Transcript: Criteriile de divizibilitate cu 2, 5 și 10

Haideți să facem acum o scurtă reamintire. Cum citim această scriere? Avem aici 2, o bară verticală și 16.
Păi citim 2 divide pe 16 sau, scriere echivalentă, deci echivalent cu, dacă vrem să scriem mai întâi numărul mare, deci 16, putem scrie 16, 3 puncte și apoi îl trecem pe 2.
Și citim 16 divizibil cu 2. De ce are loc această relație? 2 divide pe 16 sau, echivalent, altfel spus, 16 divizibil cu 2.
Cum verificăm? Păi trebuie să vedem dacă împărțirea 16 împărțit la 2 este o împărțire exactă și obținem aici 8 rest 0.
Cum restul este 0 înseamnă că, într-adevăr, avem o împărțire exactă, deci avem relație de divizibilitate.
Alt exemplu, 16. Să vedem acum dacă este divizibil cu 3 și trecem aici semnul întrebării.
Cum verificăm acest lucru? Foarte ușor, îl împărțim pe 16 la 3. 16 împărțit la 3 ne dă 5, rest 1.
Deci nu avem, nu este o împărțire exactă. Dacă nu avem o împărțire exactă înseamnă că 16 nu este divizibil cu 3.
Deci venim aici și ștegem semnul de întrebare și să scriem și relația echivalentă, deci e echivalent cu a spune că 3 nu îl divide pe 16.
Deci, ca să verificăm dacă avem, într-adevăr, o relație de divizibilitate, facem împărțirea.
Însă, să știți că în unele situații, folosind anumite metode, nu e nevoie să facem aceste împărțiri și acele metode pe care le vom folosi se numesc criterii de divizibilitate și despre asta discutăm în continuare.
Și începem cu criteriul de divizibilitate cu 2. Și am scris aici câteva numere. Iată, avem numerele de la 0 până la 26 și pe restul nu ne-am mai trecut.
Ce știm despre numerele naturale? O parte din ele sunt pare, iar cealaltă parte e reprezentată de numere impare. Care sunt numerele pare din lista noastră?
Păi avem așa, avem 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 26 și așa mai departe.
De fapt, ce înseamnă număr par? Un număr este par dacă el se împarte exact la 2. Deci, dacă a este un număr natural par, înseamnă că a se împarte exact la 2. Cu alte cuvinte, a este cum? Este divizibil cu 2.
Bun, și cum arată acum numerele pare? Păi haideți să vedem. Avem aici 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 26 și observăm și la fel și aici 0, 2, 4, 6, 8. Toate au ultima cifră 0 sau 2 sau 4 sau 6 sau 8.
De fapt, orice număr natural care are ca ultima cifră una din acestea 0, 2, 4, 6 sau 8 este un număr par, adică un număr divizibil cu 2. Și criteriul este acesta, că un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră asta este 0, 2, 4, 6 sau 8.
Și haideți să dăm câteva exemple. Numărul 12. Este 12 divizibil cu 2? Sigur, ultima cifră asta este 2. Sau 398 este divizibil cu 2? Da, ultima cifră este 8, iată, e în lista noastră.
4 este divizibil cu 2? Și 4 este divizibil cu 2. Sau 0 și 0 este divizibil cu 2? La fel și 510 este divizibil cu 2? Tot așa, ultima cifră este 0. Sau 714.076? Acest număr este divizibil cu 2? Da, ultima cifră asta este 6.
Dar numărul 27 este divizibil cu 2? Nu, ultima cifră a lui este 7, nu apare în lista acestor cifre, deci 27 nu este divizibil cu 2. Acesta este criteriul de divizibilitate cu 2 și este foarte ușor de reținut.
Următorul criteriu este criteriul de divizibilitate cu 5. Când un număr natural este divizibil cu 5? Hai să ne gândim puțin. Să considerăm că avem N, un număr natural, și știm despre N că este divizibil cu 5.
Ce înseamnă asta? Înseamnă că împărțirea N împărțit la 5 este o împărțire exactă, deci știm că restul acestei împărțiri este 0 și câtul? Haideți să notăm cu C mic de la cât. Din teorema împărțirii cu rest, ce vom obține?
Haideți să notăm și teorema împărțirii cu rest. Ce rezultă? Cum mai putem scrie această relație? De împărțitul, adică N, este egal cu produsul dintre împărțitor și cât, deci avem 5 orice adunat cu restul care este 0, deci plus 0.
Cu alte cuvinte, N se scrie 5 ori un număr natural. Deci, orice număr care este divizibil cu 5 are această formă. Se scrie 5 ori un număr natural. Ce putem spune despre numerele de acest tip?
Haideți să îl mulțim pe 5, de exemplu cu 1, să vedem ce obținem. 5 ori 1 ne dă 5, 5 ori 2 ne dă 10, 5 înmulțit cu 3 ne dă 15, mai departe, 5 ori 4, 20, 5 ori 5, 25, și așa mai departe.
Ce observăm? Atunci când înmulțim 5 cu un număr natural, ultima cifră a rezultatului este 5 sau 0. Peste tot am obținut 5 sau 0.
Asta înseamnă că, de fapt, orice număr care se termină în 5 sau în 0, adică, de fapt, un număr de această formă, este un multiplu a lui 5, adică este divizibil cu 5.
Haideți să vedem și enunțul. Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a sa este 0 sau 5. Și să dăm câteva exemple.
70 este divizibil cu 5, sigur, ultima cifră este 0. 185 este divizibil cu 5 și el este divizibil, ultima cifră este 5.
2015. Nu e nevoie să facem vreo împărțire ca să vedem dacă este divizibil cu 5 pentru că 2015 are ultima cifră 5, deci clar, conform acestui criteriu, este divizibil cu 5.
Dacă ați înțeles explicația de la criteriu de divizibilitate cu 5, deja o să vă dați seama foarte ușor și la acest criteriu,
de forma numerelor care sunt divizibile cu 10. Haideți să considerăm N, număr natural, care este divizibil cu 10.
Aici rezultă că împărțirea N împărțit la 10 este cum am spus o împărțire exactă, deci restul împărțirii știm sigur că este 0.
Și câtul? Haideți să notăm la fel cu c.
Rezultă, la fel ca înainte, din teorema împărțirii cu rest, ce vom obține?
Că de împărțitul, adică N, este egal cu produsul dintre împărțitori și cât?
Acum avem 10 înmulțit cu c, adunat cu restul care este 0, deci plus 0.
Cu alte cuvinte, N se scrie 10 ori c.
Cum arată acum numerele care au această formă?
10 înmulțit cu număr natural.
Păi, 10 ori 1 ne dă 10, 10 ori 2 obținem 20, 10 ori 3, 30, așa mai departe, 10 ori 531 ne dă 5310, 10 ori 555 ne dă 5550, și așa mai departe.
Ce observăm? Că toate aceste numere au ca ultimă cifră P0.
Deci, un număr care are ultima cifră 0 este, de fapt, un multiplu de 10.
Cu alte cuvinte, este un număr divizibil cu 10.
Haideți să vedem și enunțul.
Un număr natural e divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifra sa este 0.
Deci, 70 este divizibil cu 10? Da.
2350 este divizibil cu 10?
Sigur.
670 este divizibil și el cu 10?
Da.
980 din nou divizibil cu 10 pentru că toate aceste numere au ultima cifră 0.
Deci, e foarte ușor să reținem și acest criteriu de divizibilitate cu 10.