Transcript: Conul circular drept (aplicații)
Să rezolvăm acum două aplicații cu conul circular drept.
Prima problemă se dă un con circular drept cu generatoarea de 5 centimetri și raza de 3 centimetri.
Să găsim area laterală, area totală și volumul conului.
Deci cunoaștem generatoarea care are lungimea de 5 centimetri, mai cunoaștem că raza se refere evident la raza cercului de la bază,
deci o să trec aici, raza este de 3 centimetri și să facem și câteva anotații, O centrul cercului de la bază și raza anotată cu OA.
Deci generatoarea are 5 centimetri, iar raza 3 centimetri.
Să găsim area laterală, trecem formula chiar cu altă culoare, deci area laterală este egală cu pi or R or G,
unde G este generatoarea, iar R mic este raza cercului de la bază, deci rezultă că avem area laterală egală cu pi înmulțit cu,
raza este 3, generatoarea este 5, deci avem aici numărul 5, 15 ori pi centimetri pătrați.
Area totală, trecem formula, avem pi or R pe lângă G plus R, de unde rezultă că area totală este egală cu pi înmulțit cu 3 pe lângă 5 plus 3,
trecem 5 plus 3, avem 8 ori 3, 24 pi centimetri pătrați.
Volumul cu cât este egal, trecem formula pentru volum, avem înălțimea supra 3 înmulțit cu area bazei, adică pi R mic la pătrat.
Rezultă că volumul este egal cu, avem nevoie acum să găsim înălțimea acestui con circular drept și haide să trasăm segmentul VO care reprezintă de fapt înălțimea,
Păi cum determinăm lungimea segmentului VO?
Foarte simplu, știm că avem această relație, avem aici că generatoarea la pătrat este egală cu, lungimea generatoarei la pătrat este egală cu următoarea sumă H la a doua plus R mic la a doua,
de unde rezultă că H la a doua egal cu G pătrat minus R mic la pătrat și atunci înlocuim, rezultă că vom avea așa, G la a doua, 5 la a doua, adică 25, minus 3 la a doua, adică 9, obținem 16, înseamnă că H este egal cu 4 centimetri, lungimea înălțimii.
Deci vom trece aici, 4 supra 3 înmulțit cu pi înmulțit cu 3 la a doua, avem 9 părți la treine de 3 ori 4, 12 pi centimetri cubi.
Următoarea problemă, un semicerc cu raza de 30 centimetri se înfășoară în jurul unei generatoare și se obține un con circular drept. Să determinăm raza cercului de la bază, area laterală, area totală și volumul conului.
Prin urmare, ni se dă un semicerc cu raza de 30 centimetri, deci avem un semicerc, am notat cu vet centrul cercului din care face parte acest semicerc și știm că raza este de 30 centimetri.
Știm că acest semicerc se înfășoară în jurul unei generatoare și se obține un con circular drept. Să determinăm raza cercului de la bază, area laterală, area totală și volumul acestui con.
Mai întâi trebuie să găsim raza cercului de la bază pe care, iată, o notez cu R mic și să vedem cum putem să determinăm lungimea acestei raze.
Cunoaștem în acest con că generatoarea care este egală cu raza sectorului de cerc, cu raza semicercului din care e construit, este de 30 centimetri și cum facem să găsim lungimea razei cercului?
Păi e destul de simplu pentru că, iată, lungimea cercului de la bază e dată de fapt de lungimea acestui semicerc și putem să notăm aici că lungimea cercului evident de la bază e egal cu lungimea semicercului sau putem să scriem lungimea arcului sectorului de cerc și sectorul de cerc aici este un semicerc.
Lungimea semicercului.
Bun și atunci haideți să notăm lungimea cercului știm că este 2 pi or R cu cât este egală lungimea unui semicerc.
Avem două variante putem să exprimăm lungimea semicercului în funcție de lungimea cercului din care face parte acest semicerc sau putem să folosim formula pe care am învățat-o la determinarea lungimii arcului unui sector de cerc și voi folosi această formulă să ne obișnuim cu ea.
Formula ne spune că lungimea arcului unui sector de cerc este egală cu pi înmulțit cu raza care este 30 de centimetri supra 180 de grade înmulțit cu n grade unde n este măsura unghiului sectorului de cerc.
Cazul nostru acest unghi aici avem 180 de grade pentru că e vorba de un semicerc deci n grade egal cu 180 de grade și acum înlocuim avem 2 pi R egal cu pi or 30 supra 180 de grade înmulțit cu 180 de grade și e ușor de văzut că putem să simplificăm aici și ne rămâne 1 și 1 chiar putem să împărțim această relație și la pi.
Și o să dispară pi și pi de aici și ne rămâne 2 or R egal cu 30 de unde rezultă că raza ne dă 15 centimetri și încadrăm am determinat raza cercului de la bază.
Să găsim acum area laterală trecem formula avem pi R or G rezultă că area laterală este egală cu pi înmulțit cu raza este 15 generatoarea 30 deci avem 450 pi centimetri pătrați.
Pentru area totală fie scriem formula pi R pe lângă G plus R sau putem să trecem că este egală cu suma dintre area laterală adică pi R G plus area bazei pi R mic la pătrat aceasta e baza de unde rezultă area totală egal cu aici deja am calculat area laterală avem 450 pi plus
R la a doua înseamnă 15 la pătrat adică 225 or pi și făcând suma vom obține 675 pi centimetri pătrați.
Pentru volum este egal cu înălțimea supra 3 înmulțit cu pi or R mic la pătrat acum înălțimea e de fapt segmentul VO.
Cum determinăm înălțimea unui icon circular drept foarte simplu știm că avem această relație o să trec aici facem așa o separare și trecem că avem următoarea formulă care ne spune că G la a doua egal cu H la a doua plus R la pătrat de unde rezultă că H la a doua egal cu G pătrat adică 30 la a doua.
Minus R mic la a doua 15 la a doua pe aici pe 30 la pătrat putem să scriem 15 la pătrat ori 2 la a doua deci vom avea că H la a doua egal cu 15 la a doua pe lângă 2 la a doua minus 1 și vom avea aici 15 la pătrat înmulțit cu 3 de unde e ușor de văzut că înălțimea
ne va da unde s-o trecem s-o trecem aici 15 radical din 3 centimetri bun și venim aici și înlocuim rezultă că volumul este egal cu linie de fracție 15 radical din 3 pe 3 înmulțit cu pi înmulțit cu 15 la pătrat da el este 15 adică 225.
Putem să simplificăm aici prin 3 ne rămâne 1 și 5 5 înmulțit cu 225 ne dă 1125 radical din 3 ori pi sau pi radical din 3 centimetri cubii și s-a încheiat am determinat și area laterală și area totală și volumul.