Transcript: Cubul sumei și al diferenței
Să vedem acum ce formulă vom obține pentru cubul unei sume, precum și pentru cubul unei diferențe.
Și avem aici o sumă de două numere reale, să notăm că a și b sunt numere reale, și vrem să calculăm cubul acestei sume.
Păi, cum putem să exprimăm cubul unui număr?
Putem să-l scriem ca fiind produsul dintre numărul respectiv, în cazul nostru această sumă, și pătratul său, adică pătratul acestei sume.
Și vom avea a plus b înmulțit cu, avem aici o sumă de doi termeni ridicată la pătrat, deja aceste formule se cunosc din clasa șaptea, nu voi insista, a pătrat adunat cu 2a b adunat cu b pătrat.
Vrem să desfacem acum parantezele, deci fiecare termen din prima paranteză se va înmulți cu fiecare din a doua.
Avem a ori a la a doua înseamnă a la a treia adunat cu a ori 2a b, deci 2a b adunat cu a înmulțit cu b pătrat.
Absolut același lucru îl vom face și pentru b, b înmulțit cu a la a doua adunat mai departe cu b înmulțit cu 2a b și în final avem b ori b pătrat, adică b la a treia.
A la a treia adunat cu, pe aici deja putem să mai calculăm a înmulțit cu 2 ori a ori b, păi a ori a înseamnă a pătrat, deci vom avea 2a pătrat b adunat cu a b pătrat adunat mai departe cu,
Haideți să trecem mai întâi tot litera a, adică a pătrat b adunat aici cu, b ori b înseamnă b pătrat, deci avem 2 ori a ori b pătrat plus b la a treia.
Bun, deci avem a la a treia adunat cu, mai putem să facem câteva calcule pentru că iată aici avem 2a pătrat b și aici avem a pătrat b, iar aici avem a b pătrat și aici 2a b pătrat.
Adunând acest termen cu acesta, de fapt adunăm 2 cu 1 ne dă 3a pătrat b adunat cu a b pătrat plus de 2 ori a b pătrat înseamnă 3a b pătrat adunat în final cu b la a treia.
Deci haide să notăm că avem a plus b totul la a treia ne-a dat exact ce am trecut aici, chiar putem să încadrăm, am obținut formula pentru cubul unei sume de două numere reale.
Acum, cum reținem această formulă? Păi în primul rând putem să observăm faptul că termenii pe care i-am obținut sunt termeni de gradul al treilea, avem aici a la a treia, aici avem un produs dintre un număr ridicat la a doua și unul ridicat la a întâia, deci avem un termen de gradul al treilea, la fel și aici, la fel și aici.
Deci a adunat cu b totul la a treia ne-a dat primul termen ridicat la a treia, adunat cu de 3 ori pătratul primului termen înmulțit cu al doilea termen, adunat mai departe cu de 3 ori primul termen înmulțit cu pătratul celui de al doilea termen și adunat în final cu al doilea termen ridicat la a treia.
Dacă vrem să calculăm acum cubul diferenței, adică a minus b totul la a treia, fie putem să facem calculul cum am făcut mai sus sau putem să-l facem direct folosindu-ne de această formulă.
Iată, în loc de a îl vom avea de fapt tot pe a, însă în loc de b îl avem pe minus b. Aceasta este diferența între cele două formule.
Și haide să notăm, avem a la a treia, cum este aici, adunat cu 3 a pătrat, în loc de b îl trecem pe minus b, înmulțit cu minus b, adunat cu 3 ori a, înmulțit cu minus b totul la pătrat, adunat cu minus b la a treia.
Și haide să vedem ce am obținut. Avem aici a la a treia, aici avem un număr pozitiv, avem semnul plus, înmulțit cu semnul minus ne dă de fapt minus 3 a pătrat b, adunat cu 3 ori a, minus b la a doua ne va da b la a doua.
Și aici semnul minus ridicat din nou la un exponent impar va ieși din fața parantezei, deci avem minus b la a treia și avem a minus b totul la a treia ne-a dat ce am obținut aici.
Acum, unde își face simțită prezența semnul minus din fața lui minus b? Păi, semnul minus a apărut la acei termeni care îl conțin pe b la un exponent impar. Iată, aici exponentului b este 1 și ne-a apărut semnul minus.
Aici exponentului b este 3, tot numări impar și ne-a apărut semnul minus. Aici unde b a fost ridicat la un exponent par, am avut de fapt minus b la a doua, semnul minus a dispărut și ne-a rămas aici semnul plus.
