Transcript: Divizibilitatea numerelor întregi

Divizibilitatea numerelor întregi
Avem următoarea definiție, numărul întreg A este divizibil cu numărul întreg B, dacă există un număr întreg C, astfel încât A egal cu B ori C.
Relația de divizibilitate se poate nota în două moduri. A este divizibil cu B sau B divide pe A.
De exemplu, numărul minus 12 este divizibil cu numărul 3, deoarece minus 12 se poate scrie 3 ori minus 4.
Sau mai putem scrie 3 divide numărul minus 12.
Numerele 3 și minus 4 se numesc divizori ai numărului minus 12, iar minus 12 se numește multiplul al numerelor 3 și minus 4.
Să vedem ce înțelegem prin mulțimea divizorilor unui număr.
Dacă avem N un număr întreg, mulțimea divizorilor lui N se notează cu D indice N și este formată din acele numere întregi P cu proprietatea că P divide pe N.
Dacă N este un număr prim, atunci mulțimea divizorilor lui N conține exact patru elemente și anume plus minus 1 și plus minus N.
De exemplu, mulțimea divizorilor numărului prim 5 va fi formată din următoarele elemente 1, 5, minus 1 și minus 5.
Mulțimea multiplilor numărului N se notează cu M indice N și este formată din numerele întregi Q cu proprietatea că N divide pe Q.
Să vedem în continuare câteva proprietăți ale relației de divizibilitate.
Prima proprietate, oricare ar fi A un număr întreg, A divide pe A și minus A divide pe A.
A doua proprietate, oricare ar fi A un număr întreg, 1 și minus 1 sunt divizori ai numărului A.
A treia proprietate, 0 este divizibil cu orice număr întreg.
A patra proprietate, fie A, B și C trei numere întregi.
Dacă B divide pe A și C divide pe B, atunci C divide pe A.
Această proprietate se mai numește și transitivitatea relației de divizibilitate.
Și ultima proprietate, dacă B divide pe A și B divide pe C, atunci B divide suma A plus C,
apoi B divide și diferența A minus C și, de asemenea, B divide produsul dintre A și C.
Voi demonstra ultimele două proprietăți.
Încep cu proprietatea numărul 4.
Știm că B divide pe A și C divide pe B.
Și vrem să demonstrăm că C divide pe A.
Vom folosi definiția.
Dacă B divide pe A, atunci rezultă că A se va scrie B ori un număr oarecare K.
Din a doua relație rezultă că dacă C divide pe B, B se scrie C ori un număr oarecare P.
Din aceste două relații obținem că A va fi egal cu, în loc de B scriem C ori P, ori K.
Dar știm că înmulțirea este asociativă și atunci putem să scriem C ori P, ori K.
Având în vedere că A se scrie ca un produs de doi factori, dintre care unul din ei este C,
atunci, cu siguranță, C va divide numărul A.
Și a cincea proprietate știm că B divide pe A și B divide pe C.
Și vrem să demonstrăm că B divide suma, diferența și produsul numerelor A și C.
Folosim din nou definiția.
Dacă B divide pe A, rezultă că A se va scrie B ori un număr K.
Iar din a doua relație rezultă că C se poate scrie B ori un alt număr P.
Și acum să facem suma dintre A și C.
A plus C va fi egal cu B ori K plus B ori P.
Putem da factor comun pe B și obținem B pe lângă K plus P.
Având în vedere că A plus C se scrie ca un produs de doi factori, dintre care unul este B,
va rezulta că B divide A plus C.
A minus C va fi egal cu B ori K minus B ori P.
Putem da factor comun pe B.
Egal cu B pe lângă K minus P.
Observăm că A minus C se scrie ca un produs de doi factori, dintre care unul este B.
Și atunci rezultă că B divide și A minus C.
Și acum calculăm produsul numerelor A și C.
Acesta va fi egal cu B ori K ori B ori P.
Se vede clar că unul din factori este B.
Și atunci putem să tragem concluzia că B divide și produsul A ori C.
Am demonstrat așadar și această proprietate.
Acestea au fost cele mai importante proprietăți ale relației de divizibilitate.
În continuare o să facem două exerciții.
Primul exercițiu.
Calculați mulțimea divizorilor numărului minus 12 intersectată cu mulțimea divizorilor numărului 18.
Mai întâi vom scrie elementele fiecarei mulțimi, apoi vedem intersecția lor.
Încep cu mulțimea divizorilor numărului minus 12.
Aceasta conține următoarele numere întregi.
1, 2, 3, 4, 6, 12
Și opusele lor, minus 1, minus 2, minus 3, minus 4, minus 6 și minus 12.
Și acum să vedem mulțimea divizorilor numărului 18.
1, 2, 3, 6, 9, 18
Și opusele lor, minus 1, minus 2, minus 3, minus 6, minus 9 și minus 18.
Și acum să calculăm intersecția.
Mulțimea divizorilor numărului minus 12 intersectată cu mulțimea divizorilor numărului 18.
Ne uităm la elementele comune.
Acestea sunt 1, 2, 3, 6 și minus 1, minus 2, minus 3 și minus 6.
Aflați elementele următoarelor mulțimi.
