Transcript: Determinanți de ordin n

În această secțiune vom defini determinantul unei matrice pătratece de ordinul ien
ca o generalizare a definiților determinanților de ordin 2, respectiv 3.
Avem aici definiția determinantului de ordinul 2,
iar aici definiția determinantului de ordin 3 cu calculele efectuate.
Cu alte cuvinte, am definit determinantul de ordin 2, respectiv de ordin 3,
ca o sumă de produse dintre elementele unei linii și determinanții obținuți prin ignorarea liniilor și coloanelor
care conțin acele elemente, ținând cont și de semnul asociat fiecărui element în funcție de poziția pe care o ocupă în determinant.
De asemenea, observăm că determinantul de ordinul 2 l-am definit cu ajutorul determinantului de ordinul 1,
iar determinantul de ordinul 3 l-am definit cu ajutorul determinantului de ordinul 2.
Putem defini așadar determinantul de ordin n cu ajutorul celui de ordin n-1 în mod asemănător.
Pentru aceasta, trebuie să stabilim mai întâi câteva convenții de notații.
Să considerăm un determinant de ordin n în care am evidențiat linia i, respectiv coloana j.
Determinantul de ordin n-1, care se obține ignorând linia i, respectiv coloana j din acest determinant,
se numește minorul elementului aj și se notează cu dij.
Numărul deltaij egal cu minus 1 la puterea i plus j înmulțit cu dij poartă numele de complementul algebric al elementului aj.
Cu aceste convenții de notații putem defini determinantul de ordinul n ca fiind suma produselor dintre elementele linie i și complementii săi algebrici.
Această relație poartă numele de dezvoltarea determinantului după linia i.
Dacă vom calcula suma produselor elementelor unei coloane cu complementii algebrici corespunzători,
obținem valoarea aceluiași determinant, motiv pentru care putem scrie și această relație numită dezvoltarea determinantului după coloana j.
Să calculăm acum un determinant de ordin 4.
Putem calcula acest determinant dezvoltând după orice linie sau după orice coloană,
dar ca să ne ușurăm calculul, alegem linii sau coloane care conțin cât mai multe zerouri.
Acest determinant are pe fiecare linie, respectiv pe fiecare coloană, câte un zerou
și din acest motiv putem dezvolta determinantul după orice linie, respectiv orice coloană.
Vom calcula determinantul folosind dezvoltarea după coloana 4.
Astfel, determinantul este egal cu 2 îmulțit cu complementul său algebric delta 1,4
plus 0 îmulțit cu delta 2,4 plus 4 îmulțit cu delta 3,4 și plus minus 2 îmulțit cu delta 4,4.
Să calculăm întâi minorul care corespunde elementului 1,4.
Ignorăm așadar linia 1, coloana 4 și obținem determinantul minus 2,3,1,0, minus 1,2,1, minus 3,0
pe care îl vom calcula dezvoltându-l după linia a doua.
Așadar, avem 0, se găsește pe linia a doua, coloana 1, deci îi avem asociat semnul minus,
0 îmulțit cu minorul obținut prin ignorarea liniei 2 și a coloanei 1, adică 3,1, minus 3,0.
Elementului minus 1 îi avem asociat semnul plus pentru că se găsește pe linia a doua, coloana 2,
deci plus minus 1 îmulțit cu minus 2,1,1,0, minus 2 îmulțit cu minus 2,3,1, minus 3, adică
minus 1 îmulțit cu minus 1, minus 2 îmulțit cu 6, minus 3, 3.
Obținem așadar acest minor egal cu 1, minus 6, adică minus 5.
Pentru că următorul complement algebric este îmulțit cu 0, nu îl vom calcula.
Vom calcula, în schimb, minorul care corespunde elementului 3,4, adică suprimăm linia 3, coloana 4
și obținem determinantul 1,0, minus 1, minus 2, 3,1, 1, minus 3,0 pe care îl vom calcula folosind regula lui Sarus.
Copiem primele două coloane al acestui determinant 1, minus 2, 1, 0, 3, minus 3 și efectuăm produsele
elementelor de pe prima diagonală și acelor care se află pe linii paralele cu această diagonală, adică
1, 3, 0, plus 0, 1, 1, plus minus 1, minus 2, minus 3, scăzând produsele elementelor de pe diagonală secundară
respectiv aflate pe linii paralele cu diagonala secundară.
Deci minus, minus 1, înmulțit cu 3, înmulțit cu 1, minus 1, înmulțit cu 1, înmulțit cu minus 3, minus 0, înmulțit cu minus 2, înmulțit cu 0.
