Transcript: Drepte paralele. Criterii de paralelism

DREPTE PARALELE, CRITERII DE PARALELISM
Două drepte situate în același plan, care nu au niciun punct comun, se numesc drepte paralele.
După cum observăm, dreapta A intersectată cu dreapta B este mulțimea vidă, deoarece aceste două drepte nu au niciun punct comun,
iar pentru a scrie că A este paralelă cu B, vom folosi această notație.
Există o axiomă foarte importantă, axioma lui Euclid.
Euclid a fost un matematician grec care a pus bazele geometriei pe care noi o studiem azi la școală în cartea sa numită Elemente,
iar aceasta este una dintre cele mai importante axiome pe care le-a enunțat.
Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.
Fiind dat punctul A în exteriorul dreptei D, putem duce o singură paralelă care se treacă prin punctul A.
Așadar vom scrie că punctul A nu aparține dreptei D.
Dreapta D' este paralelă cu dreapta D, astfel încât punctul A să aparțină dreptei D'.
Relația de paralelism are o proprietate care se numește transitivitatea
și anume dacă o dreaptă A este paralelă cu o dreaptă B, iar B este paralelă cu C, atunci dreapta A va fi paralelă cu dreapta C.
În continuare o să vorbim despre două drepte intersectate de o secantă.
Dacă două drepte distincte, A și B, sunt intersectate de o a treia dreaptă C, atunci dreapta C se numește secantă.
Cele trei drepte formează în punctele de intersectie opt unghiuri.
Distingem câteva categorii de unghiuri în funcție de poziția lor față de aceste drepte.
Avem unghiuri alterne interne. Acestea se găsesc în părți diferite ale secantei, ambele în interiorul dreptelor A și B, de exemplu unghiurile 3,5 sau 4,6.
Unghiurile alterne externe se găsesc în părți diferite ale secantei, ambele în exteriorul dreptelor A și B, de exemplu unghiurile 1,7 sau 2,8.
Mai avem și unghiuri corespondente. Acestea sunt situate de aceeași parte a secantei, unul în partea inferioară a uneia dintre drepte, iar celălalt în partea exterioră a celelalte drepte.
De exemplu unghiurile 1,5, 2,6, 3,7 și 4,8.
Unghiurile interne de aceeași parte a secantei, după cum le arată și numele, sunt situate în interiorul dreptelor A și B, de aceeași parte a dreptei C, de exemplu unghiurile 4,5 sau 3,6.
Unghiurile externe de aceeași parte a secantei, sunt situate în afara dreptelor A și B, de aceeași parte a dreptei C, de exemplu unghiurile 1 și 8, respectiv 2 și 7.
În cazul în care dreptele A și B sunt paralele, aceste perechi de unghiuri vor fi congruente sau suplementare.
Vom da în continuare următoarea teoremă.
Dacă două drepte sunt paralele, atunci ele formează, cu orice secantă, unghiuri alterne interne congruente, adică unghiul 3 va fi congruent cu unghiul 5, respectiv unghiul 4 va fi congruent cu unghiul 6.
Apoi se formează unghiuri alterne externe congruente, unghiul 1 va fi congruent cu unghiul 7, iar unghiul 2 va fi congruent cu unghiul 8.
Unghiuri corespondente congruente, unghiurile 1 și 5 vor fi congruente, la fel unghiurile 2 și 6.
Apoi mai avem unghiurile 3 și 7, care vor fi de asemenea congruente, respectiv 4 cu 8.
Unghiurile interne de aceeași parte a secantei vor fi suplementare, de exemplu unghiurile 3 și 6 vor fi suplementare.
Acest lucru se poate deduce din faptul că unghiurile 3 și 5, fiind alterne interne și congruente, iar unghiurile 5 și 6, fiind adiacente și suplementare, va rezulta că și unghiurile 3 cu 6 vor fi suplementare.
Apoi unghiurile externe de aceeași parte a secantei vor fi și acestea suplementare, adică unghiul 1 împreună cu unghiul 8 vor forma un unghi cu măsura de 180 de grade, iar unghiurile 2 cu 7 vor fi de asemenea unghiuri suplementare.
Este valabilă și reciproca acestei teoreme.
