Transcript: Aria triunghiului

Deducem mai întâi formula ariei triunghiului dreptunghic. Prin aria unui poligon, în general,
înțelegem porțiunea plană, închisă, determinată de laturile sale.
Pentru a deduce formula ariei triunghiului dreptunghic, vom desena mai întâi un dreptunghi ABCD.
Vă reamintesc că unitatea de măsură pentru aria unei suprafețe este metrul pătrat.
Submultiplii metrului pătrat sunt decimetrul pătrat, centimetrul pătrat și milimetrul pătrat.
Iar multiplii metrului pătrat sunt decametrul pătrat, hectometrul pătrat și kilometrul pătrat.
Vom construi o diagonală în acest dreptunghi.
Am dus diagonala ABD și putem observa că s-au format două triunghiuri dreptunghice.
Acestea sunt triunghiurile ABD și DBC.
Putem observa că aceste triunghiuri sunt congruente, deci arile lor vor fi egale.
Așadar voi scrie că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul BDC.
Iar din această relație va rezulta că aria triunghiului ABD va fi egală cu aria triunghiului BDC.
Voi nota laturile acestui dreptunghi cu litere mici A și B.
Știm că într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale.
În clasa 5 ați învățat formula ariei dreptunghiului ca fiind lungimea ori lățimea.
Deci aria lui ABCD este lungimea ori lățimea.
Lungimea s-a notat cu litera a mic, iar lățimea cu b.
Având în vedere că cele două triunghiuri care s-au format au ariile egale,
înseamnă că aria fiecărui triunghi va fi jumătate din aria dreptunghiului.
Deci putem să scriem că aria triunghiului ABD este jumătate din aria dreptunghiului.
Deci voi scrie aria lui ABCD supra 2.
Dar aria dreptunghiului este a ori b supra 2.
Laturile a și b în acest triunghi ABD sunt catete
și atunci vom deduce că aria unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor sale supra 2.
Deci putem să scriem egal în continuare cateta 1 ori cateta 2 supra 2.
Așadar rețineți că aria unui triunghi dreptunghic, în cazul acesta aria triunghiului ABD,
este produsul catetelor supra 2.
Aceasta va fi formula pe care o vom folosi în continuare în rezolvarea problemelor.
Să deducem acum aria triunghiului ascuțitunghic.
Construim un triunghi ascuțitunghic ABC.
Voi face o construcție ajutătoare pentru a afla aria acestui triunghi.
Mai exact voi construi înălțimea din A.
Aceasta este AM.
Observăm că s-au format două triunghiuri dreptunghice, ABM și AMC.
Am dus AM perpendiculară pe BC.
Aria triunghiului ABC va fi formată din aria triunghiului ABM plus aria triunghiului AMC.
Am deschis triunghiul ABC.
Triunghiul ABM este dreptunghic în M
și aria acestui triunghi va fi produsul catetelor sale supra 2.
Voi scrie că aria triunghiului ABM va fi egală cu AM
ori BM
supra 2, pentru că AM și BM sunt catetele acestui triunghi dreptunghic.
Apoi aria triunghiului AMC.
Este de asemenea produsul catetelor supra 2.
Catetele acestui triunghi sunt AM și MC.
Și atunci din aceste trei relații putem scrie că aria triunghiului ABC
este suma acestor arii.
În loc de aria triunghiului ABM, voi scrie AM ori BM supra 2.
Plus, în loc de aria triunghiului AMC, voi scrie AM ori MC supra 2.
Pentru a aduna două fracții cu același numitor, adunăm numărătorii
iar numitorul comun se copiază.
Voi scrie AM ori BM plus AM ori MC totul supra 2.
La numărător putem să dăm factor comun pe AM.
Vom scrie AM pe lângă BM plus MC totul supra 2.
Egam mai departe cu AM ori
BM plus MC, dacă ne uităm pe figură, va fi egal cu BC.
AM este înălțimea în acest triunghi, iar BC este latura corespunzătoare înălțimii, pe care o vom numi baza triunghiului.
