Transcript: Cilindrul circular drept (aplicații)

Să aplicăm acum formulele pe care le-am învățat pentru cilindru circular drept.
Și ni se dă această problemă.
Diametrul bazei unui cilindru circular drept are lungimea de 16 centimetri și area laterală este de 240 pi centimetri pătrați.
Să găsim area totală și volumul cilindrului.
Acum, ni se spune că diametrul bazei are lungimea de 16 centimetri.
Prin urmare, dacă notăm cu R, cum am notat și în formulă raza acestui cerc,
atunci noi știm că raza cercului este egală cu jumătate din lungimea diametrului, adică D pe 2,
unde am notat cu D, chiar o să trec aici, D este diametrul cercului și avem 16 centimetri,
deci egal mai departe cu 16 supra 2, adică 8 centimetri.
Și am găsit cât este raza acestui cerc.
Mai cunoaștem că area laterală este de 240 ori pi centimetri pătrați și să găsim area totală și volumul cilindrului.
Care e formula ariei totale, ca să vedem de ce elemente avem nevoie.
Aria totală are următoarea formulă 2 pi R pe lângă G adunat cu R și formula pentru volum este pi R pătrat înmulțit cu G.
Asta înseamnă că avem nevoie de rază, deja am determinat raza, dar și de lungimea generatoarei.
Cum determinăm lungimea acestei generatoare?
Păi ne folosim de această informație.
Aria laterală are următoarea formulă 2 pi R ori G și știm că este egal mai departe cu 240 pi.
Ce înseamnă asta?
Rezultă că avem următoare egalitate.
2 ori pi înmulțit cu R care este 8 înmulțit mai departe cu lungimea generatoarei G egal cu 240 ori pi.
Și acum avem o ecuație, putem foarte simplu să determinăm pe G.
Putem să împărțim mai întâi la 8 ori pi.
De exemplu, împărțim la 8 ori pi.
Aici trebuie să trecem în paranteză ca să arătăm că împărțim și la 8, dar și la pi.
Și ce vom obține?
Pi împărțit la pi o să ne dea 1 și mai avem 8 împărțit la 8, 1.
Deci aici ne rămâne 2 ori G, 2 înmulțit cu G egal cu pi împărțit la pi este 1, 240 împărțit la 8 ne dă 30.
Aici rezultă că generatoarea are 15 centimetri.
Și acum ne întoarcem în formule.
Aria totală este egală cu 2 ori pi înmulțit cu raza 8 centimetri pe lângă, generatoarea este 15 adunat cu 8.
Și vom avea 2 ori 8, 16, trecem direct, 16 ori pi înmulțit cu 23.
16 ori 23 ne dă 368 pi centimetri pătrați.
Acum pentru volum, pi ori R la a doua, adică 8 la a doua înmulțit cu 15.
Avem aici lungimea generatoarei.
Și avem 64 ori 15 înmulțit cu pi, vom obține 960 pi centimetri cubi.
Și astfel am determinat și aria totală și volumul acestui cilindru circular drept.
O altă problemă.
Într-un cilindru circular drept se știe că diagonala secțiunii axiale este de 8 centimetri și aface cu planul bazei un ung cu măsura de 60 de grade.
Să găsim aria laterală, aria totală și volumul cilindrului.
Într-un cilindru circular drept ce înțelegem prin secțiune axială?
Secțiune axială e reprezentată de fapt de un dreptunghi și anume acest dreptunghi pe care chiar putem să-l notăm ABCD.
Lățimea dreptunghiului este dată de diametrul cercului de la bază, iar lungimea este cât generatoarea cilindrului.
Acum, noi știm că diagonala acestei secțiuni axiale este de 8 centimetri.
Atunci să construim diagonala, de exemplu diagonala AC, avem de ales între AC și DB.
Știm că este de 8 centimetri și mai știm că ea face cu planul bazei un unghi cu măsura de 60 de grade.
Deci, AC face cu planul bazei un unghi cu măsura de 60 de grade.
Bun, dar care este acest unghi?
C-B este perpendiculară pe planul bazei, înseamnă că proiecția punctului C pe acest plan este punctul B.
Punctul A este în plan, deci proiecția lui pe plan este chiar punctul însuși.
Asta înseamnă că vorbim de unghiul făcut de dreptele AC și AB, adică de acest unghi.
Avem aici 60 de grade.
Să notăm, măsura unghiului C-AB este de 60 de grade.
Trebuie să găsim area laterală, area totală și volumul.
