Transcript: Coarde și arce în cerc (aplicație)

În figura alăturată avem un cerc de centru O și rază R egală cu 12 cm.
Fie A și B două puncte, situate pe cerc, astfel încât măsura unghiului AOB să fie egală cu 120 de grade.
Fie MN un diametru perpendicular pe coarda AB. Calculați lungimea coardei AB și măsura arcului AN.
O să calculez mai întâi măsura arcului AN.
Știm că măsura arcului AB este egală cu măsura unghiului la centru AOB.
MN este un diametru perpendicular pe coarda AB. Înseamnă că MN trece prin mijlocul arcului AB.
Cu anticuvinte, punctul N este chiar în mijlocul arcului AB, iar măsura arcului AN va fi egală cu jumătate din măsura arcului AB.
Măsura arcului AB este egală cu măsura unghiului la centru AOB și egal cu 120 de grade.
Având în medere că MN este perpendicular pe AOB, va rezulta că punctul N este în mijlocul arcului AB.
Și atunci putem să scriem că arcul AN este congruent cu arcul NB.
Așadar, măsura arcului AN va fi egală cu măsura arcului NB și egală cu măsura arcului AB supra 2.
Dar AB are măsura de 120 de grade, iar 120 supra 2 va fi egal cu 60.
Am calculat astfel măsura arcului AN. Aceasta este egală cu 60 de grade.
În continuare o să calculăm lungimea coardei AB.
Triunghiul AOB este un triunghi soscel pentru că segmentele OA și OB sunt congruente, acestea fiind raze.
Dacă OP este perpendiculară pe AB, înseamnă că OP este înălțime, dar înălțimea într-un triunghi soscel este și mediană,
deci punctul P va fi mijlocul segmentului AB.
Vom calcula mai întâi lungimea segmentului AP, iar pentru a obține lungimea segmentului AB o să dublăm segmentul AP.
Dacă triunghiul AOB este isoscel, atunci unghiurile alăturate bazei vor fi congruente. Unghiul A va fi congruent cu unghiul B.
Știm că într-un triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 de grade.
Pentru a calcula măsura unghiului A o să scădem din 180 de grade cele 120 de grade și împărțim rezultatul la 2.
Haideți atunci să calculăm măsura acestui unghi. Știm că triunghiul AOB este isoscel.
Și atunci măsura unghiului A va fi egală cu măsura unghiului B și egal cu 180 de grade minus 120 de grade împărțit la 2.
180 minus 120 este 60 împărțit la 2 egal cu 30 de grade.
Ne uităm acum în triunghiul dreptunghic OAP. Noi trebuie să aflăm lungimea laturii AP.
Știm că unghiul A are măsura de 30 de grade. AP este o catetă alăturată a acestui unghi, iar AO este ipotenuza.
Funcția trigonometrică care se definește ca fi în raportul dintre cateta alăturată unui unghi și ipotenuză este funcția cosinus.
Aplicăm funcția cosinus în acest triunghi dreptunghic OAP.
În triunghiul OAP, cosinus de A este egal cu raportul dintre cateta alăturată unghiului A, adică AP, supra ipotenuza AO.
Dar cosinus de 30 de grade este egal cu radical din 3 supra 2.
Egalăm aceste două relații și obținem că radical din 3 supra 2 este egal cu AP supra 12.
Obținem că AP este egal cu 12 radical din 3 supra 2.
Se simplifică 12 cu 2 și obținem 6 radical din 3.
Așadar AP este 6 radical din 3.
După cum spuneam mai devreme, punctul P este mijlocul segmentului AB și atunci va rezulta că AB va avea lungimea egală cu 12 radical din 3.
AB este egal cu 2 ori AP pentru că OP este mediană în acest triunghi isoscel.
AB va fi egal cu 2 ori 6 radical din 3 și egal cu 12 radical din 3 centimetri.