Transcript: Axiomele geometrie în spațiu

Știm deja că geometria în spațiu este construită pe baza acestor patru noțiuni, punct, dreaptă, plan și spațiu.
Aceste noțiuni sunt legate între ele prin axiome și vom discuta despre axiomele geometriei în spațiu.
Ce este aceea o axiomă? O axiomă este o propoziție matematică al cărei adevăr este evident.
Prin urmare, nu e nevoie ca acel adevăr să fie demonstrat și să vedem acum care sunt acele propoziții matematice evidente pe baza a cărora este construită geometria în spațiu.
Și începem cu axioma dreptei, care ne spune că două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
Deci fie că vorbim de două puncte într-un anumit plan sau în spațiu, ele determină o dreaptă unică.
Deci dacă avem aici punctul A și aici punctul B, care este dreapta determinată de aceste două puncte?
Iată, vorbim de fapt de această dreaptă, dreapta AB.
Mai există vreo altă dreaptă determinată de punctele A și B?
Nu, pentru că nu putem spune că un asemenea desen este o dreaptă care trece prin punctele A și B.
Nu, dreapta este perfect întinsă, ce avem aici este o linie curpă.
Prin urmare, două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
A doua axioma este axioma planului.
De câte puncte credeți că avem nevoie pentru a determina un plan unic?
Două puncte sunt oare suficiente?
Păi haideți să ne uităm la acest desen.
Ce avem aici? Avem două puncte D și E și observăm că avem aici trei plane.
Punctele D și E e clar că sunt conținute în toate aceste trei plane.
Dacă vreți, ne putem imagina că aceste două puncte D și E se află pe cotorul unei cărți,
iar cele trei plane sunt trei din filele cărții respective.
Și atunci e ușor de înțeles faptul că cele două puncte D și E aparțin tuturor celor trei plane.
De fapt, ele pot aparține unui număr infinit de plane.
Cu alte cuvinte, nu sunt suficiente două puncte ca să determinăm un singur plan.
Dar dacă am luat trei puncte, să avem aici punctul A, punctul B și cum să fie aceste trei puncte?
Necoliniare, pentru că dacă ele ar fi coliniare, atunci ne-am întoarce la această situație.
Deci, dându-se trei puncte necoliniare, câte plane putem să trasăm astfel încât planele respective să conțină toate cele trei puncte?
Păi, putem să trasăm de fapt un singur plan și anume acesta.
Avem planul determinat de aceste trei puncte A, B și C.
Deci, trebuie să reținem că trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul.
Deci, dacă vrem să determinăm un plan, avem nevoie de trei puncte necoliniare.
Și putem să-l notăm cu alfa sau putem să-l denumim folosind punctele care îl determină și anume A, B și C.
Și trecem în paranteză, citim planul A, B, C care este egal cu planul alfa.
Avem de fapt un singur plan.
Următoarea axiomă este axioma paralelelor care ne spune că într-un plan, printr-un punct exterior unei drepte, se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.
Deci, considerăm că avem aici un plan și ni se dă un punct exterior unei drepte.
Deci, avem o dreaptă, să o notăm cu D și chiar o să fac desenul ceva mai jos.
Și mai avem un punct exterior acestei drepte, să-l notăm cu A.
Deci, A nu aparține dreptei D.
Și ni se spune că prin acest punct exterior dreptei D, în acest plan, putem să ducem o singură paralelă la dreapta D.
Într-adevăr, putem să ducem doar o paralelă.
Iată, o voi trasa cu altă culoare și avem aici dreapta D prim.
Deci, A aparține dreptei D prim.
Dreapta D și dreapta D prim sunt drepte paralele.
Prin urmare, înseamnă că dreapta D prim este, de fapt, unica dreaptă.
Deci, D prim este unică, e unica dreaptă care are aceste proprietăți.
Ce înțelegem acum prin drepte paralele, ca să ne fie foarte clar?
Două drepte distincte se numesc drepte paralele dacă, atenție, se află în același plan și nu au niciun punct în comun.
Deci, avem aici definiția dreptelor paralele.
Alta axiomă ne spune că dacă două puncte distincte aparțin unui plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în plan.
Deci, haideți să vedem și pe desen.
Avem un plan și știm că dacă două puncte distincte aparțin unui plan, deci avem două puncte distincte, A și B, care aparțin acestui plan.
