Transcript: Aria paralelogramului folosind sinusul

În această lecție o să deducem o formulă de calcul pentru aria paralelogramului folosind funcția trivonometrică sinus.
Vă reamintesc că un paralelogram este un patrulater care are laturile opuse, paralele și congruente două câte două.
Voi duce o diagonală, de exemplu diagonala AC. Observăm că s-au format două triunghiuri, triunghiul ABC și triunghiul ADC.
Atunci aria paralelogramului ABCD va fi suma ariilor celor două triunghiuri, aria triunghiului ABC plus aria triunghiului ADC.
Însă aceste două triunghiuri sunt congruente, deci ariile lor vor fi egale.
O să explic de ce sunt congruente cele două triunghiuri.
Dacă AD este paralelă cu BC, iar AC este secantă, atunci unghiurile DAC și ACB sunt unghiuri alterne interne congruente.
Dacă AB este paralelă cu DC, iar AC se cantă, atunci unghiurile BAC și DCA sunt unghiuri alterne interne congruente.
AC este o latură comună a celor două triunghiuri.
Astfel, conform cazului de congruență unghi-latură-unghi, rezultă că triunghiurile sunt congruente.
Așadar, arile lor vor fi egale.
Și atunci suma celor două arii poate fi scrisă doi ori aria triunghiului ABC.
Dar aria unui triunghi este jumătate din produsul a două laturi, ori sinusul unghiului dintre ele.
Putem considera laturile AB, BC și sinusul unghiului B egal cu 2 ori AB ori BC ori sinusul unghiului B supra 2.
Se simplifică 2 cu 2 și observăm că aria paralelogramului este produsul a două laturi, ori sinusul unghiului dintre ele.
Am dedus astfel această formulă de calcul pentru aria paralelogramului, produsul a două laturi, ori sinusul unghiului a scuții dintre ele.
Ar mai fi o formulă de calcul pentru aria paralelogramului folosind sinusul.
Dacă duc și diagonala BD, atunci aria paralelogramului poate fi scrisă ca produsul diagonalelor, ori sinusul unghiului a scuțit dintre diagonale supra 2.
În continuare o să facem o problemă.
ABCD este un paralelogram, AB este 8 cm, BC este 12 cm și se știe că măsura unghiului BCD este egală cu 120 grade.
Calculați aria paralelogramului ABCD.
În formula pe care am dedus-o anterior am folosit sinusul unghiului a scuțit dintre laturile paralelogramului.
Însă nouă ni se dă în problemă măsura unghiului obtuz, adică măsura unghiului BCD.
Va trebui mai întâi să calculăm măsura unghiului a scuțit al paralelogramului.
Aceasta se poate calcula foarte simplu, știm că într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare.
Și atunci măsura unghiului ABC va fi egală cu 180 grade minus măsura unghiului BCD.
Egal cu 180 grade minus 120 grade, egal cu 60 grade.
Am aflat astfel că măsura unghiului B este egală cu 60 grade.
Acum putem să aplicăm formula de calcul pentru aria paralelogramului în cazul în care se cunosc două laturi și unghiul a scuțit dintre acestea.
Aria lui ABCD va fi egală cu AB ori BC ori sinus de B.
Egal cu 8 ori 12 ori sinus de 60 de grade.
Egal cu 8 ori 12 ori radical din 3 supra 2.
Se simplifică 8 cu 2, ne rămâne 4.
Egal cu 4 ori 12 ori radical din 3.
4 ori 12 este 48 radical din 3 centimetri pătrați.