Transcript: Compunerea funcțiilor (teorie)

Avem o mulțime A și o altă mulțime B.
Dacă definim o funcție f de la A cu valori în B, atunci fiecărui element x din mulțimea A o să-i corespundă un unic element în mulțimea B notat cu f de x.
f de x se numește imaginea elementului x prin funcția f.
Dacă avem o altă mulțime C și definim acum o funcție de la B cu valori în C, pe care o vom nota cu g,
atunci această funcție asociază fiecărui element f de x din mulțimea B un unic element în mulțimea C notat cu g de f de x.
g de f de x va fi imaginea elementului f de x prin funcția g.
Având aceste două funcții, f și g, cu ajutorul lor putem să definim o a treia funcție care duce elementele din A direct în mulțimea C,
iar această funcție se numește compunerea funcțiilor g și f.
Se notează astfel și citim g compus cu f.
Atenție! E importantă ordinea în care scriem.
Mai întâi se scrie a doua funcție, apoi prima.
Observăm că operația de compunere a doua funcții poate avea loc numai atunci când există o relație de incluziune sau de egalitate
între codomeniul funcției f și domeniul funcției g.
Așadar, având o funcție f definită pe A cu valori în B și o altă funcție g definită pe B cu valori în C,
iată, codomeniul funcției f coincide cu domeniul de definiție al funcției g,
atunci în aceste condiții putem să definim o altă funcție g compus cu f
definită pe A cu valori în C, astfel g compus cu f în punctul x va fi egal cu g de f de x
pentru orice x din mulțimea A.
Deci x este element al mulțimii A, f de x sau imaginea elementului x prin f este element din mulțimea B,
iar g de f de x va fi un element din mulțimea C.
Să reținem că este importantă această notație, mai exact ordinea în care scriem cele două funcții,
pentru că operația de compunere a două funcții nu este comutativă.
O să vedem imediat și un exemplu, așadar g compus cu f nu este același lucru cu f compus cu g.
În continuare o să facem un exemplu simplu pentru a înțelege mai bine această operație de compunere a funcțiilor.
Avem două funcții f și g definite astfel, f definită pe mulțimea formată din elementele minus 1, 0 și 2 cu valori în mulțimea 4, 5, 6,
iar g definită pe mulțimea 4, 5, 6 cu valori în mulțimea formată din elementele minus 3, 7 și 9.
Din moment ce codomeniul funcției f este identic cu domeniul funcției g, are loc compunerea g compus cu f.
Aceasta va fi o funcție definită pe mulțimea minus 1, 0, 2 și cu valori în mulțimea formată din elementele minus 3, 7 și 9,
iar g compus cu f de x va fi egal cu g de f de x.
Și haideți să calculăm g compus cu f pentru fiecare element din domeniul de definiție.
Începem cu minus 1.
g compus cu f de minus 1 va fi egal cu g de f de minus 1.
f de minus 1 este 4, deci avem g de 4, iar g de 4 este egal cu minus 3.
Apoi g compus cu f, calculat în punctul 0, va fi egal cu g de f de 0.
f de 0 este 5, prin urmare o să avem g de 5, egal cu 7.
Și g compus cu f de 2 va fi egal cu g de f de 2.
f de 2 este egal cu 6, așadar avem g de 6, iar g de 6 este egal cu 9.
Iată, eu zic că este destul de simplă această operație de compunere a două funcții,
iar în continuare aș vrea să amintesc câteva proprietăți ale acesteia.
Înainte însă trebuie să definim funcția identică a unei mulțimi.
Dacă avem o funcție f definită pe a cu valori în aceeași mulțime a,
unde f de x este egal cu x, o astfel de funcție se numește funcție identică a mulțimii a.
Se va anota în general astfel, unul indice a definită pe a cu valori în a,
unul indice a de x, egal cu x.
O notăm astfel pentru a o diferenția de celelalte funcții.
Să dăm și un exemplu.
Funcția identică a mulțimii r, calculată în radical din 2, va fi egal cu radical din 2.
Așadar, imaginea unui element prin funcția identică este elementul respectiv.
Și acum să vedem în continuare două proprietăți ale compunerii funcțiilor.
Dacă avem funcția identică a mulțimii a,
unde 1a de x este egal cu x,
și o altă funcție f definită pe a cu valori în b,
atunci f compus cu funcția identică va fi egal chiar cu f.
Știm că două funcții sunt egale dacă ele au același domeniu, același codomeniu și punctual funcțiile coincid.
Haideți să vedem care ar fi domeniul și codomeniul acestei funcții.
f compus cu funcția identică va avea ca domeniu de definiție mulțimea a,
iar codomeniul acesteia va fi mulțimea b.
Prin urmare, uitându-ne la f compus cu funcția identică și la funcția f,
observăm că ele au același domeniu de definiție a,
același codomeniu b,
iar f compus cu funcția identică calculată în punctul x va fi egal cu f de 1a de x,
iar 1a de x este chiar x.
Așadar să reținem că atunci când compunem o funcție f cu funcția identică, rezultatul este chiar funcția f.
Și o a doua proprietate, dacă avem o funcție f definită pe a cu valori în b,
g definită pe b cu valori în c,
și h definită pe c cu valori în d,
atunci compunerea acestor funcții este o operație asociativă
pentru că h compus cu g compus cu f este același lucru cu h compus cu g compus cu f.
Compunerea funcților nu este comutativă.
Să vedem un exemplu.
Avem o funcție f definită pe r cu valori în r,
unde f de x este egal cu 2x,
și g definită pe r cu valori în r,
g de x egal cu x plus 2.
Observăm că aceste două funcții au același domeniu și același codomeniu,
prin urmare există g compus cu f și f compus cu g.
g compus cu f de x este egal cu g de f de x.
Pentru a calcula g de f de x ne uităm la legea funcției g.
g de x este egal cu x plus 2,
dar acum noi avem g de f de x.
Prin urmare, în această formulă, în loc de x o să avem f de x,
pentru că acum argumentul funcției este f de x.
Așadar, va fi egal în continuare cu f de x plus 2,
iar f de x este egal cu 2x plus 2.
Și acum să calculăm f compus cu g de x.
Va fi egal cu f de g de x.
Ne uităm acum la legea funcției f.
Aceasta este egală cu 2x.
Argumentul funcției f în acest caz este g de x.
Așadar, în loc de x vom avea g de x.
2 ori g de x.
Iar g de x este x plus 2.
Facem calculele și obținem 2x plus 4.
Și acum, uitându-ne la aceste rezultate,
putem observa că g compus cu f nu este același lucru cu f compus cu g.
Așadar, să reținem că operația de compunere nu este comutativă.
Putem să compunem o funcție f și cu ea însăși,
iar pentru această compunere vom folosi următoarea notație.
f compus cu f se notează astfel,
f indice superior 2 între paranteze.
Sau, în unele cărți, se folosește și această notație,
f cu indice inferior 2 fără paranteze.
Iar dacă avem f compusă cu ea însăși de n ori,
pentru aceasta vom folosi notația f indice superior n între paranteze.
În următorul film o să facem câteva execiții
pentru a înțelege mai bine compunerea funcțiilor.