Mulțimea A formată din acele numere întregi X cu proprietatea că fracția 7 supra X minus 2 să fie număr întreg.
Începem întâi cu mulțimea A, apoi o să vedem și cealaltă mulțime.
Pentru ca fracția 7 supra X minus 2 să fie număr întreg.
Va trebui ca 7 să se împartă exact la numitor.
Sau, altfel spus, trebuie ca X minus 2 să fie un divizor al numărului 7.
Și atunci vom pune condiția ca X minus 2 să aparțină mulțimii divizorilor numărului 7.
Mulțimea divizorilor lui 7 va conține următoarele numere întregi.
1, 7, minus 1 și minus 7.
7 fiind număr prim, mulțimea divizorilor lui 7 va avea exact patru elemente.
X minus 2 se va egala pe rând cu fiecare din acești divizori.
Începem cu X minus 2 egal cu 1.
Vom forma așadar patru ecuații de unde o să aflăm necunoscuta X.
Prima ecuație este aceasta, X minus 2 egal cu 1.
Ca să-l aflăm pe X, va trebui să adunăm opusul numărului minus 2.
Așadar adunăm numărul 2 în fiecare membru al ecuației și obținem X egal cu 1 plus 2.
X va fi egal cu 3.
Aceasta ar fi prima variantă.
A doua posibilitate este ca X minus 2 să fie egal cu 7.
La fel adunăm numărul 2 în fiecare membru al ecuației și obținem X egal cu 7 plus 2.
X egal cu 9.
Mai departe, X minus 2 egal cu minus 1.
Adunăm numărul 2 și obținem X egal cu minus 1 plus 2.
X egal cu 1.
Și ultima posibilitate, X minus 2 egal cu minus 7.
Adunând numărul 2 la ambii membri obținem X egal cu minus 7 plus 2.
X egal cu minus 5.
Am obținut patru valori pentru variabila X și atunci mulțimea A va fi formată din aceste numere întregi.
3, 9, 1 și minus 5.
În continuare trecem la a doua mulțime, mulțimea B formată din acele numere întregi X cu proprietatea că 4X plus 5 supra 2X plus 1 trebuie să fie număr întreg.
O să mai scriu o dată această fracție, 4X plus 5 supra 2X plus 1 trebuie să fie număr întreg.
Încercăm să facem niște transformări asupra acestei fracții astfel încât la numărător să avem un număr întreg, astfel încât să putem să scriem divizorii acelui număr.
Și atunci fracția 4X plus 5 supra 2X plus 1 se poate scrie 4X, în locul lui 5 vom scrie 2 plus 3 supra 2X plus 1.
Din primii doi termeni dăm factor comun pe 2, 2 pe lângă 2X plus 1 plus 3 supra 2X plus 1.
La numărător avem o sumă și atunci putem să despărțim această fracție în două fracții având același numitor.
Vom scrie egal cu 2 pe lângă 2X plus 1 supra 2X plus 1 plus 3 supra 2X plus 1.
Prima fracție se poate simplifica cu 2X plus 1 deoarece apare atât la numitor cât și la numărător
și obținem egal cu 2 supra 1 pe care nu-l mai scriu plus 3 supra 2X plus 1.
Acesta trebuie să fie un număr întreg.
Având în vedere că 2 este deja număr întreg, mai punem condiția ca fracția 3 supra 2X plus 1 să fie număr întreg.
Pentru ca 3 să se împartă exact la 2X plus 1, va trebui ca 2X plus 1 să fie un divizor al numărului 3
și vom scrie atunci 2X plus 1 aparține mulțimii divizorilor numărului 3.
Mulțimea divizorilor numărului 3 este formată din numerele 1, 3, minus 1 și minus 3.
Vom forma așadar 4 ecuații de unde o să aflăm necunoscuta X.
Voi continua aici.
2X plus 1 egal cu 1.
Încercăm să obținem în membrul stâng necunoscuta X și să o separăm de ceilalți termeni.
Ca să eliminăm numărul 1 din membru stâng, va trebui să scădem numărul 1 din fiecare membru al ecuației
și avem 2X egal cu 1 minus 1.
2X egal cu 0.
De unde X va fi egal cu 0? Aceasta este prima variantă.
Apoi 2X plus 1 egal cu 3.
La fel scădem numărul 1 și avem 2X egal cu 3 minus 1.
2X egal cu 2.
Împărțim la coeficientului X și obținem X egal cu 2 împărțit la 2, adică X egal cu 1.
Aceasta este a doua posibilitate.
Apoi 2X plus 1 egal cu minus 1.
Scădem numărul minus 1 și obținem 2X egal cu minus 1 minus 1.
2X egal cu minus 2.
Împărțim la 2.
X egal cu minus 2 împărțit la 2.
X egal cu minus 1.
Și ultima posibilitate, 2X plus 1 să fie egal cu minus 3.
Scădem numărul 1 din fiecare membru și obținem 2X egal cu minus 3 minus 1.
2X egal cu minus 4.
Împărțim la 2.
X egal cu minus 4 împărțit la 2.
X egal cu minus 2.
Am obținut patru valori ale necunoscute X și atunci putem să concluzionăm.
Mulțimea B va fi formată din aceste numere întregi pe care le-am obținut 0, 1, minus 1 și minus 2.