Să notăm. A aparține planului alfa, B aparține planului alfa, cum sunt cele două puncte distincte A diferite B, atunci ce rezultă?
Rezultă că dreapta determinată de ele este inclusă în plan.
Deci, dreapta AB este inclusă în planul alfa.
Deci, rezultă că AB este inclusă în acest plan.
Deci, să reținem că dacă ni se dau două puncte într-un plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în plan.
O alta axiomă ne spune că dacă două plane au un punct în comun, atunci ele mai au cel puțin încă un punct în comun.
Deci, dându-se două plane, iată, avem aici planul alfa, cel așezat pe orizontală și planul beta, cel așezat pe verticală
și știm că aceste două plane au un punct în comun.
Am notat aici acest punct cu A.
Atunci, este evident faptul că ele mai au cel puțin încă un punct în comun.
Și să notăm următorul punct cu B.
Oricum ne-am imaginat două plane, nu avem cum să le așezăm astfel încât ele să aibă doar un singur punct în comun.
Deci, două plane care se intersectează au cel puțin două puncte în comun.
Ultima axiomă este aceasta, care ne spune că în spațiu există cel puțin patru puncte necoplanare.
Necoplanare înseamnă că nu sunt în același plan.
Și am trasat aici planul determinat de trei puncte necoliniare, punctele A, B și C,
și e ușor de văzut că mai există cel puțin încă un punct care nu se află în acest plan.
Și am notat acest punct cu D.
Deci punctul D nu aparține planului determinat de cele trei puncte, A, B, C,
sau puteți să notați B, C, A, cum doriți, putem să trecem punctele în ce ordine vrem.
Cu alte cuvinte, e unul și același lucru cu a spune că punctele A, B, C și D sunt puncte necoplanare,
adică nu sunt în același plan.
Acestea au fost șase axiome foarte importante pe care se bazează geometria în spațiu,
și acum folosindu-ne de aceste axiome vom demonstra alte enunțuri matematice,
și anume vom demonstra teoreme.
Și vrem să demonstrăm această teoremă.
Dacă două plane distincte au un punct în comun, atunci ele au o dreaptă comună
pe care se află toate punctele comune acestor plane.
Haideți să ne folosim și de un desen.
Aici avem planele Alpha și Gamma.
Această linie o trasăm punctat pentru că ea se află în spatele planului Alpha,
iar aceasta se află în spatele planului Gamma.
Aflându-se prin urmare în spate, ele nu ar trebui să se vadă, de aceea le trasăm punctat.
Deci Alpha și Gamma sunt două plane distincte.
Haideți să notăm aici, Alpha este diferit de Gamma.
Știm că ele au un punct în comun.
Punctul A aparține planului Alpha, punctul A aparține și planului Gamma.
Ce vrem să arătăm?
Vrem să arătăm că planele Alpha și Gamma au de fapt o dreaptă în comun,
iar pe această dreaptă se află toate punctele comune acestor plane.
Cu alte cuvinte, vrem să arătăm că ele au o dreaptă în comun,
iar în afară de această dreaptă, planele nu mai au nici un alt punct în comun.
Deci intersecția lor este această dreaptă.
Bun, cum începem demonstrația?
Păi știm că Alpha și Gamma sunt două plane distincte care au un punct în comun.
Ce axiomă cunoaștem?
Haideți să vedem.
Avem aici axioma aceasta care ne spune că dacă două plane au un punct în comun,
atunci ele mai au cel puțin încă un punct în comun.
Deci cele două plane au un punct în comun, punctul A,
și atunci mai au cel puțin încă un punct în comun, punctul B.
Iată că și aici trebuia să trasăm punctat.
Bun, și acum haideți să revenim la teorema noastră pe care o avem de demonstrat.
Deci cum planele noastre Alpha și Gamma au un punct în comun,
înseamnă că ele mai au cel puțin încă un alt punct în comun.
Și să-l notăm cu B.
Deci rezultă de aici, din axioma numărul 5, atât era trecut la noi,
rezultă că există B punct, am folosit acest semn de există,
virgulă B diferit de A, pentru că sunt puncte distinte,
astfel încât B aparține căror plane?
Păi aparține și planului Alpha, dar B aparține și planului Gamma.
Bun, ce avem în acest moment?
Avem că punctul A și punctul B aparțin amândouă planului Alpha,
deci A aparține planului Alpha, B aparține și el tot planului Alpha,
A este diferit de B, atunci ce rezultă?