A minus b totul la a treia ne dă a la a treia minus 3a pătrat b adunat cu 3a b pătrat minus b la a treia. Și acum, haide să aplicăm aceste două formule și să calculăm 2 plus radical din 5 totul la a treia.
Păi, fiind aici o sumă, înseamnă că vom aplica prima formulă. În prima formulă putem să observăm că peste tot avem semnul plus, deci nu trebuie să ne mai facem griji pentru semnul minus cum e la diferență.
Și avem primul termen ridicat la a treia, deci 2 la a treia adunat cu de 3 ori pătratul primului termen, deci 2 la a doua înmulțit cu al doilea termen radical din 5 plus 3 înmulțit cu primul termen, adică 2 înmulțit cu pătratul celui de al doilea termen radical din 5 la pătrat înmulțit cu ultimul termen, adică al doilea termen ridicat la a treia.
Și facem calculul. 2 la a treia înseamnă 8 adunat cu 2 la a doua 4 ori 3, 12 radical din 5 plus 3 ori 2, 6 înmulțit cu radical din 5 la pătrat înseamnă 5 plus, aici avem radical din 5 la a treia, păi putem să-l scriem radical din 5 la pătrat ori radical din 5.
De fapt vom avea aici 5 radical din 5. Haide să ștergem. 5 radical din 5. Și însumăm, iată aici avem 6 ori 5, 30 cu 8, 38 adunat cu 12 radical din 5 plus 5 radical din 5 adunăm 12 cu 5, 17 radical din 5.
Și am făcut acest calcul, acest cubul acestei sume. Următorul exercițiu. 4 minus radical din 3 la a treia. Păi având aici o diferență înseamnă că vom aplica cea de-a doua formulă de să fim atenți la semne acolo unde ne apare semnul minus.
Și avem primul termen ridicat la a treia, deci 4 la a treia, apoi de 3 ori pătratul primului termen, deci 3 ori 4 la a doua înmulțit cu al doilea termen, deci cu radical din 3.
Cum acest termen este la exponentul 1 înseamnă că o să ne apare semnul minus, ca în formulă. Apoi de 3 ori primul termen înmulțit cu pătratul celui de-al doilea termen, adică radical din 3 la a doua.
Acum ne apare aici o putere pară, înseamnă că vom avea semnul plus. Iată corespondența cu formula. Și avem apoi acest termen ridicat la a treia, avem o putere în pară, deci ne apare minus radical din 3 la a treia.
Și acum facem calculul, 4 la a treia ne dă 64 minus 4 la a doua 16 ori 3,48 radical din 3 plus, aici ne dă 3 înmulțit cu 3 nouă ori 4,36 minus radical din 3 la a treia înseamnă 3 radical din 3.
Și facem calculul, 64 cu 36 înseamnă 100 minus 48 radical din 3 adunat cu minus 3 radical din 3 ne dă minus 51 radical din 3.
Următorul exercițiu, 1 supra 3x minus 2 totul la a treia, avem tot așa diferență, deci aplicăm a doua formulă. Și avem primul termen ridicat la a treia, 1 supra 3x, acesta e primul termen totul la a treia,
apoi avem de 3 ori primul termen ridicat la pătrat, deci 1 supra 3x ridicat la pătrat înmulțit cu al doilea termen, deci cu 2, cum acesta are exponentul 1 înseamnă că aici ne apare semnul minus,
apoi de 3 ori primul termen, 1 supra 3x înmulțit cu al doilea termen ridicat la a doua, deci 2 la a doua, putere par înseamnă că aici avem plus și în final vom avea minus acest termen la a treia, adică 2 la a treia.
1 supra 3 înmulțit cu x totul la a treia înseamnă că fiecare factor al acestui produs se ridică la a treia și vom avea 1 supra 27x la a treia minus, avem aici 3 înmulțit cu, acest produs se ridică la pătrat, deci 1 supra 9x pătrat înmulțit cu 2 adunat cu, avem 3 ori 1 supra 3 înmulțit cu x înmulțit cu 2 la a doua,
aici putem să simplificăm, ne dă 1 și 1, nu mai scriu să nu încărcăm notația și avem 4x, deci plus 4 ori x minus 2 la a treia, adică 8 și avem 1 supra 27x la a treia, tot așa aici putem să simplificăm prin 3, aici ne rămâne 1 și aici ne va da 3,
deci haideți să notăm, o să ne dea 2 supra 3 x pătrat plus 4x minus 8 și s-a încheiat.