Transcript: Calculul integralelor nedefinite folosind (doar) tabelul de integrale

În acest videoclip voi prezenta cum abordăm și rezolvăm exercițiile în care se cere calculul integralelor nedefinite sau determinarea primitivelor unei funcții,
când acestea pot fi calculate sau determinate folosind doar tabelul de integrale nedefinite, proprietățile integralelor nedefinite și eventual câteva modificări în modul de scriere a funcției.
De fapt, cele două cerințe sunt identice, doar formulate diferit pentru că integrala nedefinită sau mulțimea primitivelor funcției este același lucru.
Vom considera următorul exercițiu.
Să se calculeze integrala nedefinită din 5x la a4 plus x ori radical de ordinul 5 din x minus 1 pe x plus x minus 1 supra x la a3 de x.
În primul rând, ne uităm la acest exercițiu și constatăm că sub integrală avem o sumă de mai mulți termeni,
ceea ce înseamnă că vom folosi proprietatea de aditivitate a integralei și vom despărți această integrală într-o sumă de mai multe integrale.
Vom obține integrală din 5x la a4 de x plus integrală din x radical de ordinul 5 din x de x plus integrală din minus 1 pe x de x și plus integrală din x minus 1 supra x la a3 de x.
Acum avem, de fapt, o sumă de 4 integrale.
La prima integrală constatăm că mai avem o constantă sub integrală, de aceea, conform proprietăților integralei nedefinite, o vom scoate în afară a integralei.
Și ceea ce ne rămâne este integrală din x la a4 de x, adică, dacă ne reamintim sau ne uităm la formulele din tabelul integralelor nedefinite, formula pe care o putem aplica este formula de integrare a funcției putere.
A doua integrală este x radical de ordin 5 din x.
Aici avem un produs de 2 factori.
Noi nu știm integra produs de 2 factori, dar am putea încerca să punem x radical de ordinul 5 din x sub forma x la o putere.
Asta ar însemna că ar trebui să facem următorul calcul.
Avem x la a1, ori radical de ordin 5 din x, care înseamnă x la a1, ori x la 1 supra 5.
Scriem baza și adunăm exponenții, adică avem x la puterea 1 plus 1 pe 5.
Și dacă facem calculul la exponență, obținem x la puterea 6 supra 5.
Înseamnă că și această integrală vom ști să o calculăm pentru că vom folosi tot formula de integrare a funcției putere.
Următoarea integrală conține un minus 1, pe acesta îl putem considera constantă și să îl trecem în fața integralei
și atunci rămânem cu integrală din 1 pe x de x, pentru care avem formulă de integrare.
Tot timpul trebuie să aveți în minte tabelul cu formulele de integrare ca să știți dacă pentru o anume funcție aveți formulă sau nu.
Dacă încă nu știți formulele de integrare, ar fi util să le scrieți pe o foaie și folosiți foaia cu formule atunci când rezolvați exerciții de calcul al integralelor nedefinite.
Cu timpul veți reține formulele.
Următoarea integrală nu mai are o formă pe care o putem regăsi în tabelul de integrale nedefinite.
Nu avem acolo nicio integrală dintr-o funcție raționadă.
Dar și această funcție x-1 supra x la treia am putea să o rescriem în așa fel încât să putem calcula integrala cu ajutorul formulelor.
Asta înseamnă că îl vom scrie pe x-1 supra x la treia
ca x supra x la treia minus 1 supra x la treia
care este egal cu, aici se poate simplifica cu un x și obținem 1 supra x pătrat minus 1 supra x la a treia
Bun, să vedem acum ce am obținut.
Vom rescrie această sumă de integrale înlocuind x radical de ori din 5 din x scoțând minus 1 în toața integralei și înlocuind x minus 1 supra x la treia cu 1 pe x pătrat minus 1 pe x la treia.
