Transcript: Criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon

În acest videoclip voi prezenta criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon,
adică un rezultat echivalent cu cel dat în definiția limitei unui șir.
Să ne reamintim definiția limitei unui șir.
Dacă xn este un șir de numere reale, știm că șirul xn are limită dacă există L aparținându-i R-varat,
astfel încât orice vecinătate alui L conține toți termenii șirului cu excepția unui număr finit de termeni.
Să analizăm această definiție.
Considerăm L un număr real, limită a șirului xn.
O vecinătate oarecare centrată în L este V egal cu L minus epsilon, L plus epsilon, cu epsilon mai mare ca zero.
Conform definiției limitei unui șir, în afara vecinătății se găsesc un număr finit de termeni, de exemplu aceștia,
și în interiorul vecinătății se află un număr infinit de termeni.
Adică există un rang N care depinde de epsilon, începând cu care toți termenii șirului se află în vecinătatea V.
Am spus că acest rang N depinde de epsilon pentru că, de exemplu în cazul acestei vecinătăți, avem 11 termeni în afara vecinătății.
Dacă iau o altă vecinătate, pot avea mai mulți sau mai puțini termeni în afara vecinătății.
Să luăm un exemplu pentru a lămuri de ce acest rang depinde de epsilon.
Considerăm șirul a N egal cu 1 pe N, știm că limita acestui șir este zero.
Am scris câțiva termeni a șirului, 1, 1 pe 2, 1 pe 3, 1 pe 4 și așa mai departe, și am și reprezentat pe axa numerelor câțiva termeni.
Voi considera vecinătatea V1 egală cu minus 3 pe 2, 3 pe 2, am reprezentat-o cu verde.
Această vecinătate este o vecinătate a lui zero, epsilon în acest caz este 3 pe 2, pentru că vecinătatea V1 se poate scrie ca 0 minus 3 pe 2, 0 plus 3 pe 2.
În acest caz, toți termenii șirului se găsesc în vecinătate, adică rangul începând cu care toți termenii șirului sunt în vecinătate este rangul 1.
Începând cu primul termen al șirului, toți termenii se află în vecinătate.
Am considerat apoi vecinătatea V2 egală cu minus 1, 1, am reprezentat-o cu crămiziu.
V2 este la rândul ei o vecinătate a lui zero, de data aceasta epsilon este egal cu 1, pentru că V2 poate fi scrisă ca 0 minus 1, 0 plus 1.
În acest caz, în afară a vecinătății se află un singur termen al șirului, a1 egal cu 1, iar în interiorul vecinătății se vor afla toți termenii șirului începând cu al doilea, adică N de epsilon este în acest caz egal cu 2.
Am considerat și vecinătatea V3 egală cu minus 1, 1, și aceasta este o vecinătate a lui zero, în acest caz epsilon este 1, pentru că V3 poate fi scrisă ca 0 minus 1, 0 plus 1.
În acest caz, în afară a vecinătății V3 se găsesc primii trei termeni a șirului, adică 1, 1x2 și 1x3, adică rangul începând cu care toți termenii șirului se găsesc în vecinătate este rangul 4.
Începând cu al patrulea termen, toți termenii șirului se găsesc în vecinătatea V3, deci N de epsilon este egal cu 4.
Bun, să revenim. Spuneam că există un rang N de epsilon începând cu care toți termenii șirului xn se află în vecinătatea V.
Relația xn aparține lui V se poate scrie sub formă echivalentă astfel, xn aparține lui L minus epsilon L plus epsilon, echivalent cu L minus epsilon mai mic decât xn mai mic decât L plus epsilon,
adică xn este mai mare decât L minus epsilon și mai mic decât L plus epsilon, pentru că se găsește în intervalul cu extremitățile L minus epsilon L plus epsilon.
Scădem el din toți membrii în egalităților și vom obține minus epsilon mai mic decât xn minus L mai mic decât epsilon, ceea ce este echivalent cu modul din xn minus L mai mic decât epsilon.
Deci, faptul că există un rang N de epsilon începând cu care toți termenii șirului se găsesc în vecinătatea V se poate scrie matematic astfel, există N de epsilon cu proprietatea că modul din xn minus L mai mic decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon.
Deoarece pentru definirea limitei unui șir este suficient să considerăm numai vecinătățile centrate în L, se poate enunța următoarea teoremă de caracterizare a limitei.
Criteriul de convergență cu epsilon
Pentru că în această teoremă este vorba de o echivalență, pentru a demonstra teorema trebuie să luăm în considerare ambele implicații.
Dacă L este limita șirului xn, atunci are loc această propoziție și a doua implicație, dacă are loc această propoziție, să arătăm că L este limita șirului.
Demonstrăm prima implicație. Știm că limita șirului xn este L și vrem să arătăm că are loc această propoziție.
Fie L limita șirului xn și considerăm epsilon mai mare decât 0.
Conform definiției limitei șirului xn, înseamnă că în orice vecinătate v alui L, v egal cu L minus epsilon L plus epsilon, se găsesc o infinitate de termeni, iar în afara vecinătății v se găsesc un număr finit de termeni.
