Transcript: Aria triunghiului folosind sinusul

În această lecție o să deducem o formulă de calcul pentru area unui triunghi folosind funcția trigonometrică sinus.
Avem un triunghi oarecare ABC în care am dus înălțimea AD.
Știm că area unui triunghi, în general, este baza ori înălțimea asupra 2.
În acest triunghi baza este BC iar înălțimea este AD, egal cu BC ori AD supra 2.
Triunghiul ABD este un triunghi dreptunghic.
Voi exprima sinus DB în acest triunghi.
În triunghiul dreptunghic ABD, sinus DB este raportul dintre cateta opusă unghiului B, adică AD, și ipotenuza AB.
Din această relație o să exprim lungimea segmentului AD. Aceasta va fi egală cu AB ori sinus DB.
Și înlocuim această relație în formula ariei scrisă mai sus.
Astfel, din cele două relații obținem că area triunghiului este egală cu BC.
În loc de AD o să scriu AB ori sinus DB totul supra 2.
Observăm așadar că area unui triunghi oarecare va fi egală cu produsul a două laturi, AB ori BC ori sinusul unghiului dintre ele, supra 2.
Această formulă este valabilă pentru triunghiul ascuțit unghic.
În acest caz, măsura unghiului B este mai mică de 90 de grade.
Să vedem acum care va fi formula de calcul pentru area triunghiului în cazul în care unghiul B este un unghi obtuz.
Avem un triunghi ABC obtuz unghic.
Din acest motiv, înălțimea dusă din A va fi situată în exteriorul triunghiului.
Să exprimăm măsura unghiului ABD.
Observăm că măsura unghiului ABD va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului ABC.
Putem să scriem pe scurt 180 de grade minus B, unde prin B înțeleg unghiul ABC.
Ne uităm în triunghiul dreptunghic ADB și exprimăm sinusul unghiului ABD.
Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză.
Cateta opusă unghiului ABD este AD, iar ipotenuza este AB.
Egal cu AD supra AB.
O să exprim din această relație lungimea înălțimii.
AD va fi egală cu AB ori sinusul unghiului ABD.
Dar unghiul ABD este 180 de grade minus B.
Obținem astfel AB ori sinus de 180 de grade minus B.
Area triunghiului este baza ori înălțimea supra 2, adică BC ori AD supra 2.
Egal cu BC ori, în loc de AD o să scriem AB, ori sinus de 180 de grade minus B, totul supra 2.
Am obținut astfel formula de calcul pentru area triunghiului, în cazul în care unghiul B este obtuz.
În continuare o să facem o aplicație.
Am rescris formula de calcul pentru area triunghiului ascuțit unghic.
Aceasta este egală cu produsul a două laturi ori sinusul unghiului dintre ele supra 2.
Și avem următoarea problemă.
Se dă un triunghi ABC, se știe că AB este 4 radical din 3, AC este 5 radical din 3 și măsura unghiului A este egală cu 30 de grade.
Se cere să calculăm area triunghiului ABC.
Voi folosi același desen. Știm că AB este 4 radical din 3, AC este 5 radical din 3 și măsura unghiului A este egală cu 30 de grade.
Aplicăm această formulă.
Area triunghiului ABC va fi egală cu AB ori AC ori sinus de A supra 2.
Egal.
AB este 4 radical din 3, AC este 5 radical din 3 și măsura unghiului A este de 30 de grade ori sinus de 30 de grade supra 2.
Egal. Aplicăm această formulă.
4 ori 5 este 20 radical din 3 ori radical din 3 este 3 și sinus de 30 de grade este 1 pe 2 totul supra 2.
Egal.
Putem să simplificăm 20 cu 2.
Ne rămâne 10.
10 ori 3 este 30 pe 2 egal cu 15 centimetri pătrați.