Transcript: Determinarea dreptei și a planului

Să vedem acum care sunt modalitățile de determinare a unei drepte și a unui plan.
În ceea ce privește determinarea dreptei e foarte simplu, știm că avem această axiomă, axioma dreptei, două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
Avem aici, ată, dreapta AB, deci două puncte distincte determină o dreaptă unică.
Care sunt acum modalitățile de a determina un plan?
Păi avem această axiomă, trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul, vorbim de axioma planului, și mai avem încă trei modalități, iată.
O dreaptă și un punct exterior ei determină un plan unic, o vom nota teorema 1, pentru că aceasta nu este o axiomă, este o teoremă și chiar o să o demonstrăm,
sau altă modalitate, două drepte concurente determină un plan unic și următoarea modalitate, două drepte paralele determină un plan unic și vom demonstra fiecare din aceste trei teoreme în parte.
Începem cu teorema 1. O dreaptă și un punct exterior ei determină un plan unic și vom trasa o dreaptă, să o notăm cu D mic și un punct exterior ei îl notăm cu A mare.
Ce avem de arătat? Trebuie să demonstrăm că există un plan care conține dreapta D și punctul A și că acel plan este unic.
Mai întâi, haideți să notăm că punctul A nu se află pe dreapta D, deci A nu aparține dreptei D. Acum, noi știm că o dreaptă este determinată de două puncte distincte.
Cu alte cuvinte, pe o dreaptă avem cel puțin două puncte diferite, deci fie B și C, două puncte care aparțin dreptei D, iar aceste puncte sunt distincte și chiar le desenăm B și C.
Acum, cum sunt punctele A, B și C? De vreme ce A nu aparține dreptei D, iar aceste două puncte sunt distincte, e clar că cele trei puncte sunt necoliniare.
Deci, de aici rezultă că punctele A, B și C sunt puncte necoliniare.
Ce știm noi că determină trei puncte necoliniare? Un plan.
Deci, rezultă în continuare din axioma 2, axioma planului, că există alfa, plan unic, determinat de, haideți să trecem așa, plan determinat, prescurtez astfel, de punctele A, B și C.
Cu alte cuvinte, alfa este planul ABC.
Acum, trebuie să arătăm că alfa conține punctul A și dreapta D.
E clar că alfa conține punctul A, deci e evident că A aparține planului alfa.
Să vedem acum cum arătăm că dreapta D este inclusă în planul alfa.
Păi, punctele B și C, să notăm aici, aparțin planului alfa.
Asta înseamnă că, ce va rezulta?
Păi, noi știm că dându-se două puncte distincte într-un plan, atunci înseamnă că dreapta determinată de ele e conținută în totalitate în planul respectiv.
Deci, de vreme ce aceste două puncte sunt în alfa și punctele sunt distincte, atunci rezultă din aceste două relații,
conform axiomei notate de noi 4 în lecția în care am discutat despre axiome, că dreapta BC este inclusă în alfa.
Bun, dreapta BC e chiar dreapta D, deci putem să ștergem aici și vom trece că dreapta D este inclusă în alfa.
Și iată, am obținut că A aparține planului alfa și dreapta D este inclusă în alfa.
Noi trebuie să arătăm că acest plan alfa, care are aceste două proprietăți, este un plan unic.
Păi gândim în felul următor. Fie gama, sau putem să notăm cum vrem, fie gama un plan care conține punctul A,
deci A aparține planului gama și conține și dreapta D. Dreapta D e inclusă în gama.
Bun, dar ce știm noi despre dreapta D? De vreme ce ea este într-un plan, înseamnă că toate punctele ei sunt în planul respectiv.
Asta înseamnă că, deci rezultă de aici că B și C aparțin planului gama, deci avem punctele A, B și C în gama.
Cum sunt cele trei puncte? Sunt necoliniare. Iată, demonstrația o avem aici.
Deci să notăm, dar punctele A, B și C sunt necoliniare.
Păi ce știm noi despre trei puncte necoliniare conform axiomei planului? Că ele determină un plan unic.
Asta înseamnă că planul gama în care se află cele trei puncte este de fapt planul determinat de punctele A, B și C,
deci egal cu planul A, B, C. Bun, dar planul A, B, C e de fapt planul alfa.
Deci haide să notăm aici relația 1, relația 2, deci rezultă din relația 1 și 2 că planul alfa este egal cu gama.
Și de aici rezultă că planul alfa este într-adevăr un plan unic.
Haide să notăm aici că am folosit tot axioma planului.
Cu alte cuvinte am arătat că există un unic plan care conține dreapta D și punctul A.
Acest plan se notează astfel în paranteză trecem dreapta A și punctul exterior ei, deci planul alfa e planul determinat de dreapta D și de punctul A.
Să demonstrăm acum această teoremă.
Să arătăm că două drepte concurente determină un plan unic.
Deci desenăm două drepte concurente, le notăm a mic și b mic.
Dacă ele sunt concurente înseamnă că se intersectează într-un singur punct și să notăm cu m punctul de intersecție.
Deci a intersectat cu b este punctul m.
Trebuie să arătăm că există un plan care conține dreptele a și b și acel plan este unic.
Pentru dreapta a mic observăm că am trecut aici punctul m care aparține dreptei.
