Transcript: Conul circular drept (descriere, desfășurare, formule)

Să discutăm acum despre conul circular drept. Care sunt elementele lui?
Baza este un cerc, iată, iar suprafața laterală se desfășoară în plan după un sector de cerc.
Ce am reprezentat aici cu mov este desfășurarea suprafeței laterale, iar cercul de la bază, iată, se regăsește aici.
Înfășurând acest sector de cerc, astfel încât această parte să se suprapună perfect peste aceasta, vom obține un con circular drept.
Să trecem și elementele. Voi nota aici cu o, centrul cercului de la bază, deci trebuie să trecem și aici tot, o vorbim de același cerc,
și să notăm cu R mic raza cercului, deci trecem R mic.
Generatoarea conului este aceasta și, atenție, generatoarea conului reprezintă, de fapt, raza acestui sector de cerc.
Înălțimea unui con, adică acest segment, care este perpendicular pe bază, trece prin centrul cercului de la bază
și putem să notăm aici cu V, V o este înălțimea, o să trec H și aici raza o putem nota, de exemplu, și O A.
Să găsim acum formulele pentru area laterală, area totală și volumul, însă facem mai întâi o observație foarte importantă și anume, deci trecem aici, atenție,
ce observăm? Înălțimea este diferită de generatoare, deci nu se întâmplă cum era la cilindru circular drept, în care generatoarea era congruentă cu înălțimea cilindrului.
Aici, înălțimea este diferită de generatoarea conului.
Cum determinăm acum formula pentru area laterală?
Păi, area laterală reprezintă, de fapt, area suprafeței laterale, adică area acestui sector de cerc.
Atunci, să notăm egal cu area sectorului de cerc.
Păi, cu cât este egală area unui sector de cerc?
Trecem aici, area unui sector de cerc, în acest caz, este egală cu, ne amintim formula, și avem pi înmulțit cu rază la a doua, aici raza este reprezentată de generatoare,
deci avem g pătrat, pentru că vorbim de raza acestui sector de cerc, supra 360 de grade înmulțit cu n grade, unde n grade reprezintă măsura unghiului sectorului de cerc, adică aici avem n mic grade.
Deci, area laterală poate fi exprimată sub această formă, pi or gelado, asupra 360 înmulțit cu n grade, însă dacă nu știm măsura acestui unghi, atunci lucrurile sunt mai complicate puțin.
De aceea, să facem în așa fel, încât să exprimăm area laterală, fără să ne mai apară aici măsura acestui unghi.
Cum să facem acest lucru?
Păi ce mai cunoaștem?
Iată, acest cerc se obține din înfășurarea acestui sector de cerc, astfel încât acest punct să se suprapună perfect peste acesta și astfel se obține la bază cercul respectiv.
Păi ce înseamnă asta?
Înseamnă că lungimea acestui cerc este egală cu lungimea arcului de aici, arcului sectorului de cerc.
Deci putem să trecem că lungimea cercului, mă refer la lungimea acestui cerc, lungimea cercului de la bază, este egală cu lungimea arcului sectorului de cerc.
Păi cu cât este egală lungimea unui cerc cu raza r mic?
Știm, deja avem 2 pi ori r mic, egal cu lungimea arcului sectorului de cerc, mă refer la acest arc, este egală cu, trecem aici, pi înmulțit cu raza, care este g,
supra 180 de grade înmulțit cu n grade, măsura acestui unghi.
Păi iată că de aici putem să exprimăm n grade, adică măsura acestui unghi și apoi ce vom obține vom înlocui aici în această relație.
Deci de aici rezultă că avem n grade este egal cu 2 pi ori r ori 180 de grade, 2 pi ori r ori 180 de grade supra pi ori g.
Sigur, putem să simplificăm aici pe pi și pi prin pi și ne rămâne aici 1 și 1, deci vom obține 2 r ori 180 de grade supra g.
Și acum nu facem altceva decât să înlocuim ce am obținut aici pentru n grade, adică această expresie o vom înlocui aici.
Și vom avea că area sectorului de cerc, iată, voi copia din nou, egal cu, trecem aici, deci rezultă pi înmulțit cu g la a doua supra 360 de grade înmulțit cu n grade,
care, iată, e în grade egal cu ce am notat aici, deci o să copiem, bun, și acum vedem ce avem de calculat.
360 de grade cu 180 de grade, simplificăm și ne rămâne aici 1 și aici 2, 2 cu 2, la fel simplificăm ne rămâne 1 și 1,
g pătrat și g simplificăm prin g și ne rămâne aici 1, aici ne rămâne g la puterea întâia, o să tai doar exponentul, și am obținut pi or g or r, deci egal mai departe cu pi r mic or g.
Să notăm prin urmare că area, deci rezultă de aici că area laterală se poate scrie și sub această formă, area sectorului de cerc, adică pi r g, pi or r or g.
Prin urmare, acestea sunt cele două metode prin care putem să exprimăm area laterală. Acum, ștergem aici ca să scriem și formula pentru area totală.
Sigur, e ușor de bănuit că area totală e egal cu area laterală plus area bazei, adică area laterală, deci avem aici pi or r or g plus area bazei, păi baza este un cerc de rază r mic, adică pi r mic la pătrat.
Putem acum să dăm factor comun pe pi or r și atunci vom avea că area totală este egală cu pi or r pe lângă g adunat cu r.
Nu ne-a mai rămas acum decât să exprimăm volumul. Formula pentru volum este următoarea. Avem area bazei ori înălțimea supra 3, putem să trecem așa, area bazei ori înălțimea supra 3, deci egal mai departe cu area bazei înseamnă pi r mic la pătrat ori înălțimea supra 3.
Mai facem acum o singură observație și anume ce legătură este între generatoarea conului, înălțimea conului și raza cercului de la bază.
Păi e foarte simplu de intuit, avem aici triunghiul VOA care este un triunghi dreptunghic în O, deci avem măsura unghiului, înainte o să trec și această relație aici, deci avem măsura unghiului VOA este egală cu 90 de grade, atunci rezultă din teorema lui Pitagora
ce vom obține, că VA la pătrat adică g la a doua, lungimea generatoarei la pătrat egal cu h la a doua plus r mic la a doua și iată că am găsit ce relație există între generatoarea conului, înălțimea conului și raza cercului de la bază.
Să încadrăm relația și am obținut astfel formula pentru area laterală a unui con circular drept, area totală și volumul.