Transcript: Coliniaritatea a doi vectori

În această lecție o să vedem care este condiția de colinearitate a doi vectori, respectiv condiția de colinearitate a trei puncte.
Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție. Dacă ne uităm la vectorii A și B, observăm că aceștia au drepte suport paralele,
prin urmare A și B sunt vectori coliniari, de asemenea și vectorii C și D sunt coliniari pentru că au aceeași dreaptă suport,
în schimb vectorii E și F nu sunt coliniari pentru că aceștia nu au aceeași direcție.
Așadar, doi vectori vor fi necoliniari dacă dreptele lor suport sunt concurente.
În lecția trecută am văzut că atunci când înmulțim un vector cu un scalar, se obține un alt vector având aceeași direcție cu vectorul dat.
Aceasta va fi și condiția de colinearitate a doi vectori. Iată, vectorii U și V sunt coliniari dacă și numai dacă există un număr real α,
astfel încât U să fie egal cu α or V.
În mod asemănător vom scrie și condiția de colinearitate a trei puncte.
Punctele AB și C sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii AB și AC sunt coliniari,
adică există un scalar α astfel încât AB să fie egal cu α or AC.
De fapt, punctele AB și C sunt coliniare dacă oricare doi dintre vectorii AB, AC sau BC sunt coliniari.
În continuare o să facem o aplicație.
Fie ABC de un pătrat.
La punctul A se cere să construim punctele MP și Q astfel încât vectorul BM să fie egal cu 2 pe 3 or BC,
vectorul AP să fie egal cu 3 pe 2 or AD și AQ să fie egal cu 3 AB.
Iar la punctul B se cere să demonstrăm că punctele PC și Q sunt coliniare.
Din această primă relație deducem că vectorii BM și BC sunt vectori coliniari
întrucât vectorul BM se obține înmulțind vectorul BC cu scalarul 2 pe 3.
Așadar, punctele BM și C trebuie să fie puncte coliniare.
Din moment ce 2 supra 3 este o fracție subunitară, înseamnă că punctul M va fi situat pe dreapta BC,
dar în interiorul segmentului BC.
O să mai scriu această relație încă o dată.
Această relație se mai poate scrie și astfel,
Bm supra BC,
acum ne referim la segmentele BM și BC,
egal cu 2 pe 3.
Așadar, ca să construim punctul M, va trebui să împărțim segmentul BC în 3 părți egale,
iar M va fi situat la 2 treime de B și o treime de C.
Iată, aici este punctul M.
Acum trebuie să construim punctul P, astfel încât AP să fie egal cu 3 pe 2 din AD.
Așadar, vectorii AP și AD trebuie să fie vectori coliniari.
Prin urmare, punctul P va fi situat pe dreapta AD.
Din moment ce 3 supra 2 este o fracție supraunitară,
înseamnă că punctul P va fi situat în exteriorul segmentului AD.
Ne uităm și la sensul acestor vectori.
Sensul este de la A spre D.
Prin urmare, va trebui să prelungim segmentul AD în sus.
3 supra 2 înseamnă 1 întreg și 1 pe 2.
Așadar, prelungim segmentul AD cu un segment având lungimea egală cu jumătate din lungimea segmentului AD.
Iată, aici va fi punctul P.
Am construit așadar punctul P astfel încât modulul vectorului AP să fie egal cu 3 pe 2 din modulul vectorului AD.
Și acum trebuie să construim punctul Q astfel încât modulul vectorului AQ să fie egal cu 3 ori modulul vectorului AB.
Observăm așadar că punctele A, Q și B trebuie să fie puncte coliniare, deci Q va fi situat pe dreapta AB.
Ne uităm la sensul vectorului de la A spre B.
Prelungim așadar segmentul AB în partea dreaptă cu un segment având lungimea de două ori mai mare decât cea segmentului AB.
Aici este punctul Q, așadar lungimea segmentului AQ este de 3 ori mai mare decât cea a segmentului AB.
Să arătăm acest lucru și pe figură, deci segmentele acestea sunt congruente.
La fel și aceste segmente erau congruente.
Am reușit așadar să construim punctul Q astfel încât modulul vectorului AQ să fie de 3 ori mai mare decât modulul vectorului AP.
Și acum trebuie să arătăm că punctele P, C și Q sunt coliniare.
Perfect!
Pentru a demonstra că punctele P, C și Q sunt coliniare trebuie să arătăm că vectorii CP și CQ sunt coliniari sau CP și QP sau QC respectiv QP.
Deci oricare doi vectori dintre cei care se formează cu ajutorul acestor litere trebuie să fie vectori coliniari.
Vom arăta că vectorii CP și CQ sunt vectori coliniari.
Pentru aceasta trebuie să arătăm că are loc următoarea relație CQ este egal cu alfa ori CP.
Dacă reușim să demonstrăm că are loc această relație atunci vectorii sunt coliniari iar punctele P, C și Q sunt coliniare.
Așadar haideți să exprimăm vectorul CP.
Ne uităm în triunghiul C, P, D.
Observăm că vectorul CP este egal cu CD plus DP.
Aplicând regula triunghiului se obține astfel că vectorul CP este suma vectorilor CD și DP.
Dacă ne uităm acum la vectorii CD și AB observăm că aceștia au aceeași direcție dar sensuri opuse.
Prin urmare vectorul CD este egal cu minus AB.
Iar DP este jumătate din AD.
Așadar vom scrie 1 pe 2 ori AD.
Și acum să exprimăm și vectorul CQ.
Ne uităm în triunghiul CBQ.
Acest vector este suma dintre vectorii CB și BQ.
Scopul nostru este să exprimăm vectorul CQ cu ajutorul vectorului CP.
Așadar în exprimarea lui CQ va trebui să regăsim această expresie.
Și acum CB este egal cu minus AD.
Pentru că CB și AD sunt vectorii opuși.
Iar BQ este de 2 ori mai mare decât AB.
Deci avem 2AB.
Adunarea vectorilor este comutativă.
Prin urmare putem să scriem 2AB minus AD.
Și acum ca să ajungem la această relație, o să-l dăm factor comun pe minus 2.
Avem minus 2 pe lângă minus AB plus 1 pe 2 AD.
Observăm acum că expresia din paranteză este chiar vectorul CP.
Am arătat așadar că există un scalar alfa.
Iar acest scalar este minus 2.
Astfel încât CQ să fie egal cu alfa ori CP.
Deci CQ este minus 2 ori CP egal cu alfa ori CP.
Prin urmare cei 2 vectori sunt coliniari.
Și atunci punctele P, C și Q sunt coliniare.
Aștept să vă mulțumim pentru vizionare!