Dacă două drepte formează cu o secantă unghiuri alterne interne congruente sau unghiuri alterne externe congruente sau unghiuri corespondente congruente sau unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare,
respectiv unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Vom folosi aceste criterii de paralelism în rezolvarea de probleme.
Mai exact, dacă va trebui să arătăm într-o problemă că două drepte sunt paralele,
vom arăta, de exemplu, că acele drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente
sau vom face referire la alte perechi de unghiuri care sunt congruente sau suplementare.
În continuare să vedem ce înseamnă distanța dintre două drepte paralele.
Avem următoarea teoremă. Două drepte distincte, perpendiculare pe o a treia, sunt paralele între ele.
Vom demonstra această teoremă.
În ipoteză se știe că dreapta A este diferită de dreapta B.
A este perpendiculară pe C și B este perpendiculară pe dreapta C.
Trebuie să demonstrăm că dreapta A este paralelă cu dreapta B.
Voi face alătura demonstrația.
Având în vedere că dreapta A este perpendiculară pe dreapta C,
în punctul de intersecție s-a format un unghi drept pe care l-am notat cu 1.
În mod analog, dreapta B fiind perpendiculară pe dreapta C, aici s-a format un unghi drept pe care l-am notat cu 2.
Voi scrie acest lucru.
A fiind perpendiculară pe C, rezultă că măsura unghiului 1 va fi egală cu 90 grade.
Apoi B fiind perpendiculară pe C, va rezulta că măsura unghiului 2 este tot de 90 grade.
Observăm așadar că cele două unghiuri au aceeași măsură, deci ele vor fi unghiuri congruente.
Unghiul 1 este congruent cu unghiul 2.
Însă observăm că dacă dreapta C este secanta dreptelor A și B, unghiurile 1 și 2 sunt unghiuri corespondente.
Ele fiind și congruente, va rezulta, conform teoremei enunțate mai devreme, că dreptele A și B sunt paralele.
Așadar, unghiurile 1 și 2 sunt corespondente.
Ia din aceste două relații, va rezulta că dreapta A este paralelă cu dreapta B.
Dacă notăm aceste puncte de intersecție cu A și B, atunci vom defini distanța dintre dreptele A și B ca fiind lungimea segmentului AB.
Două drepte paralele care intersectează alte două drepte paralele determină pe acestea segmente congruente.
Dreapta A este paralelă cu dreapta B și dreapta C este paralelă cu dreapta D.
Am notat cu A, B, C și D cele patru puncte de intersecție ale acestor drepte.
În ipoteză vom scrie că A este paralelă cu B, C este paralelă cu D.
Trebuie să arătăm că segmentul AB este congruent cu segmentul CD
și că segmentul AD este congruent cu CB.
Pentru demonstrația acestei teoreme vom uni punctele D și B.
Astfel s-au format două triunghiuri, triunghiul ADB și triunghiul CDB.
Vom arăta că aceste două triunghiuri sunt congruente, iar din congruența acestora va rezulta și congruența segmentelor menționate.
Așadar comparăm triunghiul ADB cu triunghiul CBD să vedem ce elemente congruente au aceste două triunghiuri.
Dacă dreapta A este paralelă cu dreapta B și considerăm dreapta DB o secantă,
atunci s-au format două unghiuri alterne interne congruente.
Acestea sunt unghiurile CDB și ABD.
Voi scrie că unghiul ABD este congruent cu unghiul CDB, fiind unghiuri alterne interne.
Aceste două triunghiuri au o latură comună, dreapta DB.
Dreapta DB este congruent cu dreapta DB, fiind o latură comună.
Acum, dacă considerăm dreptele paralele C și D cu secanta DB,
s-a format o nouă pereche de unghiuri alterne interne congruente.
Acestea sunt unghiurile ADB și CBD.
Unghiul ADB va fi congruent cu unghiul CBD, fiind alterne interne.
Din aceste trei relații, va rezulta că ofer căzului de congruență unghi-latură-unghi,
că triunghiul ADB este congruent cu triunghiul CBD,
iar din această relație de congruență, va rezulta că segmentul AB va fi congruent cu segmentul CD,
AB cu CD, și mai rezultă că segmentul AD va fi congruent cu segmentul CB.