Transcript: Criterii de asemănare a triunghiurilor

Criterii de asemănare a triunghiurilor
Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, nu este nevoie să verificăm toate cele trei relații de congruență dintre unghiurile acestora,
respectiv relația de proporționalitate dintre toate cele trei laturi.
Așa cum rezultă din teoremele următoare, pe care o să le numim cazuri de asemănare, este suficient să verificăm doar două condiții.
Și începem cu primul caz de asemănare.
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri respectiv congruente.
Vom demonstra această teoremă.
Avem două triunghiuri ABC și A'B'C'.
Se știe că unghiul A este congruent cu unghiul A' și unghiul B este congruent cu unghiul B'.
Trebuie să demonstrăm că cele două triunghiuri sunt asemenea.
Pentru aceasta o să facem o construcție ajutătoare.
O să ducem o paralelă la dreapta BC pe care o notăm cu MN,
astfel încât segmentul AM să fie congruent cu segmentul A'B'.
Ne propunem să arătăm că triunghiul AMN este congruent cu triunghiul A'B'C'
și că triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul ABC.
Dacă reușim să demonstrăm aceste două lucruri, va rezulta că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
Dacă MN este paralelă cu BC,
va rezulta că unghiul AMN este congruent cu unghiul ABC, fiind unghiuri corespondente.
Unghiul AMN va fi congruent cu unghiul ABC, pentru că sunt unghiuri corespondente.
Însă unghiul ABC este congruent cu unghiul A'B'C' din ipoteză.
Din aceste două relații, va rezulta că unghiul AMN este congruent cu unghiul A'B'C'.
Și acum să arătăm că triunghiul AMN este congruent cu triunghiul A'B'C'.
Se știe din ipoteză că unghiul A este congruent cu unghiul A',
apoi segmentul AM este congruent cu A'B' din construcția făcută,
AM congruent cu A'B', pentru că așa am construit segmentul AM,
iar unghiul AMN este congruent cu unghiul A'B'C', pentru că tocmai am arătat acest lucru.
Din aceste trei relații, va rezulta, conform cazului de congruență unghi-latură-unghi,
că triunghiul AMN este congruent cu triunghiul A'B'C'.
Dacă MN este paralelă cu BC, rezultă, conform teoremei fundamentale a asemănării,
că triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
MN este paralelă cu BC și atunci rezultă, din teorema fundamentală a asemănării,
că triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
Dar triunghiul AMN fiind congruent cu triunghiul A'B'C',
va rezulta că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
Am demonstrat astfel primul caz de asemănare sau criteriu pe care o să-l reamintesc.
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri respectiv congruente.
Astfel, dacă unghiul A este congruent cu unghiul A' iar unghiul B este congruent cu unghiul B',
rezultă că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
Iar din această relație de asemănare va mai rezulta că unghiul C este congruent cu unghiul C'
și că laturile acestor două triunghiuri sunt proporționale.
AB'A'B' este egal cu AC'A'C' și egal cu BC'AB'C'.
O a doua teoremă pe care nu o să o mai demonstrez, sau cazul 2 de asemănare,
se va enunța astfel, două triunghiuri sunt asemenea dacă au două laturi respectiv proporționale
și unghiurile dintre acestea congruente.
Dacă unghiul A este congruent cu unghiul A' și laturile care formează unghiurile A și A' sunt proporționale,
adică AB'A'B' este egal cu AC'A'C',
atunci va rezulta că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C'
iar din asemănarea lor rezultă că unghiurile B și B' sunt congruente,
la fel și unghiurile C și C'
și va mai rezulta că toate cele trei laturi ale triunghiurilor vor fi proporționale.
Teorema 3, sau cazul 3 de asemănare, două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile respectiv proporționale.
Dacă AB'A'B' este egal cu AC'A'C' și egal cu BC'AB'C'
atunci va rezulta că triunghiurile sunt asemenea
iar din asemănarea acestora va rezulta că toate cele trei unghiuri corespondente sunt congruente.
Unghiul A va fi congruent cu unghiul A', unghiul B cu unghiul B' și unghiul C cu unghiul C'.
Observăm că din asemănarea triunghiurilor putem deduce congruente de unghiuri sau egalități de rapoarte.
Astfel, pentru a demonstra congruenta unor unghiuri, avem acum două posibilități.
Fie încadrăm unghiurile în două triunghiuri congruente, fie le încadrăm în două triunghiuri asemenea.
În continuare o să facem o aplicație.
Demonstrați că raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului lor de asemănare.
Avem două triunghiuri ABC și A'B'C' asemenea.
Trebuie să arătăm că raportul dintre aria triunghiului ABC și aria triunghiului A'B'C' este egal cu AB supra A'B' totul la pătrat.
Am construit înălțimile în cele două triunghiuri AM și A'M'.
Fie AM perpendiculară pe BC și în acest caz aria triunghiului ABC va fi egală cu baza BC ori înălțimea AM supra 2.
Iar dacă AM este perpendiculară pe BC atunci aria triunghiului AB'B'C' este egală cu BC ori AM supra 2.
Se știe din ipoteză că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C'.
În acest caz putem să scriem următoarea egalitate de rapoarte.
AB supra A'B' va fi egal cu BC supra B'C' și egal cu AC supra A'C'.
Tot din relația de asemânarea celor două triunghiuri mai rezultă că unghiul B este congruent cu unghiul B'
deoarece două triunghiuri asemenea au toate unghiurile respectiv congruente.
Să ne uităm acum la triunghiurile ABM și A'B'M'.
Observăm că aceste două triunghiuri sunt asemenea deoarece au două unghiuri respectiv congruente.
Unghiul B este congruent cu unghiul B' și unghiul AMB este congruent cu unghiul A'M'B' deoarece sunt unghiuri drepte.
Unghiul AMB este congruent cu unghiul A'M'B' deoarece acestea au măsura egală cu 90 de grade.
Din aceste două relații va rezulta, conform primului caz de asemânare, că triunghiul ABM este asemenea cu triunghiul A'B'M'.
Din asemânarea acestor două triunghiuri va rezulta următoarea egalitate de rapoarte.
Ab supra A'B' este egal cu Am supra A'M' și egal cu Bm supra B'M'.
Acum să exprimăm raportul ariilor al celor două triunghiuri.
Area triunghiului ABC supra area triunghiului A'B'C' va fi egal cu BC ori AM supra 2 supra B'C' ori A'M' supra 2.
Împărțim prima fracție la a doua.
BC ori AM supra 2 împărțit la B'C' ori A'M' supra 2.
Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa cele de a doua.
Se simplifică 2 și 2.
Și obținem BC ori AM supra B'C' ori A'M'.
Această fracție se poate scrie ca un produs de două fracții.
BC supra B'C' ori AM supra A'M'.
Însă BC supra B'C' este egal cu AB supra A'B' iar AM supra A'M' este egal cu AB supra A'B'.
Vom scrie egal mai departe cu AB supra A'B' ori AB supra A'B' care va fi egal cu AB supra A'B' totul la pătrat.
Am demonstrat așadar că raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.