Transcript: Bisectoarea unui unghi. Concurența bisectoarelor interioare ale triunghiului

Bisectoarea unui unghi. Concurența bisectoarelor unghiurilor unui triunghi.
Să ne reamintim ce înseamnă bisectoare.
Se numește bisectoarea unui unghi, o semidreaptă cu originea în vârful unghiului,
care împarte unghiul în două unghiuri congruente.
Avem un unghi AOB și am construit cu ajutorul raportorului semidreaptă OM,
aceasta este bisectoarea unghiului, ea împarte unghiul în două unghiuri congruente,
acestea sunt AOM și MOB.
Imediat vom da și o altă modalitate de construcție a bisectoarei unui unghi, folosind compasul.
În continuare o să dăm o proprietate referitoare la punctele situate pe bisectoarea unui unghi.
Vom da această proprietate sub forma unei teoreme directe și a teoreme reciproce.
Teorema directă este următoarea.
Dacă un punct aparține bisectoarei unui unghi, atunci distanțele de la punct la laturile unghiului sunt egale.
Și teorema reciprocă.
Dacă distanțele de la un punct la laturile unui unghi sunt egale, atunci punctul aparține bisectoarei unghiului.
Vom demonstra mai întâi teorema directă.
Se știe că punctul M aparține bisectoarei unghiului AOB, adică OM este bisectoare.
Înseamnă că unghiul AOM este congruent cu unghiul BOM.
Și trebuie să arătăm că distanțele de la M la laturile unghiului sunt egale.
Vă reamintesc că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendicular adusă din acel punct pe dreaptă.
Am dus MP perpendiculară pe AO și MQ perpendiculară pe OB.
Trebuie să arătăm că aceste două distanțe sunt congruente.
Așadar, în concluzie, vom scrie MP congruent cu MQ.
Demonstrație.
Pentru a demonstra congruența acestor două segmente, le vom încadra în două triunghiuri.
O să arătăm că triunghiurile POM și QOM sunt congruente.
Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice, deoarece, ducând aceste perpendiculare,
s-au format două unghiuri drepte, unghiurile P și Q.
Voi scrie că măsura unghiului MPO este egală cu măsura unghiului MQO și egal mai departe cu 90 grade.
Deci trebuie să demonstrăm congruența două triunghiuri dreptunghice.
Observăm că aceste două triunghiuri au o latură comună. Aceasta este OM.
Iar OM este ipotenuză în cele două triunghiuri.
OM este congruent cu OM, fiind o latură comună.
Și mai știm din ipoteză că unghiul AOM este congruent cu unghiul BOM.
Și atunci implicit și unghiul POM va fi congruent cu unghiul QOM,
deoarece semidreptele OP și OA coincid, la fel și semidreptele OQ și OB.
Unghiul POM este congruent cu unghiul QOM din ipoteză.
Din aceste două relații va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză-unghi,
că triunghiul POM este congruent cu triunghiul QOM,
iar din congruența acestor două triunghiuri rezultă și congruența segmentelor MP și MQ.
Am demonstrat că dacă un punct aparține bisectoarei unui unghi,
atunci distanțele de la punct la laturile unghiului sunt egale.
Acum să demonstrăm teorema reciprocă.
Avem un punct M situat în interiorul unghiului AOB
și știm că distanțele de la punctul M la laturile unghiului sunt egale.
Trebuie să arătăm că OM este bisectoarea unghiului.
Vom scrie în ipoteză că MP este perpendiculară pe AO,
MQ este perpendiculară pe OB.
Știm că aceste două distanțe sunt congruente.
MP este congruent cu MQ
și trebuie să arătăm că OM este bisectoare.
Adică va trebui să arătăm că unghiul AOM este congruent cu unghiul BOM.
Demonstrație.
Pentru a demonstra că aceste două unghiuri sunt congruente,
vom arăta că triunghiurile POM și QOM sunt congruente.
Acestea sunt triunghiuri dreptunghice, deoarece măsura unghiului MPO
este egală cu măsura unghiului MQO
și egal cu 90 de grade.
Cele două triunghiuri dreptunghice au latura comună OM.
Voi scrie că OM este congruent cu OM, fiind o latură comună.
Și mai știm din ipoteză că MP este congruent cu MQ,
acestea fiind catete în cele două triunghiuri.
MP congruent cu MQ.
Din ipoteză.
Din aceste două relații va rezulta, conform cazului de congruență,
ipotenuză catetă.
Că cele două triunghiuri sunt congruente,
triunghiul POM este congruent cu triunghiul QOM.
POM va rezulta că unghiul POM este congruent cu unghiul QOM.
Adică unghiul AOM va fi congruent cu unghiul BOM.
Pentru că semidreptele OP și OA coincid,
și de asemenea semidreptele OQ și OB coincid.
