Transcript: Congruenţa triunghiurilor dreptunghice - aplicaţii

În triunghiul ABC fie M mijlocul segmentului AC.
Arătați că distanța de la punctul A la dreapta BM este egală cu distanța de la punctul C la dreapta BM.
Să facem și figura geometrică.
Avem un triunghi ABC oarecare și fixăm mijlocul segmentului AC pe care o să-l notăm cu M.
Trebuie să arătăm că distanța de la punctul A la dreapta BM este egală cu distanța de la punctul C la dreapta BM.
Dar pentru a construi distanța de la punctul C la dreapta BM, va trebui să prelungim segmentul BM,
astfel încât să putem duce perpendicularea din C pe latura BM.
Așadar, prelungim segmentul BM și ducem AD perpendiculară pe BM și CE perpendiculară pe BM.
Să scriem ipoteza și concluzia.
Avem un triunghi ABC și un punct M aparținând segmentului AC, astfel încât AM să fie congruent cu MC, adică M este mijlocul lui AC.
Trebuie să demonstrăm că distanța de la punctul A la dreapta BM este egală cu distanța de la punctul C la dreapta BM.
Demonstrație.
Să anunțăm mai întâi construcțiile pe care le-am făcut.
Adică AD perpendiculară pe BM și CE perpendiculară pe BM.
Din prima relație de perpendicularitate va rezulta că distanța de la A la dreapta BM va fi AD,
iar din a doua relație de perpendicularitate rezultă că distanța de la C la dreapta BM va fi CE.
Din aceste două relații mai rezultă că în triunghiul ADM, măsura unghiului ADM este egală cu 90 de grade, deci s-a format un triunghi dreptunghic.
Și, de asemenea, în triunghiul CEM, măsura unghiului CEM este de 90 de grade, așadar avem două triunghiuri dreptunghice.
Noi trebuie să arătăm că AD este congruent cu EC.
Pentru a demonstra congruența a două segmente, le încadrăm în două triunghiuri, a căror congruență se poate demonstra.
Vom încadra aceste două segmente în triunghiurile ADM și CEM.
Să vedem ce elemente congruente au aceste triunghiuri.
Având în vedere că sunt triunghiuri dreptunghice, este suficient să găsim două elemente respectiv congruente.
Mai întâi observăm că AM este congruent cu MC din ipoteză, deoarece M era mijlocul segmentului AC.
AM și MC sunt ipotenuze în cele două triunghiuri dreptunghice.
Deci putem să scriem această relație de congruență.
AM este congruent cu MC.
Acest lucru se știe din ipoteză.
Și aici s-au mai format două unghiuri opuse la vârf, unghiurile AMD.
Și CME.
Aceste unghiuri sunt opuse la vârf pentru că au vârful comun, punctul M,
și laturile în prelungire.
Vă amintiți că la începutul figurii am prelungit latura BM.
Așadar, un alt element ar fi
unghiul AMD
care este congruent cu unghiul EMC,
fiind unghiuri opuse la vârf.
Așadar, am găsit ipotenuza și un unghi, respectiv congruente.
În aceste condiții va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză-unghi,
că triunghiul ADM este congruent cu triunghiul CEM
iar congruența acestor triunghiuri implică congruența catetelor,
adică AD va fi congruentă cu EC.
Putem scrie că distanța de la A la BM
este egală cu distanța de la C la BM.
Am terminat prima problemă, continuăm cu a doua problemă.
Fie triunghiul ABC isoscel cu AB congruent cu AC,
fie AD perpendiculară pe BC, D aparține segmentului BC,
fie DF perpendiculară pe AB și DE perpendiculară pe AC.
Arătați că unghiul B este congruent cu unghiul C
și că triunghiul DFE este isoscel.
Voi scrie mai întâi ipoteza și concluzia.
Avem un triunghi ABC isoscel, se știe că AB este congruent cu AC,
fie AD perpendiculară pe BC, unde D aparține segmentului BC.
