Transcript: Descompunerea unui vector într-un reper cartezian

Avem un sistem de axe X-Y în care vom reprezenta doi vectori ce vor indica sensul pozitiv pentru fiecare axe.
Acești doi vectori vor avea modulul egal cu unitatea și ei se vor numi versori.
Voi nota cu I versorul axei OX și cu J versorul axei OY. Așadar, modulul vectorului I este egal cu modulul vectorului J și este egal cu 1.
Să considerăm acum un punct A, iar unind originea sistemului de axe cu acest punct se obține un vector numit vectorul de poziție al punctului A.
În continuare, ne propunem să scriem acest vector OA în funcție de versorii I și J.
Cu alte cuvinte, spunem că am descompus vectorul OA după direcțiile versorilor I și J.
Descompânerea unui vector este operația inversă a adunării.
Prin urmare, vom folosi regula paralelogramului și vom duce din A paralele la cele două axe.
Voi nota acest punct cu A1, iar acest punct cu A2.
Voi nota abscisa punctului A cu X indice A și ordonata punctului A cu Y indice A.
De asemenea, voi construi și vectorii OA1, respectiv OA2.
Aplicând regula paralelogramului, observăm că vectorul OA este suma vectorilor OA1 și OA2.
Dar vectorul OA1 și versorul I sunt vectori coliniari.
Prin urmare, vectorul OA1 se obține înmulțind versorul I cu un scalar, cu o constantă,
iar această constantă este chiar abscisa punctului A pe care am notat-o cu X indice A.
De exemplu, dacă X indice A este 5, atunci vectorul OA1 este egal cu 5 ori I,
pentru că I are lungimea egală cu unitatea.
Așadar, vectorul OA1 se scrie cu ajutorul versorului I astfel, X indice A ori I,
iar vectorul OA2 va fi Y indice A ori J.
La fel, aceștia sunt vectori coliniari, iar YA este constanta cu care trebuie să înmulțim versorul J
pentru a obține vectorul OA2.
Am reușit astfel să scriem vectorul de poziție al punctului A cu ajutorul versorilor I și J
sau mai putem spune că am descompus vectorul OA după direcțiile versorilor I și J.
Numerele XA și YA se numesc coordonatele vectorului OA.
Acestea erau și coordonatele punctului A.
Această expresie pe care am obținut-o aici se numește expresia analitică a vectorului OA.
Să considerăm acum un alt punct B.
Ducem vectorul de poziție al punctului B
și ne propunem să exprimăm în continuare vectorul OB în funcție de versorii I și J.
Pentru aceasta ducem paralele la cele două axe de coordonate.
De asemenea construim și vectorii OB1, acesta cu galben, respectiv OB2.
Și observăm așadar că vectorul OB se poate scrie ca suma vectorilor OB1 și OB2.
Vectorul OB1 și versorul I sunt vectori colineari,
prin urmare OB1 se poate scrie cu ajutorul versorului I astfel XBXI iar OB2 este YBXJ.
Am reușit astfel să descompunem și vectorul OB după direcțiile versorilor I și J.
Coordonatele punctului B sunt X-B și Y-B
iar acestea vor fi și coordonatele vectorului de poziție OB.
Și acum haideți să construim și vectorul AB
și să exprimăm acest vector în funcție de versorii I și J.
Observăm că vectorul AB este egal cu OB-OA.
Vă reamintesc că la diferența vectorilor săgeata indică descăzutul, deci avem OB-OA.
Și acum înlocuim vectorii OB și OA cu expresiile analitice găsite mai sus.
În loc de OB o să avem XBXI plus YBXJ minus XAXI plus YAXJ.
Desfacem paranteza și rearrangem termenii.
Avem XBXI minus XAXI plus YBXJ minus YAXJ.
Din primii doi termeni dăm factor comun pe I și avem XB minus XA înmulțit cu I plus YB minus YA înmulțit cu J.
Așadar, aceasta este expresia analitică a vectorului AB în funcție de versorii I și J
sau cu alte cuvinte, descompunerea vectorului AB după direcțiile versorilor I și J.
Aceste numere din fața versorilor se numesc coordonatele vectorului.
Deci, coordonatele vectorului AB sunt XB minus XA, respectiv YB minus YA.
În continuare, ne propunem să găsim o formulă de calcul pentru lungimea vectorului AB.
Pentru aceasta vom construi un triunc dreptunghic și vom aplica teorema lui Pitagora în acest triunc dreptunghic.
Acest segment are lungimea egală cu XB minus XA
iar acest segment are lungimea egală cu YB minus YA.
Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunc dreptunghic și obținem că lungimea vectorului AB
este radical din XB minus XA la pătrat plus YB minus YA la pătrat.
Să reținem așadar aceste două formule, descompunerea vectorului AB după direcțiile versorilor I și J,
respectiv formula de calcul pentru lungimea vectorului AB.
În continuare, ar vrea să mai facem câteva observații.
Dacă avem un vector U care are următoarea expresie analitică X1 ori I plus Y1 ori J
și un alt vector V care are expresia analitică X2 ori I plus Y2 ori J,
atunci definim produsul dintre vectorul U și scalarul alfa astfel,
alfa ori U este egal cu alfa pe lângă X1I plus Y1 ori J.
Desfacem paranteza și obținem alfa X1I plus alfa Y1 ori J.
Suma dintre vectorii U și V se va face pe componente, se adună coordonatele celor doi vectori.
Avem X1 plus X2 ori I plus Y1 plus Y2 ori J.
În mod analog definim și scăderea vectorilor U și V.
Condiția ca vectorii U și V să fie egal este ca X1 să fie egal cu X2 și Y1 să fie egal cu Y2,
așadar cei doi vectori trebuie să aibă aceleași coordonate.
Iar doi vectori U și V sunt coliniari dacă și numai dacă are loc această relație X1 supra X2 egal cu Y1 supra Y2.
Cu alte cuvinte, doi vectori sunt coliniari dacă au coordonatele proporționale.
În clipul următor o să facem câteva exerciții pentru a înțelege mai bine aceste operații cu vectori.
Vă mulțumim pentru vizionare!