Transcript: Calculul inversei unei matrice

Să verificăm dacă următoarele matrice sunt inversabile și să calculăm inversele acestora, dacă este cazul.
Ne reamintim că o matrice este inversabilă dacă determinantul său este nenul.
Așadar, să calculăm determinantul matricei A, 1, 2, 3, 4,
egal cu 1 ori 4, minus 2 ori 3, adică 4 minus 6, egal cu minus 2.
Determinantul matricei A este diferit de 0, ceea ce înseamnă că matricea A este o matrice inversabilă.
Să scriem acum matricea transpusă, obținem așadar matricea 1, 2, 3, 4.
Să calculăm acum și matricea adjunctă, care se obține înlocuind în matricea transpusă fiecare element cu complementul său algebric,
adică delta 1, 1, delta 1, 2, delta 2, 1, delta 2, 2.
Delta 1, 1 este minus 1 la puterea 1 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1 din matricea A, adică 4.
Delta 1, 2 se obține prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 2 în matricea A, adică 3.
Delta 1, 2 este egal cu minus 3.
Delta 2, 1 este minus 1 la puterea 2 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 1, adică 2.
Cu alte cuvinte, delta 2, 1 este minus 2.
Și în sfârșit, delta 2, 2 este determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 2 din matricea A, adică 1.
Cu alte cuvinte, delta 2, 2 este egal cu 1.
Am obținut așadar matricea adjunctă ca fiind matricea în care înlocuim elementul 1 cu complementul său algebric, adică 4,
înlocuim elementul 2 cu complementul său algebric, care este minus 3,
îl înlocuim pe 3 cu complementul său algebric, minus 2,
și în sfârșit pe 4 cu complementul său algebric, care este 1.
Inversa matricei A are expresia 1 supra determinantul matricei A înmulțit cu matricea adjunctă.
În consecință, este minus 1 supra 2 înmulțit cu matricea 4, minus 2, minus 3, 1.
Obținem așadar expresia matricei inverse ca fiind egală cu minus 2, 1, 3 supra 2, minus 1 supra 2.
În ceea ce privește matricea B, pentru a stabili dacă este inversabilă, să calculăm și determinantul acesteia.
Așadar, determinantul matricei B este egal cu 1 ori 4, minus 2 ori 2, adică 4 minus 4, egal cu 0.
Cu alte cuvinte, din moment ce determinantul matricei B este egal cu 0,
matricea B nu este o matrice inversabilă.
Ce credeți despre matricea C?
Să calculăm și determinantul matricei C pentru a stabili dacă este o matrice inversabilă.
Observăm că în matricea C, linia a doua conține două zerouri, ca și coloana a doua de altfel,
ceea ce ne sugerează dezvoltarea acestui determinant după linia a doua, spre exemplu.
Avem așadar elementul minus 2 îmulțit cu complementul său algebric, adică 1, 1, 2, 1.
Așadar, determinantul matricei C este minus 2 îmulțit cu 1, minus 2, adică minus 1.
Obținem determinantul matricei C ca fiind egal cu 2, care este diferit de 0.
Așadar, matricea C este inversabilă.
Să calculăm transpusa acestei matrice, obținând matricea 1, 0, 1, 0, minus 2, 0, 2, 0, 1.
Matricea adjunctă va conține complementii algebrici ai acestor elemente,
și anume delta 1, 1, delta 1, 2, delta 1, 3, delta 2, 1, delta 2, 2, delta 2, 3, delta 3, 1, delta 3, 2 și delta 3, 3.
Să calculăm acum acești complementi algebrici.
Delta 1, 1 este minus 1 la puterea 1 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1 din matricea C,
adică minus 2, 0, 0, 1, egal cu minus 2.
Delta 1, 2 este minus 1 la puterea 1 plus 2 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 2 din matricea C,
adică 0, 0, 2, 1, egal cu 0.
Delta 1, 3 este minus 1 la puterea 1 plus 3 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 3,
0, minus 2, 2, 0, egal cu 2.
Delta 2, 1 este minus 1 la puterea 2 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 1,
0, 1, 0, 1, egal cu 0.
Delta 2, 2 este minus 1 la puterea 2 plus 2 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 2,
1, 1, 2, 1, egal cu minus 1.
Delta 2, 3 este minus 1 la puterea 2 plus 3 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 2 și a coloanei 3,
1, 0, 2, 0, egal cu 0.
Delta 3, 1 este minus 1 la puterea 3 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 1,
0, 1, minus 2, 0, egal cu 2.
Delta 3, 2 egal cu minus 1 la puterea 3 plus 2 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 2,
1, 1, 0, 0, egal cu 0.
Delta 3, 3 este minus 1 la puterea 3 plus 3 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 3,
1, 0, 0, minus 2, egal cu minus 2.
Așadar, matricea ajuntă are expresia minus 2, 0, 2, 0, minus 1, 0, 2, 0, minus 2.
Iar inversa matricei A are expresia 1 supra 2 ori matricea minus 2, 0, 2, 0, minus 1, 0, 2, 0, minus 2.
Egal cu minus 1, 0, 1, 0, minus 1 supra 2, 0, 1, 0, minus 1.
Să vedem dacă matricea D este o matrice inversabilă.
Determinantul matricei D, 1, 2, 1, 2, 4, 0, 3, 6, 0, are două linii proporționale sau două coloane proporționale,
așadar, acesta este egal cu 0.
În consecință, matricea D nu este o matrice inversabilă.
Să calculăm, în sfârșit, determinantul matricei E,
m, 0, minus 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1.
Cum coloana A3-a conține două elemente de 0, putem dezvolta acest determinant după coloana A3-a,
obținând 1, înmulțit cu minus 1 la puterea 3 plus 3, înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 3,
m, 1, 0, 1,
egal cu 1, ori 1, ori m.
În consecință, matricea E este o matrice inversabilă, dacă și numai dacă m este diferit de 0,
iar calculul inversei matricei E este similar cu cel al inversei matricei C.