așadar, distanța de la punctul P la dreapta A va fi egală cu lungimea segmentului PM.
Să vedem cum putem construi perpendicularea în cazul în care punctul este situat pe dreapta D.
Avem un punct M care aparține dreptei D.
Ne propunem să construim perpendicularea ridicată din punctul M pe dreapta D.
Construcția este similară cu cea anterioară. Avem nevoie de un echier pe care îl poziționăm astfel încât una din laturile echierului să treacă prin dreapta D, iar cealaltă latură să treacă prin punctul M.
Și o ridicăm o perpendiculară din M pe dreapta D.
La intersecția celor două drepte s-a format un umb de 90 de grade.
Fixăm aici un punct A și vom scrie că AM este perpendiculară pe dreapta D.
Rețineți că printr-un punct aparținând unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă.
În continuare o să dăm o definiție importantă.
Dreapta perpendiculară pe un segment dusă prin mijlocul acestuia se numește mediatoarea segmentului.
Avem un segment AB și am fixat mijlocul acestuia pe care l-am notat cu O.
Am dus OM perpendiculară pe AB. OM se va numi mediatoarea segmentului.
Dacă avem așadar un punct O care aparține unui segment AB, astfel încât AO să fie congruent cu OB,
deci O este mijlocul segmentului, și ridicăm O perpendiculară MO pe AB,
în aceste condiții vom spune că MO este mediatoarea segmentului AB.
În continuare o să facem o mică aplicație.
În imaginea următoare avem un elev care trebuie să traverseze o stradă fără trecere de pietoni.
Cum ar fi mai indicat să traverseze?
Mergând pe distanța AB sau pe distanța AC sau alegând distanța AD sau AE.
Dacă considerăm axul drumului o dreaptă pe care o voi nota cu D, observăm că AB este perpendiculară pe dreapta D.
Toate celelalte drepte, AC, AD și AE, vor fi oblice față de dreapta D.
Așadar este recomandat ca elevul să traverseze alegând distanța AB, deoarece AB are lungimea minimă.
AB fiind perpendiculară pe dreapta D, AB va avea lungimea minimă.
Se recomandă alegerea distanței AB.
Deci rețineți că atunci când doriți să traversați o stradă fără trecere de pietoni, este indicat să mergeți perpendicular pe axul drumului pentru a traversa strada cât mai repede.
În continuare o să facem o problemă.
Unghiul AOB are măsura de 120 de grade. Fie punctele C și D situate în interiorul unghiului AOB, astfel încât CO este perpendiculară pe BO și AO este perpendiculară pe OD.
Calculați măsura unghiului COD.
Aceasta este figura geometrică.
Avem un unghi AOB obtuz cu măsura de 120 de grade.
În interiorul acestuia avem punctele C și D, astfel încât măsura unghiului AOD este de 90 de grade pentru că AO este perpendiculară pe OD
și măsura unghiului COB este de 90 de grade pentru că CO este perpendiculară pe OB.
Să scriem ipoteza și concluzia.
Se știe că măsura unghiului AOB este egală cu 120 de grade.
Se știe că CO este perpendiculară pe BO și AO este perpendiculară pe OD.
Trebuie să calculăm măsura unghiului COD.
Demonstrație.
Pornim de la aceste date.
Se știe că CO este perpendiculară pe BO.
Acest lucru implică faptul că măsura unghiului COB este egală cu 90 de grade.
Apoi AO este perpendiculară pe OD.
Acest lucru implică măsura unghiului AOD egală cu 90 de grade.
Trebuie să calculăm măsura unghiului COD, dar mai întâi vom afla măsura unghiului AOC.
Observăm că unghiurile AOC și COB sunt adiacente și atunci putem să scriem că măsura unghiului AOC plus măsura unghiului COB va fi egală cu măsura unghiului AOB.
Înlocuim în această relație măsurile pe care le cunoaștem.
Măsura unghiului AOC plus, în loc de măsura unghiului COB, vom scrie 90 de grade, egal mai departe cu 120 de grade.
Din această relație exprimăm măsura unghiului AOC.
Aceasta va fi egală cu 120 de grade minus 90 de grade, egal cu 30 de grade.
Am aflat acest unghi.
El are măsura de 30 de grade.
Acum observăm că unghiurile AOC și COB sunt de asemenea unghiuri adiacente.
Ele formează împreună măsura unghiului AOD.
Voi scrie că măsura unghiului AOC plus măsura unghiului COB este egală cu măsura unghiului AOD.
Am aflat anterior măsura unghiului AOC. Aceasta este egală cu 30 de grade plus măsura unghiului COB, egal mai departe cu 90 de grade, pentru că măsura unghiului AOD este egală cu 90 de grade.
Putem să exprimăm din această relație măsura unghiului COB ca fiind egală cu 90 de grade minus 30 de grade, egal mai departe cu 60 de grade.
Așadar, am aflat că măsura unghiului COB este egală cu 60 de grade.
Putem să scriem și pe figură.