Așadar am arătat că OM este bisectoarea unghiului AOB.
Cele două teoreme pot fi enunțate sub forma unei singure teoreme,
cu ajutorul expresiei Dacă și Numai Dacă.
Aceasta este proprietatea bisectoarei unui unghi.
Un punct aparține bisectoarea unui unghi Dacă și Numai Dacă
este egal depărtat de laturile unghiului.
În continuare o să vedem cum putem construi bisectoarea unui unghi
cu ajutorul compasului.
Mai întâi desenăm un unghi AOB,
apoi construim un cerc cu centrul în punctul O.
Cercul intersectează unghiul AOB în punctele M și N,
apoi construim un alt cerc sau arc de cerc cu centrul în punctul M
și având o rază suficient de mare,
și un cerc cu centrul în punctul N,
având aceeași rază cu cercul anterior.
Cele două cercuri se vor intersecta într-un punct pe care l-am notat cu P.
Unind pe O cu P obținem bisectoarea unghiului AOB.
Așadar aceasta este o altă modalitate de construcție a bisectoarei unui unghi.
În continuare o să discutăm despre concurența bisectoarelor într-un triunghi.
Fiind dat un triunghi ABC, putem să construim trei bisectoare.
Am notat cu AA prim bisectoarea unghiului A,
cu BB prim bisectoarea unghiului B și cu CC prim bisectoarea unghiului C.
Cele trei bisectoare se intersectează într-un punct pe care l-am notat cu I.
Având în vedere că I este situat pe bisectoarea unghiului A,
el va fi egal depărtat de laturile unghiului A,
deci distanța de la I la AB este egală cu distanța de la I la AC.
Mai exact, segmentele IM și IP vor fi congruente.
I este situat și pe bisectoarea unghiului C
și atunci distanțele de la I la laturile unghiului C vor fi congruente,
adică IP este congruent cu IN.
Constatăm așadar că cele trei segmente, IM, IP și IN, sunt congruente.
Înseamnă că putem construi un cerc cu centrul în punctul I
și având carează oricare dintre cele trei segmente.
Acest cerc se va numi cercul înscris în triunghi.
Așadar rețineți această proprietate.
Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct notat de obicei cu I
și numit centrul cercului înscris în triunghi.
În continuare o să facem o aplicație.
Fie D un punct interior triunghiului ABC.
Dacă AB este congruent cu AC și DB este congruent cu DC,
atunci arătați că distanțele de la punctul D la laturile AB și AC sunt egale.
Am construit un triunghi ABC.
Acesta este un triunghi isoscel deoarece AB este congruent cu AC.
În interiorul triunghiului fixăm un punct D astfel încât DB să fie congruent cu DC.
Am dus distanța de la D la latura AB pe care am notat-o cu DM
și distanța de la D la latura AC.
Aceasta este DN.
Trebuie să arătăm că DM este congruent cu DN.
Voi scrie mai întâi ipoteza.
Avem triunghiul ABC astfel încât AB să fie congruent cu AC
și un punct D astfel încât DB să fie congruent cu DC.
Trebuie să arătăm că distanța de la punctul D la latura AB
este egală cu distanța de la punctul D la latura AC.
Demonstrație.
Să anunțăm construcția pe care am făcut-o,
fie DM
perpendiculară pe AB,
atunci distanța de la punctul D la AB va fi DM.
Fie DN perpendiculară pe AC,
rezultă că distanța de la punctul D la AC este DN.
Noi trebuie să arătăm că DM este congruent cu DN.
Vom arăta că AD este bisectoarea unghiului BAC.
Conform teoremii demonstrate anterior,
dacă punctul D aparține bisectoarei,
înseamnă că distanțele de la punctul D la laturile unghiului vor fi egale.
Așadar, vom arăta că unghiul BAD este congruent cu unghiul CAD.
Pentru a demonstra congruența acestor două unghiuri,
vom arăta că triunghiurile ABD și ACD sunt congruente.
Comparăm triunghiurile.
ABD
și ACD.
Știm că AB este congruent cu AC din ipoteză.
Tot din ipoteză știm că DB este congruent cu DC.
Și putem observa că triunghiurile acestea au o latură comună.
Aceasta este latura AD.
AD este congruent cu AD, fiind o latură comună.
Va rezulta din cele trei relații
că triunghiul ABD
este congruent cu triunghiul ACD,
conform cazului de congruență latură-latură-latură.
Congruența acestor triunghiuri implică și congruența unghiurilor VAD și CAD.
Dacă cele două unghiuri sunt congruente,
AC înseamnă că AD este bisectoarea unghiului BAC.
Și conform teoremei demonstrate anterior,
va rezulta că distanța de la punctul D la latura AB
va fi egală cu distanța de la punctul D la latura AC.
Va rezulta atunci că DM este congruent cu DN.