Ducem DF perpendiculară pe AB,
F aparține segmentului AB,
apoi ducem DE perpendiculară pe AC,
E aparține segmentului AC.
Trebuie să arătăm la punctul A că unghiul B este congruent cu unghiul C,
iar la punctul B trebuie să arătăm că triunghiul DFE este isoscel.
Unim punctele F și E.
Un triunghi este isoscel dacă are două laturi congruente.
Putem intui că acestea ar fi FD și ED.
Așadar, la punctul B vom arăta că FD este congruent cu ED.
Voi face alătura demonstrația. Voi face alătura demonstrația.
Pentru a arăta că unghiul B este congruent cu unghiul C,
vom demonstra că triunghiurile ADB și ADC sunt triunghiuri congruente,
iar din congruența acestor două triunghiuri va rezulta și congruența unghiurilor B și C.
Având în vedere că AD este perpendiculară pe BC,
s-au format două triunghiuri dreptunghice.
Așadar, în triunghiul ADB, măsura unghiului D este de 90 de grade
și în triunghiul ADC, măsura unghiului D este de asemenea de 90 de grade.
Așadar, vom compara două triunghiuri dreptunghice.
Având în vedere că AD este perpendiculară pe BC,
va rezulta că măsura unghiului ADB este egală cu măsura unghiului ADC
și egal mai departe cu 90 de grade.
Comparăm acum aceste două triunghiuri dreptunghice.
Comparăm triunghiul ABD cu triunghiul ACD.
Știm din ipoteză că AB este congruent cu AC deoarece triunghiul ABC este isoscel.
AB și AC sunt ipotenuze în aceste două triunghiuri.
AB este congruent cu AC din datele problemei.
Observăm că aceste două triunghiuri dreptunghice mai au o latură comună.
Aceasta este AD, iar AD este cateta în fiecare dintre cele două triunghiuri.
AD este congruent cu AD fiind o latură comună.
Având în vedere că am găsit ipotenuza și o catetă respectiv congruente,
putem scrie în continuare că triunghiul ABD va fi congruent cu triunghiul ACD
conform cazului de congruență ipotenuză catetă.
Congruența acestor două triunghiuri implică și congruența unghiurilor B și C.
Deci unghiul B va fi congruent cu unghiul C.
Tot din congruența acestor triunghiuri va rezulta și congruența segmentelor BD și CD
și vom scrie și această relație deoarece ne va ajuta în rezolvarea cerinței a doua a problemei.
Așadar BD este congruent cu CD.
Am terminat punctul A. Continuăm cu punctul B.
La punctul B trebuie să demonstrăm că triunghiul DFE este isofscel.
Cum spuneam anterior, vom demonstra că FD este congruent cu ED.
Pentru a arăta că FD este congruent cu ED, vom compara triunghiurile BFD și CED.
Acestea sunt triunghiuri dreptunghice, deoarece ducând perpendicularele DF și DE,
aici s-au format două unghiuri drepte.
Dacă DF este perpendiculară pe AB,
rezultă că în triunghiul BFD
măsura unghiului BFD este de 90 grade
iar dacă DE este perpendiculară pe AC,
rezultă că în triunghiul CED
avem măsura unghiului CED
egală cu 90 grade.
Comparăm
triunghiul BFD
cu triunghiul CED.
Având în vedere că acestea sunt triunghiuri dreptunghice,
vom face referire la cazurile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice.
Să evidențiem mai bine cele două triunghiuri.
Am demonstrat la punctul A că BD este congruent cu CD.
Aceste două segmente sunt ipotenuze ale celor două triunghiuri.
BD congruent cu CD.
Am demonstrat acest lucru la punctul A
și tot la punctul A am demonstrat că unghiul B este congruent cu unghiul C.
Având în vedere că am găsit ipotenuza și un unghi ascuțit, respectiv congruente,
va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză-unghi,
că triunghiul BFD
este congruent cu triunghiul CED.