Am notat termenii care se găsesc în afara vecinătății v, xn1, xn2, xnp, unde n1, n2 și așa mai departe np aparțin lui n stelat.
Notăm cu m maximul dintre n1, n2 și np, adică este cel mai mare rang al unui termen care se află în afara vecinătății.
Atunci, pentru n mai mare sau egal cu n plus 1, avem că toți termenii xn aparțin lui v se vor găsi în vecinătate.
Acest lucru este echivalent cu modul din xn minus L mai mic decât epsilon.
Am arătat înainte că xn aparțin lui v este echivalent cu modul din xn minus L mai mic decât epsilon.
Vom considera că n de epsilon este egal cu n plus 1.
Înseamnă că am arătat că există n de epsilon aparținând lui n stea cu proprietatea că modul din xn minus L este mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.
Și pentru că tot ceea ce am demonstrat pentru această vecinătate v a lui L este adevărat pentru orice altă vecinătate v a lui L, înseamnă că această propoziție este adevărată pentru orice epsilon pozitiv.
Am arătat că dacă L este limita șirului xn, atunci pentru orice epsilon există n de epsilon din n stea cu proprietatea că modul din xn minus L este mai mic decât epsilon, adică ceea ce trebuia să arătăm.
Vom demonstra acum implicația inversă.
De data aceasta știm că pentru orice epsilon pozitiv există n de epsilon aparținând lui n stea cu proprietatea că modul din xn minus L este mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon, adică știm această propoziție și vrem să arătăm că L este limita șirului xn.
Pentru orice vecinătate v a lui L, noi trebuie să arătăm că există un număr finit de termene a ieșirului care se găsesc în afara vecinătății.
Dacă v este o vecinătate a lui L, știm că există un epsilon pozitiv cu proprietatea că intervalul deschis L minus epsilon L plus epsilon este inclus în v.
Din ipoteză știm că există n de epsilon din n stea cu proprietatea că modul din xn minus L este mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon,
ceea ce este echivalent cu există n de epsilon din n stea cu proprietatea că xn aparține intervalului deschis L minus epsilon L plus epsilon,
interval deschis care știm că este inclus în v și acest lucru se întâmplă pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon.
Adică în afara vecinătății v a lui L există un număr finit de termene a ieșirului xn, ceea ce înseamnă că limita șirului xn este L.
Cu aceasta am demonstrat și a doua implicație și teorema este demonstrată.
Avem o teoremă similară și pentru situația în care limita șirului este infinită, plus infinit sau minus infinit. Această teoremă se mai numește criteriul cu epsilon pentru limită infinită.
Dacă xn este un șir de numere reale, șirul xn are limita plus infinit, dacă și numai dacă pentru orice număr pozitiv epsilon se poate găsi un rang n de epsilon din n stea,
astfel încât pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon să avem că xn este mai mare decât epsilon.
Și limita șirului xn este minus infinit, dacă și numai dacă pentru orice număr pozitiv epsilon se poate găsi un rang n de epsilon din n stea, astfel încât pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon să avem că xn este mai mic decât minus epsilon.
Ambele supuncte ale teoremei se demonstrează printr-un demers similar cu cel pe care l-am parcurs în demonstrarea criteriului de convergență cu epsilon.
De exemplu, pentru cazul în care limita șirului xn este plus infinit, se demonstrează ambele implicații.
Pentru implicația directă presupunem că limita șirului xn este plus infinit și ne folosim de definiția cu vecinătăți a unui șir care are limita plus infinit.
Aceasta înseamnă că în orice vecinătate v alui plus infinit se găsesc o infinitate de termeni ai șirului, iar în afara vecinătății se află cel mult un număr finit de termeni.
V fiind o vecinătate a alui plus infinit, înseamnă că v este un interval de forma epsilon deschis plus infinit închis cu epsilon pozitiv și atunci vom considera că n de epsilon este cel mai mare rang al unui termen care se află în afara vecinătății v.
Atunci pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon vom avea că xn este mai mare decât epsilon.
Reciproc, dacă v este o vecinătate alui plus infinit, o vecinătate oarecare, există v' un interval de forma epsilon plus infinit cu epsilon pozitiv care este inclus în v.
Din enunțul teoremei știm că există n de epsilon, un rang, astfel încât pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon, xn este mai mare decât epsilon.
Cu alte cuvinte există un rang n de epsilon, astfel încât pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon să avem că xn aparține lui v' care este inclusă în v.
Deci în afara vecinătății v se află un număr finit de termeni a ieșirului.
Deci sub punctul a este demonstrat.
Demonstrați singuri sub punctul b al acestei teoreme.
O observație, deoarece condiția din definiția limitei cu vecinătăți a unui șir este echivalentă cu condiția din criteriul de convergență cu epsilon, respectiv criteriul cu epsilon pentru limită infinită,
cele două criterii pot fi considerate ca definiție a limitei infinite, respectiv finite, a unui șir.
Deci pentru limita unui șir avem două definiții, definiția cu vecinătăți și definiția cu epsilon.