Acum, ca să găsim area laterală vom avea nevoie și de generatoare, dar și de raza acestui cerc.
Haideți să notăm aici cu R raza cercului și să vedem cum putem să găsim generatoarea.
Trec aici G și raza.
Ce fel de triunghi este triunghiul C-BA?
Este un triunghi dreptunghic pentru că C-B este perpendiculară pe planul bazei.
AB este inclusă în planul bazei, asta înseamnă că C-B este perpendiculară și pe AB.
Deci putem să trecem că avem aici un unghi de 90 de grade.
Bun, să notăm că măsura unghiului C-BA este de 90 de grade.
Cu alte cuvinte, avem aici un triunghi dreptunghic.
Deci putem să aplicăm funcții trigonometrice pentru că știm măsura acestui unghi și cunoaștem și lungimea ipotenuzei AC.
Ce să aplicăm mai întâi?
Ca să determinăm generatoarea, putem să aplicăm funcția sinus pentru că generatoarea se opune acestui unghi.
Sinus de unghiul A este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului, adică C-B,
supra lungimea ipotenuzei, adică AC.
Și acum vom înlocui.
Avem sinus de 60 de grade egal cu C-B.
Reprezintă generatoarea cilindrului, deci trecem G mare de la generatoare.
AC este 8 centimetri.
Cât este sinus de 60 de grade?
Avem aici radical din 3 supra 2 egal cu G supra 8, de unde rezultă că G egal cu 8 radical din 3 pe 2, adică 4 radical din 3 centimetri.
Și putem să notăm aici că avem 4 radical din 3 și aceasta este generatoare a cilindrului circular drept.
Să găsim acum și raza.
Ca să găsim raza, ce determinăm mai întâi?
Determinăm diametrul AB.
Și atunci putem să aplicăm aici funcția cosinus sau putem să aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC,
pentru că știm și această catetă și ipotenuza.
O să aplicăm cosinus, cosinus de 60 de grade sau mai întâi cosinus de unghiul A egal cu lungimea catetei alăturate unghiului, adică AB,
supra lungimea ipotenuzei, adică AC.
Și avem acum cosinus de 60 de grade egal cu AB supra AC este 8, de unde rezultă că
cosinus de 60 de grade ne dă 1 supra 2 egal cu AB supra 8, rezultă că AB ne dă 4 centimetri.
Sigur, aici aveam un unghi de 30 de grade acesta și puteam să aplicăm în triunghiul CBA, care e un triunghi dreptunghi,
puteam să aplicăm teorema unghiului de 30 de grade și rezulta că AB are într-adevăr jumătate din lungimea segmentului AC, deci 4 centimetri.
Am găsit că AB are 4 centimetri, de unde rezultă că raza care este egală cu AB supra 2 ne va da 4 supra 2, adică 2 centimetri.
Și atunci să ștergem aici, trecem că avem 2 centimetri, cu toate aceste date putem să ștergem aici și vom calcula mai întâi
area laterală, trecem formula, este egală cu 2piRg și atunci rezultă că area laterală cu cât este egală.
Avem 2 înmulțit cu pi înmulțit cu raza care este de 2 centimetri, deci ori 2 înmulțit cu generatoarea are 4 radical din 3 centimetri
și avem așa, 2 ori 2, 4 ori 4, 16 pi înmulțit cu radical din 3 centimetri pătrați.
Să găsim acum și area totală, formula este 2piR pe lângă G plus R, de unde rezultă că area totală cu cât este egală.
Avem 2 ori pi înmulțit cu R care este de 2 centimetri înmulțit cu paranteză G plus R, adică 4 radical din 3 adunat cu 2.
Aici nu putem să facem suma, însă putem să desfacem paranteza înmulțind pe 2 ori 2, 4pi, deci înmulțim pe 4pi cu fiecare termen din paranteză în parte
și avem așa, 4pi ori 4 ne va da 16 pi radical din 3 adunat cu, avem 4pi ori 2, adică 8pi și putem să trecem aici în paranteză să notăm centimetri pătrați.
În final să găsim volumul acestui cilindru, formula este piR pătrat or G, deci rezultă că volumul este egal cu pi înmulțit cu rază la a doua, adică 2 la a doua înmulțit cu 4 radical din 3.
Și avem așa, 4 ori 4, 16 pi ori radical din 3 centimetri cubi. Iată că valoarea volumului este egală cu valoarea ariei laterale, însă atenție aici avem aria laterală, deci vorbim de 16 pi radical din 3 centimetri pătrați și aici avem centimetri cubi.