Ia din această relație rezultă că segmentul FD
este congruent cu segmentul ED.
Și având în vedere că în triunghiul FDE am găsit două laturi având aceeași lungime,
putem afirma că acesta este un triunghi isoscel.
Deci triunghiul DFE
este isoscel.
Continuăm cu ultima problemă.
Fie triunghiul ABC dreptunghic cu masura unghiului A egală cu 90 de grade,
AC egal 4 centimetri și BC egal 5 centimetri.
Pe dreapta AC se ia un punct D, astfel încât A aparține segmentului CD
și AD este congruent cu AC.
Demonstrați că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ABD.
Calculați perimetrul triunghiului BCD.
Mă face figura geometrică.
Trebuie să desenăm un triunghi ABC dreptunghic
având cateta AC de 4 centimetri și ipotenuza BC de 5 centimetri.
Pe dreapta AC se ia un punct D, astfel încât A să fie situat în interiorul segmentului CD
și AD să fie congruent cu AC.
Trebuie să demonstrăm că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ABD.
Mai întâi scriem ipoteza și concluzia.
Avem triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade.
Se știe că AC este egal cu 4 centimetri, BC egal cu 5 centimetri.
D aparține dreptei AC, astfel încât punctul A să fie în interiorul segmentului CD
și AD să fie congruent cu AC.
Concluzie?
Trebuie să arătăm că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ABD
iar la punctul B trebuie să calculăm perimetrul triunghiului BCD.
Demonstrație?
Unghiul CAB este un unghi cu măsura de 90 de grade.
Acesta este adiacent și suplementar cu unghiul BAD.
Va rezulta că măsura unghiului BAD este egală cu 180 de grade minus 90, adică 90 de grade.
Deci putem observa că și triunghiul DAB este un triunghi dreptunghic.
Măsura unghiului CAB plus măsura unghiului BAD
formează împreună măsura unghiului CAD, care este un unghi alungit,
deci egal cu 180 de grade.
Din această relație rezultă că măsura unghiului BAD
va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului CAB,
adică egal cu 180 de grade minus 90 de grade,
egal cu 90 de grade.
Așadar, avem două triunghiuri dreptunghice.
Pentru a demonstra congruența acestor două triunghiuri
este suficient să găsim încă două elemente respectiv congruente.
Se știe din ipoteză că AC este congruent cu AD,
AC și AD fiind catete în cele două triunghiuri.
Vom scrie acest lucru.
AC este congruent cu AD.
Acest lucru se știe din ipoteză.
Și observăm că cele două triunghiuri dreptunghice mai au o catetă comună.
Aceasta este AB.
Și putem să scriem că AB
din triunghiul ABC este congruentă cu latura AB din triunghiul ABD.
Deci AB este congruentă cu AB
fiind o latură comună.
Din cele două relații va rezulta, conform cazului de congruență catetă-catetă,
că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ABD.
Congruența acestor două triunghiuri implică și congruența segmentelor BD și BC.
Și voi scrie acest lucru deoarece ne va folosi la punctul B.
BD este congruent cu BC.
Și notăm această relație cu 1.
Continuăm cu punctul B.
Trebuie să calculăm perimetrul triunghiului BCD.
Să vedem câți centimetri are fiecare latură a acestui triunghi.
BC este 5 centimetri din ipoteză.
CD este format din CA plus AD.
CA este 4 centimetri și AD este tot 4 centimetri pentru că se dă în ipoteză că AD este congruent cu AC.
Deci egal cu 8 centimetri.
Apoi BD va fi 5 centimetri pentru că am demonstrat că BD este congruent cu BC din relația 1.
Așadar, din aceste relații vom scrie că perimetrul triunghiului BCD este egal BC plus CD plus BD
egal cu 5 centimetri plus 8 centimetri plus 5 centimetri
egal cu 18 centimetri