Transcript: Criteriul majorării

Muzica
Se dă șirul a n egal cu sinus de 1 plus sinus de 2 plus puncte puncte plus sinus de n supra n pătrat plus 2
și se cere să calculăm limita acestui șir.
Pentru rezolvarea acestui exercițiu vom utiliza criteriul majorării,
adică vom majora acest șir cu un altul, a cărui limită va fi 0,
iar conform criteriului majorării șirul dat va avea și el limita 0.
Iată cum sună criteriul majorării, fie a n un șir,
dacă există un număr real a și un șir b n,
astfel încât modul din a n minus a să fie mai mic sau egal decât b n,
și b n tinde la 0, atunci a n tinde la a.
Un caz particular foarte des utilizat este cel al șirurilor convergente la 0,
astfel în cazul în care a este 0, atunci se obține următorul rezultat.
Dacă modul din a n este mai mic sau egal decât b n,
și b n tinde la 0, atunci a n va avea limita 0.
În rezolvarea exercițiului vom folosi acest caz particular
și vom arăta că șirul dat este convergent la 0.
Pentru început calculăm modul din a n,
adică modul din sin1 plus sin2 plus puncte puncte plus sin n supra n pătra plus 2.
Știm că modulul unui raport este egal cu raportul modulelor
și avem modul din sin1 plus sin2 plus sin n supra n pătra plus 2.
La numitor nu mai e necesar să scriem modulul deoarece n este număr pozitiv.
În continuare vom aplica o altă proprietate a modulului
și anume modulul unei sume este mai mic sau egal cu suma modulelor,
adică modul din x plus y este mai mic sau egal cu modul din x plus modul din y.
Vom aplica această proprietate extinsă pentru n numere
și obținem că șirul a n este mai mic sau egal cu modul din sin1 plus modul din sin2 plus puncte puncte plus modul din sin n supra n pătra plus 2.
Sinul ea întotdeauna valori cuprinse între minus 1 și 1,
deci modul din sin x este întotdeauna mai mic sau egal cu 1.
Prin urmare, fiecare modul de la numărător va fi mai mic sau egal cu 1.
Și având în vedere că sunt n termeni, fracția va fi mai mică sau egală cu n supra n pătra plus 2.
Am obținut astfel șirul n supra n pătra plus 2.
Acesta este șirul bn din teorema de mai sus,
iar limita sa este egală cu 0, deoarece gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.
Confort criteriului majorării, limita șirului a n va fi de asemenea egală cu 0.