Obținem așadar 0, plus 0, minus 6, plus 3, plus 3, minus 0, adică 0.
În mod analog să calculăm și minorul caracteristic elementului de pe linia 4, respectiv coloana 4, care are expresia,
suprimăm așadar linia 4, coloana 4, 1, 0, minus 1, minus 2, 3, 1, 0, minus 1, 2.
Acest determinant îl vom calcula folosind regula triunghiului.
Înmulțim așadar elementele aflate pe prima diagonală, 1 ori 3 ori 2, plus minus 1 ori minus 2 ori minus 1, minus 1 ori minus 2 ori minus 1,
plus 0 ori 0 ori 1, minus 0 ori 3 ori minus 1,
minus 2 ori minus 2 ori 0,
minus 1 ori minus 1 ori 1.
Obținem așadar 6, minus 2, plus 0, minus 0, minus 0, plus 1, adică 5.
Întorcându-ne la calculul determinantului de ordinul 4, îl vom nota cu D și vom înlocui elementele determinate mai sus.
Obținem astfel valoarea determinantului, ca fiind egală cu 2, înmulțită cu minus 1 la puterea 1 plus 4,
înmulțit cu D1 4, care era egal cu minus 5, plus 4 înmulțit cu delta 3 4, adică minus 1 la puterea 3 plus 4 ori D3 4, adică înmulțit cu 0,
plus minus 2 înmulțit cu delta 4 4, adică minus 1 la puterea 4 plus 4, înmulțit cu 5.
Efectuând calculele obținem minus 2 înmulțit cu minus 5, minus 2 înmulțit cu 5, adică 0.
Determinantul de ordinul ien poate fi calculat și în alt mod.
Să analizăm din nou formulele de calcul pentru determinantul de ordin 2, respectiv pentru cel de ordinul 3.
Observăm că termenii acestor determinanți sunt produse de elemente care aparțin la linii și la coloane diferite.
Și în același timp, orice fel de produs este termen al acestui determinant.
Această observație sugerează faptul că termenii determinantului de ordinul 2 pot fi rescriși astfel.
A1 sigma 1, A2 sigma 2, unde sigma aparține lui S2.
Iar pentru cel de ordinul 3, A1 sigma 1, A2 sigma 2, A3 sigma 3, unde sigma este o permutare de ordin 3.
Mai rămâne neprecizat semnul fiecărui termen care apare în determinant.
Să luăm, spre exemplu, termenul din determinantul de ordinul 3, A12, A23, A31.
Acestui termen îi corespunde permutarea sigma care are expresia.
Lui 1 îi corespunde 2, lui 2 îi corespunde 3, iar lui 3 îi corespunde 1.
Pentru această permutare avem inversiunea 2,1, respectiv 3,1.
Așadar, numărul de inversiune al acestei permutări este 2,
iar semnul acestei permutări este minus 1 la puterea a doua, adică 1.
Dacă vom considera un alt termen al acestui determinant, al cincilea termen,
acestui termen îi corespunde permutarea sigma care are expresia.
Lui 1 îi corespunde 1, lui 2 îi corespunde 3, lui 3 îi corespunde 2.
Pentru această permutare avem o singură inversiune, și anume inversiunea 2,3.
Atunci m de sigma este 1, iar epsilon de sigma este egal cu minus 1.
Așadar, dacă permutarea asociată termenului este pară, semnul acestui termen este plus,
iar dacă permutarea este în pară, semnul acestui termen este minus.
Cu alte cuvinte, semnul termenului din determinant este, de fapt, semnul permutării asociate.
Putem defini acum determinantul de ordine n ca fiind sumă după sigma permutare din SN
din produse de forma epsilon de sigma ori a1 sigma 1 ori a2 sigma 2 ori an sigma n.
Să facem și câteva observații cu privire la informațiile pe care ni le oferă această exprimare a determinantului.
Și anume, ne reamintim că SN, numărul de permutări de ordine n, este n factorial ca atare.
Într-un determinant de ordinul n vom avea n factorial termen.
De asemenea, ne reamintim că numărul de permutări pare de ordine n este n factorial supra 2
ca și numărul de permutări de ordine impart.
Așadar, vom avea n factorial supra 2 termen cu semnul plus și tot n factorial termen cu semnul minus
în expresia unui determinant de ordine n.
O ultimă observație ar fi aceea să nu confundăm o matrice cu determinantul,
deoarece matricea este o funcție, iar determinantul este un număr.
Și în același timp să nu confundăm notațiile acestor două noțiuni.