Transcript: Descompunerea trinomului de gradul II

În această lecție o să discutăm despre descomponerea trinomului de gradul al doilea.
Un trinom este o expresie algebrică ce are trei componente, iată-le, ax pătrat, bx și c.
Așadar, trinomul de gradul al doilea are forma ax pătrat plus bx plus c,
iar dacă egalăm acest trinom cu 0, se obține ecuația atașată trinomului ax pătrat plus bx plus c egal cu 0.
Aceasta este o ecuație de gradul al doilea, iar în cazul în care delta este mai mare sau egal cu 0,
ecuația admite două rădăcini reale pe care le notăm cu x1 și x2.
Are loc următoarea descomponere a trinomului în polinoame de gradul întâi sau în factori liniari.
ax pătrat plus bx plus c este egal cu a pe lângă x minus x1 pe lângă x minus x2.
Vom folosi această formulă atunci când trebuie să descompunem un factor expresie algebrice
sau când dorim să simplificăm fracții ce au la numărător și la numitor un trinom de gradul al doilea.
Haideți să demonstrăm această formulă.
ax pătrat plus bx plus c egal,
voi da factor comun pe a și avem a pe lângă x la pătrat plus b supra ax plus c supra a egal.
Înainte de a continua aș vrea să vă reamintesc relațiile lui Viet pentru că o să le folosim aici.
Suma rădăcinilor ecuației de gradul al doilea, x1 plus x2, este egală cu minus b supra a
iar produsul rădăcinilor, x1 or x2, este egal cu c supra a.
Deci suma este minus b supra a și atunci minus s va fi egal cu b supra a
iar produsul rădăcinilor este c supra a.
Prin urmare, în această paranteză, în loc de b supra a, voi scrie minus s
iar în loc de c supra a, avem produsul celor două rădăcini.
Prin urmare, avem a pe lângă x la pătrat minus sx plus b
egal cu a pe lângă x la a doua minus.
Acum, în loc de s, o să scriu x1 plus x2, totul ori x plus x1 ori x2, egal.
Acum desfac paranteza rotundă, a pe lângă x la a doua minus x1x minus x2x plus x1x2, egal.
Cu a pe lângă, din primii doi termeni, îl dăm factor comun pe x, x pe lângă x minus x1 minus, din ultimii doi, îl dăm factor comun pe x2, x2 pe lângă x minus x1.
Egal. Acum putem să dăm factor comun paranteza x minus x1, a pe lângă x minus x1 pe lângă x minus x2.
Iată, am demonstrat formula scrisă mai sus și acum să facem o aplicație.
Avem următorul exercițiu. Se cere să simplificăm expresia 2x la a doua minus 5x plus 3 supra 6x la a doua plus x minus 15.
Observăm că atât la numărător cât și la numitor avem un trinom de gradul al doilea.
Așadar, vom rezolva mai întâi ecuațiile atașate acestora.
Începem cu primul trinom. Ecoația atașată va fi 2x pătrat minus 5x plus 3 egal cu 0.
Delta este b pătrat minus 4ac, adică minus 5 la pătrat minus 4 ori 2 ori 3.
Egal cu 25 minus 8 ori 3, 24 și egal cu 1.
Prima rădăcină, x1, va fi minus b, adică 5, minus radical din delta, 1, supra 2a, 2 ori 2, 4.
4 supra 4 egal cu 1.
A doua rădăcină, x2, va fi minus b, adică 5, plus radical din delta, supra 2a, avem 6 supra 4, egal cu 3 pe 2.
Prin urmare, acest trinom 2x la pătrat minus 5x plus 3 se descompune astfel 2 pe lângă x minus prima rădăcină, 1,
pe lângă x minus cea de-a doua rădăcină, 3 pe 2.
Egal, în a doua paranteză aducem la numitor comun, avem 2 pe lângă x minus 1, pe lângă 2x minus 3 totul pe 2.
Egal, se simplifică 2 și obținem x minus 1 pe lângă 2x minus 3.
Așadar, 2x la pătrat minus 5x plus 3 se va scrie x minus 1 pe lângă 2x minus 3.
Am descompus în factori liniari expresia de la numărător.
Continuăm cu al doilea trinom.
Ecoația atașată a acestuia este 6x pătrat plus x minus 15 egal cu 0.
Delta este b pătrat, adică 1 minus 4 ori a or c.
6 ori minus 15 egal.
6 ori 15 este 90, 90 ori 4 360 plus 1 361.
X1 este minus b adică minus 1 plus radical din delta supra 2a 2 ori 6 egal cu minus 1 plus radical din 361 este 19 totul supra 12 egal cu 18 supra 12.
Mai simplificăm cu 6 și obținem 3 pe 2.
A doua rădăcină x2 este minus 1 minus 19 supra 12 egal cu minus 20 supra 12.
Se simplifică cu 4 și obținem minus 5 supra 3.
Așadar trinomul 6x2 plus x minus 15 se descompune în 6 pe lângă x minus prima rădăcină 3 pe 2 pe lângă x minus a doua rădăcină.
Atenție a doua rădăcină este minus 5 pe 3 deci o să avem plus 5 supra 3.
În paranteze aducem la numitor comun o să avem 6 pe lângă 2x minus 3 pe 2 pe lângă 3x plus 5 pe 3 egal.
Acest 6 se simplifică cu 2 și cu 3 și obținem în final 2x minus 3 pe lângă 3x plus 5.
Voi continua mai jos 6x la 2a plus x minus 15 se descompune în 2x minus 3 pe lângă 3x plus 5.
Și acum revenim la fracția inițială pe care o să o mai scriu încă o dată.
2x la 2a minus 5x plus 3 supra 6x la 2a plus x minus 15 egal.
La numărător avem x minus 1 pe lângă 2x minus 3 supra 2x minus 3 pe lângă 3x plus 5.
Se simplifică 2x minus 3 cu 2x minus 3 și în final obținem x minus 1 supra 3x plus 5.