Așadar, în general, formula de calcul pentru aria unui triunghi ascuțit unghic
este semiprodusul dintre baza triunghiului și înălțimea corespunzătoare ei.
Voi scrie acest lucru B ori H supra 2, unde B este baza, iar H este înălțimea triunghiului.
Rețineți această formulă, ea se va aplica în rezolvarea problemelor.
Acum trebuie să deducem formula ariei unui triunghi în cazul în care triunghiul este optuzunghic.
Am construit un triunghi ABC, optuzunghic.
Vom face și în acest caz o construcție ajutătoare.
Voi duce înălțimea din A pe latura BC.
Pentru a putea construi perpendicularea din A pe BC, va trebui mai întâi să prelungim latura BC,
pentru că piciorul perpendicularei o să fie în exteriorul triunghiului.
Am dus AM perpendiculară pe BC
și ne propunem să găsim o formulă de calcul pentru area triunghiului ABC.
Conform figurii pe care am construit-o, putem observa că area triunghiului ABC
este diferența dintre area triunghiului AMC și area triunghiului AMB.
Voi scrie așadar egal cu area triunghiului AMC minus area triunghiului AMB.
Area triunghiului AMC este produsul catetelor supra doi,
pentru că acest triunghi este un triunghi dreptunghic.
Catetele sale sunt AM și MC.
Iar triunghiul AMB, fiind și acesta un triunghi dreptunghic,
area sa va fi produsul catetelor supra doi.
Catetele sunt AM și MB.
Scădem numărătorii.
AM ori MC minus AM ori MB. Totul supra doi.
La numărător putem să dăm factor comun pe AM.
Voi scrie AM pe lângă MC minus MB supra doi.
Egal în continuare.
Dacă ne uităm pe figură, observăm că MC minus MB este chiar segmentul BC.
Așadar putem deduce că area triunghiului ABC este semiprodusul dintre baza și înălțimea corespunzătoare ei.
Voi scrie acest lucru B ori H supra doi.
Putem observa că am obținut aceeași formulă ca și în cazul triunghiului ascuțitunghic.
În general, formula de calcul pentru area oricărui triunghi este baza ori înălțimea supra doi.
Chiar și în cazul triunghiului dreptunghic se poate aplica această formulă
pentru că am văzut că înălțimea și baza coincid chiar cu cele două catete ale sale.
În continuare o să facem câteva probleme.
Am rescris cele două formule pentru area triunghiului dreptunghic cateta ori cateta supra doi.
Iar în cazul general, area unui triunghi este baza ori înălțimea supra doi.
Ne propunem în continuare să rezolvăm o problemă.
Calculați area unui triunghi dreptunghic cu catetele de 6 cm și 8 cm.
Triunghiul ABC fiind dreptunghic.
Catetele acestuia sunt AB și BC.
AB este 6 cm iar BC este 8 cm.
Area acestui triunghi va fi egală cu AB ori BC supra doi.
Egal în continuare cu 6 ori 8 supra doi.
Egal cu 48 supra doi.
După efectuarea împărțirii obținem 24 cm2.
Următoarea problemă.
Într-un triunghi o înălțime este de 5 cm și area triunghiului este de 30 cm2.
Aflați lungimea latului corespunzătoare înălțimii date.
Să scriem formula arei unui triunghi.
Aceasta este baza ori înălțimea supra doi.
Și știm din datele problemei că area este egală cu 30 cm2.
Nu cunoaștem baza însă știm că înălțimea este de 5 cm.
Deci B ori 5 supra 2 va fi egal cu 30.
Avem o relație din care trebuie să aflăm necunoscut AB.
Fiind o proporție aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor.
Produsul mezilor egal cu produsul extremilor.
Deci obținem că B ori 5 va fi egal cu 2 ori 30.
B ori 5 este egal cu 60.
Ca să aflăm necunoscuta B împărțim această egalitate cu 5.
Și obținem B egal cu 60 împărțit la 5.
B va fi egal cu 12 cm.
Deci latura corespunzătoare înălțimii va fi 12 cm.
Mulțumim pentru vizionare!