Transcript: Drepte paralele. Aplicații

În figura de mai jos, A este paralelă cu B și se știe că măsura unghiului 1 este de 75 de grade.
Aflați măsurile celorlalte unghiuri.
Având în vedere că dreapta A este paralelă cu dreapta B, iar dreapta D este o secantă,
s-au format în punctele de intersecție 8 unghiui.
Observăm că unghiul 1 și unghiul 5 sunt unghiuri corespondente.
Aceste două unghiuri vor fi unghiuri congruente.
Așadar, măsura unghiului 5 va fi egală cu măsura unghiului 1, adică 75 de grade.
Așadar, unghiul 1 cu unghiul 5 sunt unghiuri corespondente.
Și de aici va rezulta că măsura unghiului 1 este egală cu măsura unghiului 5
și egală cu 75 de grade.
Apoi, unghiurile 4 și 5 sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei
și știm că aceste unghiuri sunt suplementare.
Voi scrie că unghiul 4 și unghiul 5 sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei.
Va rezulta că măsura unghiului 4 plus măsura unghiului 5
este egală cu 180 de grade.
Din această relație exprimă măsura unghiului 4.
Aceasta este egală cu 180 de grade minus măsura unghiului 5.
Egal, mai departe, cu 180 de grade minus 75 de grade, adică 105 grade.
Unghiurile 1 și 8 sunt unghiuri externe de aceeași parte a secantei.
Acestea vor fi și ele suplementare.
Voi scrie că unghiul 1, preună cu unghiul 8, sunt unghiuri externe de aceeași parte a secantei.
Rezultă că măsura unghiului 8 plus măsura unghiului 1 va fi egală cu 180 de grade.
Rezultă că măsura unghiului 8 va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului 1.
Egal, mai departe, cu 180 de grade minus 75 de grade, egal 105 grade.
Unghiurile 3 și 5 sunt unghiuri alterne interne.
Va rezulta că măsura unghiului 3 va fi egală cu măsura unghiului 5.
Așadar, unghiurile 3 și 5 sunt unghiuri alterne interne.
Rezultă că măsura unghiului 3 va fi egală cu măsura unghiului 5 și egală cu 75 de grade.
Unghiurile 4 și 6 sunt, de asemenea, unghiuri alterne interne.
Va rezulta că măsura unghiului 6 este egală cu măsura unghiului 4 și egală cu 105 grade.
Unghiurile 2 și 6 sunt unghiuri corespondente. Ele vor fi, de asemenea, congruente.
Unghiul 2 și unghiul 6 formează o pereche de unghiuri corespondente.
Rezultă că măsura unghiului 2 este egală cu măsura unghiului 6.
Și egală, mai departe, cu 105 grade.
Mai trebuie să aflăm măsura unghiului 7.
Observăm că unghiurile 3 și 7 sunt unghiuri corespondente.
Va rezulta că măsura unghiului 7 este egală cu măsura unghiului 3.
Așadar, măsura unghiului 7 este egală cu măsura unghiului 3 și egală, mai departe, cu 75 grade.
Să vedem dacă am aflat toate măsurile.
Măsura unghiului 5 este de 75 grade.
Măsura unghiului 4 este de 105 grade.
Apoi am aflat măsura unghiului 8, tot 105 grade.
Apoi am aflat măsura unghiului 3, egală cu 75 grade.
Măsura unghiului 6, egală cu 105 grade.
Măsura unghiului 2, egală cu 105 grade.
Și măsura unghiului 7, egală cu 75 grade.
Existau și alte modalități de calcul a unor măsuri.
De exemplu, unghiul 3 este opus la vârf cu unghiul 1, deci sunt unghiuri congruente.
Unghiurile 5 și 8 sunt adiacente suplementare.
La fel, unghiurile 2 și 3, oricare din aceste variante este corectă.
Continuăm cu a doua problemă.
Aflați măsura unghiului X din figura de mai jos știind că dreapta A este paralelă cu dreapta B.