Acum pentru fiecare din integralele pe care le avem de calculat există formulă în tabelul de formule
Formulele pe care le vom utiliza sunt, am să le scriu aici ca să le aveți în față, integrală din x la alfa
de x
care este x la alfa plus 1 supra alfa plus 1 plus mulțimea constantelor
și integrală din 1 pe x
de x care este logaritm natural din modul din x plus mulțimea constantelor
Prima integrală există doar dacă x este mai mare ca 0, noi avem această condiție aici, x mai mare ca 0
În cazul al doilea, x trebuia să fie diferit de 0 și definit fie pe un interval de numere negative, fie pe un interval de numere pozitive
În cazul nostru este definit pe un interval de numere pozitive, deci putem folosi aceste două formule
Pentru prima integrală, a doua, a patra și a cincea, trebuie să stabilim cine este alfa pentru ca să putem aplica formula de integrare
Pentru această integrală, alfa este egal cu 4
Pentru a doua integrală, alfa este egal cu 6 supra 5
Pentru a patra integrală, 1 supra x pătrat înseamnă x la puterea minus 2, deci alfa va fi egal cu minus 2
Și pentru ultima integrală, avem 1 supra x la a treia, ceea ce înseamnă x la minus 3, deci alfa este egal cu minus 3
Și acum ceea ce ne rămâne este pur și simplu să aplicăm formulele de integrare
Vă rog să opriți înregistrarea, aplicați formulele de integrare și apoi reporniți videoclipul pentru a vă verifica dacă ați aplicat formulele corect
Ar fi trebuit să obțineți 5 ori x la puterea 4 plus 1 supra 4 plus 1
Plus x la puterea 6 pe 5 plus 1 supra 6 pe 5 plus 1
minus logaritm natural din modul de x plus x la minus 2 plus 1 supra minus 2 plus 1
minus x la minus 3 plus 1 supra minus 3 plus 1 plus c
Dacă ați continuat cu calculele, 5 și 4 plus 1 care e tot 5 se pot simplifica
Aici nu lăsăm fracție supraetajată, deci 6 pe 5 plus 1 este 11 pe 5
fiindcă este la numitor, trecem față ca 5 supra 11
Exponentului x îl calculăm, este x la 11 pe 5
Aici putem elimina modul pentru că x este mai mare decât 0
În cazul acestei fracții, calculăm minus 2 plus 1 este minus 1
x la minus 1 înseamnă 1 supra x
Iar minusul de la numitor l-am trecut în fața fracției
Și la ultima fracție avem x la puterea minus 2 supra minus 2
x la minus 2 înseamnă 1 supra x pătrat
Minusul de la numitor l-am trecut în fața liniei de fracție
Deci avem plus 1 supra 2x pătrat și evident plus mulțimea constantelor
Ce s-ar mai putea face?
Aici am putea scrie x la 11 pe 5 cu ajutorul radicalului
Și atunci obținem x pătrat ori radical de ori din 5 din x
Și acum al doilea exercițiu
Integrală nedefinită din 5 la x logaritm natural din 5
Minus 4 la x logaritm natural din 16 de x când x aparține lui r
Privim atent funcția de subintegrală
Aici avem o sumă de doi termeni
Primul termen este 5 la x logaritm natural din 5
5 la x este o funcție exponențială logaritm natural din 5, o constantă
Iar în al doilea termen avem din nou o funcție exponențială 4 la x
Și o constantă logaritm natural din 16 înmulțit cu minus 1
Folosind proprietatea de linearitatea integralei
Putem despărți această integrală într-o sumă, mă rog, diferență de două integrale
Și putem scoate constantele în fața integralelor
Integralele pe care le avem de calculat, integrală din 5 la x de x
Și integrală din 4 la x de x pot fi calculate cu ajutorul formulei de integrare a funcției exponențiale
Să o și scriem ca să ne o reamintim
Avem integrală din a la x de x
Egal cu a la x supra logaritm natural din a
Plus mulțimea constantelor
Înlocuim integralele nedefinite cu mulțimea primitivelor
Conform acestei formule
Și obținem logaritm natural din 5 ori 5 la x supra logaritm natural din 5
Minus logaritm natural din 16 ori 4 la x supra logaritm natural din 4
Plus mulțimea constantelor
Acum, ce ar mai fi de făcut?
Putem simplifica logaritm natural din 5
Putem ține cont că logaritm natural din 16 este egal cu logaritm natural din 4 la a2
Iar logaritm natural din 4 la a2 este 2 logaritm natural din 4
Și atunci rezultatul final va fi 5 la x minus 2 ori 4 la x plus mulțimea constantelor
Aici am simplificat logaritmul din 4 cu logaritmul din 4 de la numitor
Și acum un ultim exercițiu
Avem de calculat integrală din 1 supra 6x pătrat plus 24 dx
Care dintre formulele de integrare ar putea fi aplicată aici?
Opriți înregistrarea și notați-vă formula care credeți că poate fi aplicată
Avem două formule de integrare în care ne apare o funcție unde la numărător avem 1
Și la numitor x pătrat plus sau minus o constantă
Aici avem plus
Probabil că vom putea folosi această formulă
Toată problema este că noi aici la numitor nu avem x pătrat ci avem 6x pătrat
În timp ce în formulă avem doar x pătrat
Nu este o problemă foarte mare
Ne putem da factor pe 6 de la numitor
Și să vedem ce obținem
Am obținut integrală din 1 supra 6 pe lângă x pătrat plus 4 dx
x pătrat plus 4 arată ca în formulă
6-le este o constantă
Vom scoate în fața integralei 1 pe 6
Și atunci sub integrală ne va rămâne doar 1 supra x la 2a plus 4
Și atunci ceea ce ne-a mai rămas de făcut este să stabilim cine este a din această formulă
Noi avem la numitor x la 2a plus 4 înseamnă că a pătrat este 4
Și atunci a este egal cu 2
Înseamnă că vom obține 1 supra 6 ori 1 supra 2 arptangentă de x pe 2 plus mulțimea constantelor
Adică 1 pe 12 arptangentă de x pe 2 plus c