Păi noi mai știm încă o axiomă, axioma numărul 4,
care ne spune că dându-se două puncte distincte într-un plan,
înseamnă că dreapta determinată de ele este inclusă în planul respectiv,
deci rezultă de aici că dreapta AB este inclusă în planul Alpha.
Ce credeți că urmează să facem?
Păi absolut la fel, punctele A și B se află și în planul Gamma,
deci analog, ce va rezulta?
Că dreapta AB este inclusă în planul Gamma,
deci AB inclusă în Gamma.
Ce rezultă din aceste două relații?
Dreapta AB se află și în planul Alpha și în planul Gamma,
prin urmare înseamnă că dreapta AB, atenție,
este inclusă în intersecția celor două plane,
Alpha intersectat cu Gamma.
Nu putem să spunem din start că AB este egal cu intersecția celor două plane.
De ce nu putem să trecem aici egalitate?
Păi momentan noi am arătat că cele două plane au dreapta AB în comun,
însă ca aici să trecem egal,
trebuie să arătăm că această dreapta AB este singurul element comun al celor două plane.
Practic trebuie să arătăm incluziunea inversă,
adică dacă un punct se află în intersecția celor două plane,
atunci automat el se află pe dreapta AB.
Vom șterge aici
și vom păstra doar ultima relație pe care am obținut-o,
și anume această relație.
Deci am demonstrat că AB se află în intersecția celor două plane.
Ce am spus că arătăm acum?
Că dreapta AB este singurul element comun al celor două plane.
Atunci vom folosi metoda reducerii la absurd.
Deci presupunem, notăm prescurtat astfel,
că există un punct M care aparține planului alpha intersectat cu gamma,
deci presupun că există M astfel încât M aparține intersecției alpha intersectat cu gamma,
dar M nu aparține dreptei AB.
Acum, dacă arătăm că această presupunere este falsă,
înseamnă că orice punct care se află în intersecția celor două plane
este pe dreapta AB și atunci avem aici egalitate.
Deci avem că M nu aparține dreptei AB.
M nu aparține dreptei AB, chiar putem să trecem un punct M aici, iată,
considerăm că el aparține și lui alpha și lui gamma, dar nu se află pe această dreaptă.
Cum punctele A și B sunt puncte diferite, ce rezultă de aici?
Că M, A și B sunt ce fel de puncte?
Sunt puncte necoliniare. Bun.
Acum, ce mai știm despre aceste trei puncte?
Păi, punctul A aparține lui alpha,
la fel și punctul B,
ba chiar mai mult și punctul M se află în alpha. Bun.
Avem că punctele A, B și M aparțin planului alpha și știm că ele sunt necoliniare.
Iată, ele sunt în planul alpha și sunt necoliniare.
Ce știm noi despre trei puncte necoliniare?
Că ele determină un plan unic.
Deci, de aici rezultă din axioma planului, axioma numărul 2,
că planul determinat de punctele A, B și M,
deci planul A, B, M, este de fapt identic cu planul alpha,
pentru că ele determină un plan unic.
Păi, absolut la fel, analog,
ce vom arăta?
Că punctele A, B și M,
care sunt în planul gamma,
determină un alt plan,
care este identic cu planul gamma.
Deci, analog, rezultă că
planul A, B, M este egal cu planul gamma.
Aceeași demonstrație, doar că aici vom trece planul gamma.
Păi, iată ce relație am obținut.
Avem aici această relație și aceasta.
Înseamnă că planul alpha este egal cu planul gamma.
Deci, rezultă că planul alpha este egal cu planul gamma.
E adevărat această relație?
Nu, noi avem două plane distincte.
Deci, trecem aici semnul de contradicție,
acești săbi încrucișate.
Înseamnă că presupunerea noastră este una falsă.
Deci, rezultă că
oricare ar fi
M, care aparține intersecției
alpha cu gamma
rezultă că M aparține dreptei AB.
Prin urmare, din această relație,
și aici trebuie să trecem relația steluță,
deci rezultă din această relație și din relația steluță
că alpha intersectat cu gamma este, de fapt, dreapta AB
și nu există niciun alt punct în afara dreptei AB
care să se afle în intersecția acestor două plane.
Deci, putem veni aici să ștergem punctul M
și, prin urmare, am arătat că
dacă două plane distincte au un punct în comun,
atunci ele au o dreaptă în comun
și această dreaptă este singurul element comun al planelor.