Mai întâi voi nota punctele de intersecție dintre aceste drepte, cu A și B.
Pe dreapta A mai fixăm un punct C.
Pe dreapta B o să mai fixez încă două puncte, D și E.
Iar pe secantă o să mai considerăm un alt punct, F.
Știm că atunci când două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, se formează perec de unghiuri congruente.
Acestea pot fi alterne interne, alterne externe sau corespondente.
Observăm că unghiurile CAB și DBF sunt unghiuri corespondente,
așadar măsura unghiului DBF va fi egală cu măsura unghiului CAB, adică X grade.
Să scriem cele discutate până acum.
Unghiul CAB cu unghiul DBF.
Formează o pereche de unghiuri corespondente.
Așadar va rezulta că măsura unghiului DBF este egală cu măsura unghiului CAB și egală cu X grade.
Observăm că unghiurile DBF și FBE sunt unghiuri adiacente suplementare,
așadar împreună ele formează un unghi alungit care are măsura de 180 grade.
Unghiul DBF împreună cu unghiul FBE
sunt unghiuri adiacente suplementare,
de unde rezultă că măsura unghiului DBF plus măsura unghiului FBE
va fi egală cu 180 grade.
Dacă înlocuim aceste măsuri cu X respectiv cu 5X,
vom obține următoarea relație.
X plus 5X va fi egal cu 180.
Deocamdată nu o să mai scriu gradele.
Putem da factor comun pe X și obținem X pe lângă 1 plus 5
egal cu 180.
X ori 6 egal cu 180.
Ca să aflăm necunoscuta X împărțim această relație cu 6 în ambii membri
și vom obține X egal cu 180 împărțit la 6.
Deocamdată X va fi egal cu 30 grade.
Și ultima problemă.
Fie A, B, C și D patru puncte necoliniare,
astfel încât A, B și C, D sunt două segmente care au același mijloc O.
Arătați că A, D este paralelă cu B, C.
Avem patru puncte necoliniare,
iar O este mijlocul segmentului A, B și al segmentului C, D.
Trebuie să arătăm că A, D este paralelă cu B, C.
Voi scrie mai întâi ipoteza și concluzia.
Dacă O este mijlocul segmentului A, B,
înseamnă că segmentul A, O este congruent cu segmentul O, B.
Iar segmentul D, O va fi congruent cu segmentul O, C.
Trebuie să arătăm că A, D este paralelă cu B, C.
Pentru a arăta că aceste două drepte sunt paralele,
putem să arătăm, de exemplu, că aceste două drepte
formează împreună cu o secantă o pereche de unghiuri alterne-interne congruente.
Dacă vom considera secanta A, B,
atunci unghiurile alterne-interne vor fi unghiurile D, A, O și C, B, O.
Dacă vom reuși să arătăm că aceste două unghiuri sunt congruente,
atunci va rezulta că A, D este paralelă cu B, C.
Având dreptele A, D și B, C,
iar A, B o secantă,
va rezulta că unghiurile D, A, O și C, B, O
sunt unghiuri alterne-interne.
Ne propunem să demonstrăm că aceste două unghiuri sunt congruente.
Pentru a demonstra congruența lor,
vom arăta că triunghiurile A, D, O și C, B, O sunt triunghiuri congruente.
Știm din ipoteză că A, O este congruent cu O, B.
Tot din ipoteză știm că D, O este congruent cu O, C.
Și observăm că aceste două triunghiuri au o pereche de unghiuri opuse la vârf.
Acestea sunt unghiurile A, O, D și C, O, B,
iar ele vor fi congruente.
Unghiul A, O, D este congruent cu unghiul B, O, C.
fiind unghiuri opuse la vârf.
Din aceste trei relații,
va rezulta conform cazului de congruență latură-unghi-latură
că triunghiul A, O, D este congruent cu triunghiul B, O, C
iar din congruență acestor două triunghiuri rezultă și congruența unghiurilor D, A, O și C, B, O.
Acestea fiind și unghiuri alterne interne,
va rezulta că dreapta A, D este paralelă cu B, C.