Noi știm că o dreapta e determinată de cel puțin două puncte distincte.
Asta înseamnă că putem să alegem pe dreapta a mic încă un punct, de exemplu punctul A mare diferit de m.
Deci notăm fie a aparține dreptei a mic, punctul a diferit de punctul m.
Absolut la fel procedăm pentru dreapta b mic.
Vom alege aici punctul b.
Deci notăm fie punctul b aparține dreptei b mic, iar b este diferit de punctul m.
Cum sunt cele trei puncte m, b și a?
Păi sunt puncte necoliniare.
Dacă ele ar fi coliniare înseamnă că dreptele a și b ar fi de fapt drepte suprapuse,
ceea ce e fals pentru că ele sunt drepte concurente, au un singur punct în comun.
Deci de aici rezultă că punctele a, m și b sunt puncte necoliniare.
Cred că deja știți ce urmează.
Rezultă din axioma planului, axioma notată de noi doi, că există un unic plan, să-l notăm alfa,
determinat, deci plan, determinat de punctele a, m și b.
Cu alte cuvinte, alfa este planul a, m, b.
Acum noi trebuie să arătăm că acest plan alfa conține și dreapta a mic și dreapta b mic.
Păi punctele a și m sunt în alfa, deci notăm a și m aparțin planului alfa.
Cum ele sunt puncte distincte, ce va rezulta?
Păi dacă două puncte se află într-un plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în planul respectiv.
Vorbim de două puncte diferite.
Deci rezultă din axioma 4 că dreapta a, m, adică dreapta a mic, este inclusă în alfa.
Absolut la fel, punctele b și m aparțin planului alfa, da, b și m.
Ele sunt puncte distincte, tot așa rezultă din aceeași axiomă, axioma 4, că dreapta b mic,
adică dreapta b, m, este inclusă în planul alfa.
Acum trebuie să mai arătăm doar unicitatea acestui plan.
Cum arătăm că alfa este plan unic?
Este unicul plan cu aceste două proprietăți pe care haideți chiar să le subliniem, așa să le observați.
Noi vom proceda ca în demonstrația anterioară.
Fie gamma un plan astfel încât a este inclusă în gamma și b este inclusă în gamma.
Păi asta înseamnă că și punctele, că toate punctele b, m și a aparțin planului gamma.
Deci din aceste două relații rezultă că b, m și a aparțin planului gamma.
Însă aceste puncte sunt puncte necoliniare.
Haideți să copiem ce am scris aici.
Deci ele sunt puncte necoliniare.
Ce rezultă prin urmare?
Conform axiomei planului, noi știm că trei puncte necoliniare determină un plan unic.
Deci înseamnă că planul gamma e de fapt planul determinat de aceste trei puncte.
Deci rezultă că gamma e planul a, m, b care e de fapt planul alfa.
Și astfel am arătat că orice alt plan care conține cele două drepte a și b e de fapt egal cu planul alfa.
Asta înseamnă că există un unic plan, un singur plan care conține dreptele a și b.
Și notăm astfel planul determinat de dreptele a mic și b mic.
Ultima teoremă este teorema 3 în care ni se spune că două drepte paralele determină un plan unic.
Nu vom face toată demonstrația, vom da câteva elemente ale demonstrației.
Deci considerăm două drepte d și d' și aceste două drepte sunt drepte paralele.
Trebuie să arătăm că există un plan care le conține și că acel plan este unic.
Acum, ce înseamnă drepte paralele?
Păi două drepte sunt paralele dacă ele se află în același plan și nu au niciun punct în comun.
Deci din definiția dreptelor paralele rezultă că există un plan alfa care conține cele două drepte.
Deci astfel încât d este inclusă în alfa și d prim este inclusă tot în planul alfa.
Bun, trebuie să arătăm că acest plan alfa este unic.
Păi ce știm despre acest plan?
Ideea de rezolvare e următoarea.
Trebuie să alegem pe aceste două drepte trei puncte.
Alegem aici un punct să-i spunem A și aici putem alege două puncte B și C.
Evident că dreptele fiind paralele punctele A, B și C sunt ce fel de puncte?
Sunt necoliniare.
Atunci, cum aceste puncte se află și în planul alfa, A, B și C aparțin planului alfa și ele sunt necoliniare
înseamnă că din axioma planului, notăm axioma 2, că planul alfa e de fapt planul determinat de punctele A, B și C.
Acum, trebuie să arătăm că orice alt plan care îndeplinește cele două condiții e de fapt egal cu planul alfa.
Deci considerăm gama un plan astfel încât și dreapta D este inclusă în gama și dreapta D prim este inclusă în gama
și va rezulta că punctele A, B și C sunt și ele în gama.
Deci rezultă că A, B și C aparțin lui gama.
Acum, ele sunt puncte necoliniare.
Deci așa mai departe, va rezulta că de fapt planul gama e egal cu planul determinat de punctele A, B și C.
Deci va rezulta din această relație și din aceasta că planul gama este egal cu planul alfa.
Și de aici, unicitatea acestui plan.
Notăm că planul alfa se poate scrie astfel.
Avem un plan determinat de două drepte, D și D prim.
Deci folosim notația pe care am folosit-o și la drepte concurente.